直线与圆锥曲线中的定点问题 教学设计

PAGE直线与圆锥曲线中的定点问题【学习内容】直线与圆锥曲线中的定点问题。【学习目标】1.掌握直线与圆锥曲线中有关定点问题的解法，提升逻辑推理核心素养。2.会对含参变量的式子进行变形与计算，发展数学运算的核心素养。3.会运用设而不求法、数形结合的思想、整体思想和消元的思想有效地简化运算。【学习重难点】学习重点：掌握直线与圆锥曲线中有关定点问题的解法。学习难点：直线与圆锥曲线中有关定点问题的分析思路与方法。【学习过程】引导语：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过定点，这类问题称为定点问题。直线与圆锥曲线中的定点问题是高考热点问题，主要以解答题形式考察，试题难度较大，对计算能力有较高的要求。主要的命题方向：直线过定点问题、曲线过定点问题、探究定点满足特殊条件等。我们本节课主要探究圆锥曲线中直线过定点问题，圆锥曲线包括椭圆、双曲线与抛物线。现在我们一起来看抛物线中直线过定点问题，这是一道教材改编题。1.抛物线中的定点问题例1.已知抛物线,过原点O作两条相互垂直的弦OA，OB.如图所示.直线AB是否经过一个定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。分析：本题主要有两种思路：（1）满足OA与OB斜率之积为-1，此时OA、OB斜率用A、B坐标表示.设出直线OA、OB的斜率，此时A、B坐标用OA、OB斜率表示.证明方法一：①.当直线AB斜率不存在时，设直线AB的方程为：则②.当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为：,设点直线AB:过定点(2,0).∴直线AB过定点(2,0)．评注:解法一的解决思路是先讨论直线斜率不存在的情况，在此基础直接得出定点的横坐标，这是解决定点问题的常用策略，即从特殊位置入手，然后转化为一般的求解，接下来以直线的斜率和截距为参变量，借助韦达定理表示垂直关系，体现了设而不求的思想。方法二：显然直线AB斜率不为0，设直线AB的方程为：设点直线AB:∴直线AB过定点(2,0)．评注：由于直线不可能与轴平行，所以直线方程设为，可以避免分类讨论，使解题过程简化，方法简捷优美，体现了解法2的优越性，给学生搭建了施展才能的舞台。方法三：直线OA斜率显然存在且不为0，设直线OA的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2x，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k2)，\f(2,k)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)x，,y2＝2x，))得B(2k2，－2k)．当直线AB的方程：整理可得：∴直线AB恒过一定点(2,0)．评注：解法三通过设直线OA的斜率，结合直线OB与直线OA斜率的关系，可以表示A、B两点的坐标，从而得到直线AB的方程，在解题过程中，一定要注意直线AB斜率不存在的情形。一题多解，不是解题追求的目标，更重要的是提炼解决问题的通性通法，形成数学方法和思想，促进学生数学抽象素养的提高。反思感悟1.解析几何中的定点问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点等)，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用．2．抛物线中直线过定点问题的两种求解方法:(1)若设直线方程为y=kx+m或x=ky+m，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为m，k之间的线性关系，再用m替换k或k替换m代入直线方程，则可求定点坐标．(2)若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标．设计意图：本节课例1是教材改编题，从学生熟悉的题目入手，可以提高学生学习的积极性，增强学生的自信心。另外例1是直线与抛物线中的定点问题，选择抛物线，既可以简化计算，又能一题多解，体现求解定点问题的一般方法。猜想：若题中抛物线改为,则结论还成立吗？问题探究设是抛物线上的两点，满足（为坐标原点）探究：直线是否经过一个定点.，，，即直线过定点.设计意图：探究1是例题1的一般性结论，如果同学们熟记这一结论，在做相关抛物线中直线过定点问题可以节省很多时间。本道题也提醒同学们做完一道题，可以多思考，如果题目条件改变，还能得出哪些结论，如果同学们能够探究出结果，将会大大提高同学们学习数学的兴趣。2.椭圆中的定点问题例2．已知椭圆C:x24+y2解：方法一：设直线PA与直线PB的斜率分别为k1①当直线l的斜率不存在时，设其方程为x=t(t≠0且|t|<2)，由椭圆对称性知，直线l与C的两交点不妨令A(t,y0)，则B(而k1+k2=−1此时，直线l：x=2过椭圆C的右顶点，与椭圆C只有一个公共点，不满足题意，②当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m(m由y=kx+mx24+yΔ=64k2x1+x2=−8kmk1+k整理得m=−2k−1，当m=−2k−1时，而4k因此，当且仅当k<0，即Δ>0时，直线l方程为：y=k(x−2)−1，直线l过定点(2,−1)所以不过点P(0,1)的直线l与C交于两点时，直线l过定点(2,−1).方法二：设直线PA：y=k1x+1,由y=k1x+1x解得x=0将x=−8k14k①当直线l的斜率不存在时，−8k又因为k1≠k2,所以k1②当直线l的斜率存在时，kAB直线AB方程为：y−整理得y=k1+k21−4变形得x所以x+y−1=0y+1=所以不过点P(0,1)的直线l与C交于两点时，直线l过定点(2,−1).设计意图：通过椭圆中定点问题的分析，让学生进一步熟悉定点问题的求解方法。提升逻辑推理与数学运算核心素养。解法归纳，提炼升华圆锥曲线中直线过定点问题的求解:(1)设参数。从目标对应关系式出发设出相关的参数，如设出直线的斜率、截距、点的坐标等。(2)列关系。根据题设条件,列出关系式。(3)求直线。联立直线与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，求直线系方程。(4)下结论。即求出满足直线系方程的定点坐标。4.课堂小结，凝练升华教师引导学生回顾本节学习的主要内容(1).本节课我们探究了哪些问题？有哪些收获呢？(2).本节课用到了哪些数学思想方法？5.教学反思,素养提升解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即研究的过程是：几何问题代数问题代数结论几何结论。所以它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题；（2）研究代数问题，得出几何结论。要利用图形，巧妙转化实现几何条件代数化。怎样将几何问题转化为代数问题？常常需要从下面几个环节入手：（1）主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这一环节最为关键。