《决策型概率问题》教学设计

人教A版数学选择性必修第三册第七章决策型概率问题《决策型概率问题》教学设计一、教材分析概率问题是贯穿新教材[1]始终的一个主线内容.本节课是在学生学习过选修三第七章之后的一个专题知识.决策型概率问题一直以来也是高考的热点问题，在第七章的课本例题中也曾多次出现，决策型问题往往综合性较强，有一定难度，要求学生对概率统计的知识点非常熟悉，能够在复杂的情境中使用概率统计的思想解决问题.学生学情分析1.学生已具备的能力：已经掌握随机变量的均值、方差等数学量的计算；已经熟悉均值、方差等数学量的数学意义；具备一定分析问题、转化问题、数学运算的能力.2.学生面临的困难：对于具体的实际问题该如何选择恰当的决策依据，并根据决策依据作出合理决策或对决策内容的合理性进行解释说明.教学目标设置能够将实际问题转化为数学问题，让学生根据实际问题确定解决问题的决策依据；掌握常见概率统计量的计算方法，例如方差、均值等；能够将数学问题转化为实际问题，根据计算结果解释具体问题的实际意义，并做出合理决策或是对决策结果解释说明.四、教学重点与难点重点：根据具体问题能够确定恰当的决策依据；难点：能够根据计算结果解释具体问题的实际意义，并做出合理决策或是对决策结果解释说明.五、教学过程设计1.概念引入决策型问题概率中的决策型问题往往需要将实际生活中的例子模型化，通过研究数据，分析、计算概率统计量，从而做出决策或者对某个决策的合理性进行解释说明.在解决决策型概率问题的时候，我们一般会经历一下三步：【设计意图】：明确一般的决策型概率问题的解决步骤，以及常见的决策依据.例题研究——以期望作为决策依据例题1某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分，已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【分析】（1）根据题意，小明先回答类问题，再回答类问题，则所有的答题情况如图：【详解】（1）由题用，分别表示小明能够正确回答类，类问题的事件，则事件，相互独立.记为小明的累计得分，的所有可能取值为，，.；；．所以的分布列为【分析】（2）根据题意，根据题意，小明可以选择先回答类问题，也可以选择先回答类问题.在(1)中我们已经计算过先回答类问题时，小明的累计得分的期望为:类似地，先回答类问题得分情况如下：【详解】（2）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，.；；．所以因为，所以小明应选择先回答类问题．小结：第一步，确定决策依据为累计得分的期望值；第二步，分别计算了小明先回答类问题和先回答类问题得分的期望值；第三步，回归本题的问题，比较期望值的大小，最终做出决策.【设计意图】本题是以期望作为决策依据的，分别计算了先回答A类问题和先回答B类问题这两种情况的得分期望值，根据计算结果做出决策，应当先回答A类问题.本题结束后引导学生分析这个决策型概率问题的处理方法，让学生感受分析解决问题的过程.例题2某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．（1）若不对该箱剩余产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（2）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱剩余的所有产品作检验？【分析】（1）若不对该箱剩余产品作检验，目前产生的费用只有件产品的检验费和不合格产品的赔偿费用.件产品的检验费为固定值元.由于检查出的2件不合格品都会替换成合格品，那么赔偿费就只需要考虑剩余件中的不合格品数量.用表示剩余的件产品中得不合格品件数，则赔偿费用为.故【详解】（1）若不对该箱剩余产品作检验,件产品的检验费为固定值元.令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.【分析】（2）由(1)知，若不对剩余产品进行检验，则费用总为，即若对剩余产品进行检验，则检验费用为固定值元，并且根据题意，当检验出不合格品，只需要将其替换即可，即不会产生赔偿费用.故需要花费的费用总和为元.【详解】（2）由（1）可知，若不对剩余产品进行检验，则需要花费的费用总和为即若对剩余产品进行检验，则需要花费的费用总和为元，即元因为，所以应该对这箱剩余的所有产品作检验.【设计意图】本题仍然是以期望作为决策依据的，让学生加深对期望作为决策依据的决策型概率问题的理解。让学生明确在实际问题中，数学期望代表的实际意义可能不同，并非期望越大越好，而是要看具体问题的实际意义，再根据期望值的大小来做出决策.例如本题中，应当是检测费用越少越好！例题研究——以方差作为决策依据例题3甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为甲品牌的走时误差分布列X01P0.10.80.1乙品牌的走时误差分布列Y012P0.10.20.40.20.1（1）求和；（2）求和，并比较两种品牌手表的性能．【详解】（1），．（2），，因为，，所以仅考虑误差，甲种品牌手表的性能要好【设计意图】本题是以随机变量的方差作为决策依据，随机变量的方差是反映随机变量取值相对于均值波动性大小的量，在决策问题中往往意味着不确定性.要引导学生根据实际问题来确定方差所代表的意义，再进行正确决策.例题研究——以概率作为决策依据例题4袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.【分析】（1）若根据题目积分规则，甲从6个球中任取3个，则他的总积分可以是：1分，2分，3分，4分，5分.所有得分的组合情况如下:

【详解】（1）记黑球为号，白球为号，红球为号，

则甲的可能取球共有以下20种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况，

故平局的概率.【分析】（2）本题实质上是分析甲先取球和甲后取球的获胜概率是否相等.

根据本题比赛规则让甲先取出3个球，不放回，然后乙再取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜，那么本场比赛的结果只有三种情况：甲胜，乙胜，平局.

甲先取球并且获胜就是这里的甲胜；当取球顺序改变时，甲后取球并且获胜其实就是这里的乙胜，故本题就是分别求甲、乙的获胜概率.【详解】（2）我们不妨假设事件为甲获胜，事件为乙获胜，则甲先取3球获胜得分只能是4分或5分，即取出的是2红1白，1红2白，2红1黑共6种情况，

故先取者（甲）获胜的概率为,后取者（乙）获胜的概率为，

所以，先取球和后取球的获胜概率一样，故先后取球顺序不会影响比赛的公平性.

【设计意图】本题是以概率作为决策依据的，让学生感受对于某些不可重复的随机试验，或者只知道事件发生的概率时，解决这个问题的最佳策略往往是选择成功概率最大的方案.

例题5假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于.（1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少；（2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.【分析】（1）假设正常情况下，生产的食盐质量服从正态分布，其中，，根据μ和σ的值，我们可以借助数学软件，画出随机变量的概率分布图。现任取一包试验，根据正态分布的对称性及“原则”，化为的形式,，然后求解即可.【详解】（1）假设正常情况下，生产的食盐质量服从正态分布，其中，，现任取一包试验，根据正态分布的对称性及“原则”，所以【详解】（2）由(1)可知，正常情况下任意抽取一包食盐，质量大于的概率约为，随机抽取两包检查，质量都大于的概率约为:概率值几乎为零，但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的.

【设计意图】本题仍然是以概率作为决策依据的，让学生学会小概率时间在实际问题中的应用，我们在处理这类问题时要利用“小概率事件实际不可能原则”，即如果要判断一个事件的概率很小，那么我们认为在一次试验中此事件基本不会发生，此类问题常应用于医疗、安全等领域的检测.课堂小结【设计意图】梳理本节课的学习脉络，提高学生发现、提出、分析、解决数学问题的能力，提出研究解决决策型概率问题的一般方法即为三步：第一步确定决策依据；第二步计算相关数学量；第三步结合数学意义得出实际问题的决策结论.并强调常见的决策依据有随机变量的均值方差概率等，要牢牢掌握相关计算方法，明确数学意义以