2024-2025学年高考数学一轮复习解题技巧方法第六章第4节法向量的计算与点到平面距离的计算教师版

法向量的计算与点到平面距离的计算学问与方法1．求法向量的“找0法”（1）举个例子，设，是平面内的两个不共线的向量，我们视察到的第三个重量是0，则先将的前两个重量交叉，并在其中一个重量上添负号，得到平面的法向量n的前两个重量，如，再由求得第三个重量，从而.（2）若遇到和都没有重量是0的情形，可以先用他们进行线性运算，变出一个0，再按上面的方法操作．例如，若，，则，留意到也是平面内的向量，所以可以用它来求法向量，这样就出现“0”了.2.计算点到平面的距离常用三种方法（1）作高法：干脆作出过点到平面的垂线段。计算该垂线段的长度即可.（2）等体积法：以三棱锥为例，可以依据得出，其中是点A到平面的距离，是点B到平面的距离，可以利用上述方程求解或.（3）向量法：如下图所示，P为平面外一点，A为平面上随意一点，n为平面的一个法向量，则点P到平面的距离提示：文科生可以忽视本节与向量法有关的内容，只需驾驭作高法和等体积法.典型例题【例题】在棱长为2的正方体中，点A到平面的距离为_______.【解析】如图，易证，故平面，所以A、E两点到平面的距离相等，明显四面体是正四面体，所以点D在平面上的投影恰为的中心G，取中点F，则，所以平面，故所求距离与的长相等，设中点为H，则平面，所以，故在中，，，所以，，从而点A到平面的距离为。解法2：易得是边长为的正三角形，故，设所求距离为d，，由得：，解得：.解法3：建立如图所示的坐标系，则，，，所以，，，用“找0法”求得平面的法向量为，从而点A到平面的距离.【答案】强化训练1.（★★★）如下图所示，棱长为2的正方体中，E为中点，则点D到平面的距离为______.【解析】解法1：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，则由找“0”法可求得平面的法向量，从而点D到平面的距离.解法2：如图，取中点F，连接，明显，所以平面，从而点D和点F到平面的距离相等，易求得，，所以，设点F到平面的距离为d，则，另一方面，，所以，因为，所以，从而，故点D到平面的距离为.【答案】2.（★★★）长方体中，，，则点B到平面的距离为_______.【解析】由题意，，，所以，，故，设点B到平面的距离为d，另一方面，，另一方面，，因为，所以，故.解法2：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，用“找0法”求得平面的法向量为，从而点B到平面的距离.【答案】3.（★★★）如下图所示，在正三棱柱中，，，D为的中点，则点A到平面的距离为_____.【解析】如图，由题意，，，，故，设点A到平面的距离为d，则，另一方面，，设中点为O，易证，，所以平面，故点C到平面的距离为，从而，因为，所以，解得：.解法2：取中点E，中点F，易证四边形为平行四边形，所以，易证，，所以平面，从而平面，故，又，所以，故平面，即点A到平面的距离为.解法3：以O为原点建立如图所示的坐标系，则，，，，所以，，用“找0法”求得平面的法向量为，又，所以点A到平面的距离.【答案】4.（★★★）如下图所示，直三棱柱中，，，D、M分别为所在棱的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.【解析】（1）由题意，，D为中点，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为、平面，，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以.（2）解法1：由题意，M是中点，所以点和点A到平面的距离相等，因为平面，平面，所以，又，所以平面，过A作于F，则，所以平面，易求得，，，所以，故点到平面的距离为.解法2：因为平面，所以，又，所以平面，易求得，故，而，所以，设