2025届高考数学复习《用导数研究函数的极值》练习（附答案）

2025届高考数学复习：压轴好题专项(用导数研究函数的极值)练习

1.(2024届广东省深圳市南头中学高三上学期第一次月考)已知/(x)="-hw,aeR.

⑴讨论了(x)的单调性和极值；

⑵若无e(0,e]时,/'(尤)<3有解，求。的取值范围.

2.(2024届山西省吕梁市高三上学期质量检测)已知函数-%(aeR).

X

(1)讨论“X)的单调性；

⑵若/(X)的两个极值点分别为X],X2,证明："5)_/(X2)|<,2-16/.

2a

3.(2024届宁夏银川一中高三上学期月考)已知函数/(%)=。/(工-3)(〃。0).

⑴求/(x)的单调区间；

⑵当〃=-1时,求函数g(x)=/(x)+，一4x的极值.

4.(2024届辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体高三第一次摸底)已知函数

/(%)=--+兀/-ax,g(x)=2cosx.

(1)当x20时，求证g(x)22—-；

⑵令尸(x)=/(x)-g(x)，若尸(X)的两个极值点分别为〃)，求证：〃-加W(。+2)—.

1—71

5.(2024届江苏省镇江中学高三上学期学情检测)已知函数/(x)=lnx+办-5g(x)=xlnx+g-l)x+1.

⑴当a=-2时，判断/(无)的单调性；

⑵当。>1时，记“X)的零点为％,g(x)的极小值点为4,判断％与4的大小关系,并说明理由.

6.(2024届湖南省衡阳市高三上学期8月测试)已知〃x)=alnx-Lg(x)=2--.

(1)证明：当ae(-oo,-e)j=有且只有2个零点；

(2)讨论是否存在"0使/(x)g(x)有极小值？并说明理由.(注：讨论过程要完整，有明确的结论)

7.(2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期开学联考)已知函数/(x)=cosx+axsinx

⑴若“=1,求曲线了=/(x)在点(71，〃兀))处的切线方程；

(2)若x=0是/(x)的极大值点，求a的取值范围.

8.(2023届西藏昌都市第一高级中学高三高考全真仿真考试)已知函数/(x)=lnx-ax+l,aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调区间；

⑵若看为函数g(x)=x"(x)+lnx-2］的极值点,求证：2ax；<ex0-1.

9.(2023届四川省绵阳市测试)已知函数/(幻=；/+=，一x+：.

(1)若在(；,2)上存在单调减区间，求实数加的取值范围；

(2)若/(x)在区间(见+8)上有极小值,求实数m的取值范围.

10.(2024届广东省华南师范大学附属中学高三上学期开学测数)已知函数/(x)=e，-asirw+6xg>0)-

(l)当b=0时，函数/(x)在(o，m上有极小值,求实数a的取值范围

⑵若6<0,g(x)=+asinx，证明g(x)>61n(-

11.(2024届湖北省腾云联盟高三上学期8月联考)已知函数/(x)=(x-4)lnx+x2+ax-2.

(1)证明：/(x)有唯一的极值点；

(2)若/(力20恒成立，求实数。的取值范围.

12.(2024届贵州省高三上学期入学考试)定义函数/(x)=(x-a)sinx,其中xeR.

⑴当a=今时,求曲线V=/(x)在点［,o1处的切线方程；

(2)证明：在区间,宗段［上,/(x)有且只有两个不同的极值点.

参考答案

1.(2024届广东省深圳市南头中学高三上学期第一次月考)已知/(x)="-hw,aeR.

⑴讨论了(x)的单调性和极值；

⑵若xe(0,e］吐/'(尤)<3有解，求。的取值范围.

【过程详解】(1)r(x)=a-l=—,(%>0),

XX

当aW0时,/''(X)<0恒成立，函数在区间(0,+司上单调递减，无极值;

当a>0时，令/(x)=0,得x=—

((无)<0,得0<x<匕函数在区间(0」〕上单调递减，

a\a)

/4工)>0,得工>：,函数在区间［：,+8］上单调递增，

当X=L函数取得极小值dn=l+lna,

a\aJ

综上可知,a<0时，函数的单调递减区间是(0,+。),无增区间，无极值；

«>0时，函数的单调递增区间是，单调递减区间(0。1，极小值1+Ina，无极大值.

(2)由题意可知,ax-lnxW3,xe(0,e］时有解，

则也，在xe(O,e］时有解，即见3户e(0,e］,

XX\Xymax

设g(x)=3+g,xe(O,e］,

XX

，/、31-Inx-2-Inx

g(x)=_7+x'=--，

令g'a)=。,得x=2,

当0<x<［时,g］x)>0,g(x)单调递增，

e

当［cWe时,g'(x)<0,g(无)单调递减，

e

22

所以g(X)的最大值为g^=e,gpa<e,

所以实数”的取值范围是(-s,e2］

2.(2024届山西省吕梁市高三上学期质量检测)已知函数/(x)=ax-lnx-网(aeR).

（1）讨论/（X）的单调性;

⑵若"X）的两个极值点分别为4,4,证明：应.

2a

【过程详解】（1）依题意/（x）=a」+当—―：+2。（尤>o）,

XXX

当aW0时,/'（X）<0,所以/（%）在（0,+功上单调递减；

当0<°<也时，令-x）>0,解得o<x<l一次一即？或%>1+川-8/,令/口）<0,解得

42a2a

<X<1+&-8/，所以/⑴在@1一加-8/）上单调递增，在（1<8储,1+a8〃）

2a2a2a2a2a

上单调递减，在（1+比--2,收）上单调递增；

2a

当a2时,/'（x）之0,所以八x）在（0,+8）上单调递增.

4

（2）不妨设0<再<X2,由（1）知，当o<°<?时J（x）在（0,x,）上单调递增，在（占,々）上单调递减，在（％，+°°）上

单调递增，

所以为是/⑴的极大值点,巧是"X）的极小值点，所以/&）>/（9）,所以I/区）-/每）I=/（玉）-/（乙）.

由（1）知=2,X]+尤2=一，贝!1工2—X]=J（X]+x?）2_4再工2=」―――-

aa

要证|/（再）_/（%）|<'I，"，只需证/（^）-/（%2）<（x2-xj.

因为-x1)-/(x1)+/(x2)=^-(x2―石)+〃(工2—+2tz-―—―

22项xxx2

2(%2X|)

2a(x2-x,)+—(x2-^)-111^="+^^-ln^-

2$演+%2，玉％2X1

设'寸>1透（/）=*+“一、2.

411

所以g'(f)=11

{t+1)2--24---2t-\[tt(f+1)22t。t

所以g（o在a,+8）上单调递增，所以g（。>g⑴=o.

B5

所以/（石）+/（%2）>0,即得/（%）-/&2）<下-（工2-%）成立•

所以原不等式成立.

3.(2024届宁夏银川一中高三上学期月考)已知函数/(x)=ae%x-3)(a/0).

⑴求〃x)的单调区间；

(2)当a=-1时,求函数g(x)=f(x)+x2-4x的极值.

【过程详解】(1)/'(x)=ae”(x-2),

若a>0,由，(x)<0,得x<2；由/心)>0,得x>2,

\/(x)的递减区间为(-*2),递增区间为(2,+8).

若a<0,由/'(X)窿0,得x>2；由小尤)>0,得无<2,

\/(x)的递减区间为(2,+8),递增区间为(-8,2).

(2)当。=-1时,g(jc)=f(x)+x2—Ax=—ex(x-3)+x2—4x,

g(x)=-e1(x-2)+2x-4=-(x-2乂e*-2).

由8。)=0,得》=2或》=1112.

当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表：

X(-oo,In2)In2(In2,2)2(2,+8)

g'(x)-0+0-

g(x)递减极小值递增极大值递减

g(x)极小值=gdn2)=(In2)2-61n2+6,

g(x)极大值=8出=看-4.

4.(2024届辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体高三第一次摸底)已知函数

x3

“x)=F+/9g(x)=2cosx.

⑴当x20时，求证g(x)〉2-x2；

(a+2)7l2jl3

⑵令b(x)=/(x)-g(x),若尸(X)的两个极值点分别为件"(加<"),求证：n-m<；

1—71

【过程详解】(1)令G(x)=g(x)—2+%2=2cosx—2+f.

贝ijG'(x)=2x-2sinx,

令H(x)=2x—2sinx，贝177z(x)=2-2cosx>0,

所以"(x)在[0,+司上单调递增，则=⑼=0,

所以G(x)在[0,+旬上单调递增，则G(x)>G(0)=0,所以g(x)>2-x2；

(2)由题可得=——+71X2—UX—2cosX,

贝UF'(x)=-x1+2TLX-Q+2sinx.令T(x)=-x2+2TLX-a+2sinx,

当a=0时,T(x)=-x2+27rx+2sinx，则T'(x)=-2x+2兀+2cosx,

令S(%)=-2x+2兀+2cosx，则S'(x)=-2-2sinxW0,所以S(x)在R上单调递减,

又S(0)=2兀+2>0,S(兀)=—2<0,

所以存在与£(0㈤，使得S国)=0,

当X£(-8,%)时,7(%)=5(%)>0,7(%)单调递增，

当x£(%,+00)时,7(x)=S(x)<0,T(x)单调递减,

又7(0)=7(2兀)=0,所以冽=0,1=2兀,

因为T'(0)=2+2兀,T'(2K)=2—2兀,

所以曲线>=尸(%)在％=0处的切线方程为y=(2+2兀异，

在x=2兀处的切线方程为>=(2一2兀)工一4兀+4兀2.

令(=(2+2兀)％+、2-27tx一2sinx,

贝U邛⑺=2+2x-2cosx,

令％(x)=](x)，则%：(x)=2+2sinx>0,所以.(x)在R上单调递增，

又％(0)=0,所以当工£(-叫。)时，邛(%)=%(%)<0,北⑺单调递减，

当工«0,+8)时，邛⑺=%(">0,工(“单调递增，所以7](%”工(0)=0,

BP(2+27i)x>-x2+27rx+2sinx；

令心(x)=(2—2兀)、一4兀+4/+%2-2TLX-2sinX，则T；(x)=2—4兀+2x—2cosx,

令为(x)乜'(x),

则(x)=2+2sinX20,所以马(X)在R上单调递增，

又与(2兀)=0,所以当xe(-co,2兀)时，矶x)=式力＜0/(x)单调递减，

当xe(2兀,+8)时,4(x)=芍(力＞0(x)单调递增，所以,(2万)=0,

艮［1(2—2兀)x—4兀+4兀2>-x2-27tx—2sinx.

所以当a=0时，曲线＞二/(%)在％=加，%=〃处的切线＞=(2+2兀)%，尸(2-2兀)工-4兀+4兀2均不在

广(%)=一%2+27rx+2sinx图象的下方,

所以(2+2兀)加2—m2+271m+2sinm=a,

(2-2兀)•(及-2兀)>-n24-2Tm+2sin〃=a,

a,a_

得mN,n<--------+2兀.

2+2兀2—2兀

(°+2)兀一2兀3(a+2)兀一27?

所以〃一加W------F2兀---—,BPn-m<

2—2兀2+2兀1-7121-712

5.(2024届江苏省镇江中学高三上学期学情检测)已知函数〃x)=lnx+ax-Lg(x)=xlnx+(a-l);ic+L

⑴当a=-2时，判断了⑺的单调性;

⑵当。＞1时，记〃x)的零点为％,g(x)的极小值点为&判断％与4的大小关系，并说明理由.

【过程详解】(1)当"-2时,/(x)=lnx_2x-：J(x)的定义域为(0,+司,

所以/，(X)」_2+0=-2X：X+1=(2X+1)!-X+1),

XXXX

令八龙)>0,解得：0<x<l,令/'(x)<0,解得:X>1,

所以/(无)在(0,1)上单调递增，在(1,+⑹上单调递减.

aX+%+1

(2)因为/(x)=lnx+办一工,则f\x)=-+a+\=2(%>0),

当。>1时，则>0,故/a)在(0,+◎上单调递增，

X/(l)=a-l>0,/^=-1lna<0,

(出，1］使/(%)=0,

所以存在唯一的X。G

因为g(x)=xIn%+(〃_l)x+L(x〉0)则g<x)=Inx--,

，XX

ii2

令k(x)=lnx——+Q(x〉0),则h\x)=—+—>0,

所以力(x)在(0,+8)上单调递增，即g'(x)在(0,+8)上单调递增,

又g，(l)=a-l>=—Ma<0,

所以存在me,1；使g\m)=0,

则当0<x<加时,g'(M<0；当龙>加时,g\m)>0；

所以g(x)在(0,加)单调递减，在(肛物)上单调递增，

所以冽为gW的极小值点，故X]=m,

由g'(加)=0~^^\nxl--+a=0^a=--]nx^

1(1\1

所以/(%)=出玉+a/=Inx1+再1一—In演---=(1一玉)In再,

再(再)演

又再[，所以〃%)=(1-xJlnX]<0,

又因为/(无。)=0,且Ax)在(0,+s)上单调递增,

所以%>看.

6.(2024届湖南省衡阳市高三上学期8月测试)已知〃x)=alnx-±g(x)=2--牛7

⑴证明：当〃e(-8,-e)j=/(x)有且只有2个零点；

(2)讨论是否存在"0使〃x)g(x)有极小值？并说明理由.(注：讨论过程要完整，有明确的结论)

【过程详解】(1)因为〃x)=alnx」,所以/(x)定义域为(0,+。)/。)，+』=竺?，

XXXX

因为―(-叫-e),所以令/(x)=0得x=」,

a

当o<x<4时,单调递增，

当X>,时J'(x)<oJ(X)单调递减,

a

所以〃x)有最大值为+4=

因为ae(-®,-e)，所以In(-a)>1，所以/[一5]>°,

因为当x>一:时,/(x)单调递减且〃e)=°T<0,所以/(x)在卜，上只有一个零点;

因为当0<x<-：时,/(x)单调递增，且/=aIn-e"=-"一e“<0,

所以/(x)在上只有一个零点；

综上，当ae(-8,-e)j=/(x)有且只有2个零点.

(2)令，7(x)=/(x)g(x)=(alnx-L](2----=2alnx-见出

X

则万⑺定义域为(0,+e),"(x)=lnx+1+2",

令加(x)=lnx+l+2ax，则m^x)=—+2a,

因为a〈0,所以令加(x)='+2a=0得％=—-—,

x2a

当0<x<---时,m(x)>0,m(x)单调递增，

2a

当%>--—时,mr(x)<0,m(x)单调递减，

所以当x=V时Mx)取得最大值一曰+1+2彳-曰=+),

当"一；]=1111_；卜0,即aW-，时,〃?(x)WO,即〃(x)40恒成立，

\,jI2^z)2

所以/z(x)单调递减，此时不满足题意；

当>0,即_\<a<0时，

\2aJ\2aJ2

由于当X.0时，加(x)-,当％f+00时，加-—8,

所以〃2(X)=0有两个解，即"(尤)=0有两个解，且"(x)从口递增到一个正数,然后再递减到F,

所以力(无)存在极小值，

即存在使得/(x)g(x)有极小值.

7.(2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期开学联考)已知函数/(x)=cos尤+axsinx

⑴若a=l,求曲线y=/(x)在点(兀，〃兀))处的切线方程；

(2)若x=0是〃x)的极大值点，求”的取值范围.

【过程详解】(1)当Q=1时J(x)=cosx+xsinx^lj/'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

f(兀)=7icosTI=-7i，又f(7i)=cos兀+兀sin兀=一1,

=〃x)在点(兀,〃兀))处的切线为：y+l=F(X-7t)，即TOf+y-7T2+l=O.

(2)由题意知:/'(x)=(a-l)sinx+办cosx,:./'(0)=0恒成立；

•••x=0是〃x)的极大值点，

存在国e(0,+oo)，使得当xe(一玉,0)时,>0；当xe(0,占)时,/'(x)<0；

令g(x)=/'(x)=(Q-l)sinx+axcosx,

贝Ig'(x)=(2〃一l)cosx-〃xsinx,g'(0)=2a-l

①若g'(O)>0,即。；时，存在X2£(0,+8)，使得当x£(0,/)时,g'(%)>0,

・••/”)在(0户2)上单调递增,则当工£(0户2)时/(力>/'(0)=0,

\/(x)在(0/2)上单调递增，不合题意;

②若g'(0)=0,即Q=；时,g'(x)=—；xsinx；

令/z(x)=g'(x)=_；xsinx,贝°”(x)=-1.1=一；(sinx+xcosx),

—sinx——xcosx

22

.,.当xe时,〃(x)>0；当xe[ogj时,“(x)<0；

./(x)在1T，°]上单调递增；在1°，?上单调递减；又打⑼=。，

，当X€[-第1时,〃(x)=g'(x)<0,.-.g(x)在[-第]上单调递减，

••,g(O)=/'(。)=0当Xe时,>0,当xe]o,3时,/'(x)<0,

\/(x)在f-po"|上单调递增，在(0,3上单调递减，符合题意；

③若g'⑼<0,即。；时，存在/e(0,+co)，使得当xe(-x3,x3)Ht,g'(x)<0,

g(x)在(-X3，w)上单调递减,

，

••,g(O)=/(0)=0,.-.y|xe(-x3,o)时,>0；当Xe(0,七)时,/(x)<0；

\/(尤)在(-%,0)上单调递增，在(0,七)上单调递减，符合题意;

综上所述：实数。的取值范围为「叱;.

8.(2023届西藏昌都市第一高级中学高三高考全真仿真考试)已知函数〃x)=lnx-ax+l,aeR.

(1)讨论函数〃x)的单调区间；

⑵若飞为函数g(x)=x"(x)+lnx-2]的极值点,求证：2由<e'。-1.

【过程详解】(1)人>)=山¥--+1定义域为(0,+8),

mi,，/、1\-ax

则/'(》)=__a=----,

XX

①当时,/'(x)〉o恒成立，

所以/(%)在(0,+8)上单调递增；

②当a>0时,/(x)〉0=0<x<,"'(X)<0nx>，，

aa

所以f(x)单调递增区间为(0,-)，单调递减区间为d,+8);

aa

综述：①当〃40时,/(')单调递增区间为(0,+8);

②当a>0时J。)单调递增区间为(0一)，单调递减区间为(L+8).

aa

(2)g(x)=x[f(x)+Inx-2]=2xInx-ax2-x(QER)

贝Ig'(x)=2Inx-2ax+1,

因为不是函数g(x)的极值点，

所以21nxo-2办0+1=0,即：2Inx0+1=2axQ?

要证<ex°-1,

x

只需证2/Inx0+x0<e与T,即证:e°>2x0Inx0+x0+1,

]—x

令m(x)=Inx—x+1,则m\x)=----,

x

当0<x<1时，加(x)〉0,m(x)单调递增；

当工〉1时，加(x)<0,加㈤单调递减；

所以m(x)<m(l)=0,即：lnx<x-l,

所以e"TNx,

所以e"Nx+l,

①当0</<1时,

因为e"。>x0+1,2x0Inx0<0,

所以e"。>2/In%+x0+1.

②当毛之1时，

因为InxWx-1,

所以/In/

所以2%In/«2%(%-1),

x

要证e°>2x0Inx0+x0+1,

只需证e*。>%o+l+2%o()o-l)=2%：-%o+l,

即证24一%+1<i对任意的％>1恒成立，

ex°

令心)=2——工+1(X21),

ex

贝I"(x)=-2—+5X-2=(x-2)(2x7),

exex

当1<x<2时,h\x)>0,h(x)单调递增；

当x>2时,h\x)<0,h(x)单调递减，

7

所以人(x)V〃(2)=1<l,

e

x

即当后>10^,e°>2x0lnx0+x0+l^AZl.

综述：原不等式成立.

9.（2023届四川省绵阳市测试）已知函数/（》）=：》3+?，一》+〈.

（1）若/（X）在（；,2）上存在单调减区间，求实数加的取值范围；

（2）若“X）在区间（见+8）上有极小值,求实数m的取值范围.

【过程详解】（1）函数/。）=1苫3+生尤2一尤+1,求导得/，（幻=必+.一1,

326

因为函数/（X）在（g,2）上存在单调减区间，则不等式/+皿-1<0在§,2）上有解，

即％<L-X在（：,2）上成立，而函数y=L-尤在（上2）上递减，显然不<，-x<j,于是用<4,

x2x22x22

所以实数加的取值范围是，"<5・

（2）由⑴知J'（x）=0,即注+-1=0,解得再=一加一’/+±%,=一加+人工,

1222

当x<可或%>无2时J'（x）>0,当<%<%2时J'（x）<0,

即函数，(x)在(-8,X)M+8)上单调递增，在(X“2)上单调递减，因此函数/(X)在巧处取得极小值，

于是+m，即47喜>3m，当"7w0时，不等式成立，当机>0时廨得0<陞正，则加《巫，

222

所以实数加的取值范围是拼《走.

2

10.(2024届广东省华南师范大学附属中学高三上学期开学测数)已知函数/(x)=e'-asinx+6x(a>0>

(1)当6=0时，函数/(X)在(0,曰上有极小值,求实数a的取值范围

⑵若b<0,g(x)=/(x)+asinx，证明g(x)>61n1-

【过程详解】⑴题意知〃x)=e=asiiu在[o,?上有极小值，

则/'(x)=e*-acosx=0在[。?]有解，

故.=工,设g(x)=£Qe[o(]],

cosxcosx(I2))

显然g(无)=工在(0,外单调递增，

COSXV

又g(o)=l,理g(x)=+8,所以"1.

2

当a>1时/(尤)=e"-acosx在(0鼻)单调递增，

又/(0)=1-.<0/13=3>0,

由零点存在定理可知mae]o，m，且/⑻=0,

此时当xe(0,«)时J'(x)<0,当xe时>0,

所以〃尤)在(0,々)上单调递减，

/(x)在卜3上单调递增，故在(0,2上有极小值点.

因此实数。的取值范围。>1.

(2)由题得,g(x)=e*+bx,g'(x)=ex+b,b<0,

g'(x)在(-8,In(-6))上小于0,在(in(-6),+oo)上大于0.

g(x)在(-»,In(-/)))上单调递减，在(In(-/>),+叫上单调递增.

g(x)最小值为g(ln(-Z>))=-Z?+Mn(-Z))

只需证明一6+61n(-6)>4n，j,即一1+111(-6)<1111-£|,即一1<山；，

因为e>2,

所以Ine-=-l<lng：该式子显然成立，即g(x)>bin'j.

11.(2024届湖北省腾云联盟高三上学期8月联考)已知函数/(x)=(x-4)lnx+/+ax-2.

(1)证明：/(x)有唯一的极值点；

⑵若/(“20恒成立，求实数。的取值范围.

【过程详解】(1)证明：/(X)定义域为(0,+8),

x—44

由/(x)=(x—4)Inx+—+a1-2,得/(%)=lux+----+2x+〃=lnx——+2X+Q+1,

xx

414

令""(x)=f(x)=lux---F2x+Q+1，贝{J3(%)=—I—+2〉0,

所以/'(X)在(0,+动上单调递增，

因为lnx-±+〃+l,且(\nx--+a+\|£R(x)>lnx+2x+a+l,且当x£(l,+oo)时，

X\XJ

(lnx+2x+a+l)e{a+3,+oo),

所以广(x)的值域为R,

所以/'(x)有唯一的零点/€(0,+动,使得/'(%)=0,

当相仅,为)时，八