第十四章整式乘法与因式分解教案

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1.1同底数幕的乘法

课型：新授

教学目标

1.知识与技能

在推理判断中得出同底数暴乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用.

2.过程与方法

经历探索同底数幕的乘法运算性质的过程，感受累的意义，发展推理能力

和表达能力，提高计算能力.

3.情感、态度与价值观

在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心.

重、难点与关键

1.重点：同底数累乘法运算性质的推导和应用.

2.难点：同底数幕的乘法的法则的应用.

预习导航：幕的运算中的同底数界的乘法教学，要突破这个难点，必须引

导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性

上来，提醒学生注意一£与（一a）2的区别.

教学方法

采用“情境导入一探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同

底数幕的运算法则.

教学过程

I、提出问题，创设情境

复习an的意义：

即表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方.乘方的结臭叫寤；a叫做

底数，n是指数.

（出示投影片）

提出问题：

（出示投影片）

问题：一种电子计算机每秒可进行10%次运算，它工作1（）3秒可进行多少

次运算？

［师］能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？

［生］运算次数:运算速度X工作时间

所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012x1（）3.

［师］1012x103如何计算呢？

［生］根据乘方的意义可知

1012X103=(10X［JD<10)X(10X10X10)=(lOxlOxfUftlO)=1015.

1___J、___J

12个1015个10

［师］很好，通过观察大家可以发现10AIO?这两个因数是同底数骞的形式,

所以我们把像1012x103的运算叫做同底数累的乘法.根据实际需要，我们有必

要研究和学习这样的运算一同底数基的乘法.

n.导入新课

1.做一做

出示投影片：

计算下列各式：

⑴25X22

(2)a3-a2

(3)5m.5n(m、n都是正整数)

你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的

语言描述.

［师］根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题.

［生］(1)25X22=(2X2X2X2X2)X(2X2)

=27=25+2.

因为25表示5个2相乘,；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道

理可得

a3-a2=(a-a-a)•(a-a)=a5=a3+2.

5m-5n=(5x5x［®5)x(5x5x［］D<5)=5m+n.

、___/1___/

ni个5n个5

(让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙

述).

［生］我们可以发现下列规律：

(一)这三个式子都是底数相同的鼎相乘.

(二)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个累的指数的和.

2.议一议

出示投影片

am4等于什么(m、n都是正整数)？为什么？

［师生共析］

胪表示同底数幕的乘法.根据幕的意义可得：

am-an=(6fMIU［］a)•(aEizDUDa)=aLMQIla=am+n

、*v*/J.\Z./>/

m个an个a(trrt-n)个a

于是有am.a『am+n(m、n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：

“同底数哥相乘，底数不变，指数相加”.

［师］请同学们用自己的语言解释“同底数基相乘，底数不变，指数相加”

的道理，深刻理解同底数幕的乘法法则.

［生］am表示n个a相乘，a11表示n个a相乘，am.a11表示m个a相乘再乘以

n个a相乘，也就是说有(m+n)个a相乘，根据乘方的意义可得am・an=am+n.

［师］也就是说同底数累相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加.

3.例题讲解

出示投影片

［例1］计算：

(1)x2x5(2)a-a6

(3)2X24X23(4)x叫x3m+i

［例2］计算Wa>aP后，能找到什么规律？

［师］我们先来看例1,是不是可以用同底数幕的乘法法则呢？

［生1］(1)、(2)、(4)可以直接用“同底数暴相乘，底数不变，指数相加”

的法则.

［生2］(3)也可以，先算2个同底数累相乘，将其结果再与第三个累相乘,

仍是同底数球相乘，再用法则运算就可以了.

［师］同学们分析得很好.请自己做一遍.每组出一名同学板演，看谁算得

又准又快.

生板演：

(1)解：x2-x5=x2+5=x7.

(2)解：a-a^a'-a^a'^a7.

(3)解：2X24X23=2I+4-23=25-23=25+3=28.

(4)解.x1n.x3m+l=xm+(3m+l)=x4m+l

［师］接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？•与同伴交流一

下解题方法.

解法一：am-an-ap=(am-an)-ap

=am+n-ap=am+n+p；

解法二:am-an-ap=a,n-(an-ap)=am-an+p=ani+n+p.

解法三：am-an-ap=〃％口皿。♦a［JaOWa-aOzDITDa

_^m+n+p

评析；解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律;

解法三是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果.我们需要这种开拓

思维的创新精神.

［生］那我们就可以推断，不管是多少个冢相乘，只要是同底数累相乘，

就一定是底数不变，指数相加.

［师］是的，能不能用符号表示出来呢？

,•••amn=am1+m2+mn

［师］太棒了.那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.

2X24X23=2,+4+3=28.

ni.随堂练习

1.课本P96练习

IV.课时小结

［师］这节课我们学习了同底数事的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何

新的收获和体会呢？

［生］在探索同底数累乘法的性质时，进一步体会了事的意义.了解了同底

数曷乘法的运算性质.

［生］同底数骞的乘法的运算性质是底数不变，指数相加.应用这个性质时,

我觉得应注意两点：一是必须是同底数事的乘法才能运用这个性质；二是运用

这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am.an=am+n(小、n是正整数).

V.课后作业

1.课本P104习题14.1—1.(1)、(2),2.(1).

板书设计

§15.2.1同底数累的乘法

一、计算机运算次数：1012X1()3

计算10i2xi03=a0xl0x[Bd0)x(10x10x10)=10xl0xm<10=10

'i?bio'15个10

二、算一算，找规律

I.25X22=(2X2X2X2X2)X(2X2)

二(2x2x[W2)=27；

2.a3-a2=(a-a-a)•(a-a)=a-a-a-a-a=a5；

3.5m.5n=(5x5X[K<5)X(5X5x|®5)=5x5x[»5=5m+n

、___J1___/、V/

m^5n个5个5

三、同底数累的乘法法则：

同底数累相乘，底数不变，指数相加.即am.a・am+n(m、n都是正整数)

四、例题讲解：(由学生板演)

14.1.2-的乘方

课型：新授

教学目标

1.知识与技能

理解累的乘方的运算性质，进一步体会和巩固寤的意义；通过推理得出累

的乘方的运算性质，并且掌握这个性质.

2.过程与方法

经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通

过情境教学，培养学生应用能力.

3.情感、态度与价值观

培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应生价值.

重、难点与关键

1.重点：幕的乘方法则.

2.难点：塞的乘方法则的推导过程及灵活应用.

预习导航：在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，要求对性质深

入地理解.

教学方法

采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幕的

乘方法则.

教学过程

一、探索练习：

个

1、6,表示—一

个

（6丁表示一

a?表示个

个

6）3表示

在这个练习中，要引导学生观察，推测（6?）,与（aT的底数、指数。并用

乘方的概念解答问题。

2、（62）-X_________X_______X

二（根据-a"二小）

(33)JX______X_______X_________X

=(根据a**a=am')

(a2)3=XX

=(根据an•a"=ann)

(a)2=X

(根据—

(ara)-X______X-X_______X

:(根据a"•a^a")

即(1)n=(其中m、n都是正整数)

通过上面的探索活动,发现了什么？

募的乘方，底数__________，指数___________.

学生在探土练习的指引下，‘自主的完成有关的练习，并在练习中发现幕的乘

方的法则，从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习塞的乘

方的来历。教师应当鼓励学生自己发现累的乘方的性质特点(如底数、指数发

生了怎样的变化)并运用自己的滔言进行描述。然后再让学生回顾这一性质的

得来过程，进一步体会累的意义。

二、巩固练习：

1、1、计算下列各题：

(1)(103)3(2)[(£)3]4(3)[(-6)3]4

(4)(x2)5(5)—(a2)7(6)—(as)3

(7)(x3)4•x2(8)2(x2)n-(xn)2

(9)[(x2)3]7

学生在做练习口寸，不耍鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每步的运

算理由，进一步体会乘方的意义与哥的意义。

2、判断题，错误的予以改正。

(1)a5+a5=2a10()

(2)(s3)3=x6()

(3)(-3)2•(-3)4=(-3)6=-36()

(4)x3+y3=(x+y)3()

26

(5)[(m-n)3]4r(m-n)]=0()

学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用.

提高练习：

1、1、计算5(P3)4•(-P2)3+2[(-P)2]4・(-P5)2

[(_[)m]2r+]m-1+02002_(_])1990

2、若(x2)n=x8,则m=.

3、、若[(x?)m]2=x12,贝Jm=o

4、若xm•x2ni=2,求x9m的值。

5、若a2』3,求(a?11)，的值。

6、已知am=2,an=3,^J<a2m+5n的值.

【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生。

【学生活动】书面练习、板演.

四、课堂总结，发展潜能

1.事的乘方(I)n=ann(m,n都是正整数)使用范围：幕的乘方.方法：

底数不变，指数相乘.

2.知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，也可以是单项

式或多项式.

3.幕的乘方法则与同底数累的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，

一个是“指数相加”.

五、布置作业：

1.课本P104习题14.1第1(3)、(4)题.

2.附加练习

[-(x+y)4，(a向)2X(a2n+1)3(-32)3a3Xa4Xa+(a2)'+2(a4)2

(x^)2X(-x^)3+x^nX(-x3)m

计算：-X2-X2•(x2)3+x,0.

六、板书设计

15.1.2暴的乘方

1、第的乘方的乘法法则例：计算练习：

豪的乘方，底数不变，指数相乘.(D(103)5(2)(b3)%

(3)(xn)3(4)一(x7)

即(aB)中(m,n都是正整数)

14.1.3积的乘方

课型：新授

教学目标

1.知识与技能

通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幕的意义，在推理得出

积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质.

2.过程与方法

经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培

养学生的综合能力.

3.情感、态度与价值观

通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造

他们挑战困难，挑战生活的勇气和信心.

重、难点与关键

1.重点：积的乘方的运算.

2.难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.

3.关键：要突破这个难点，教师应该在引导这个推导过程时，步步深入，

层层引导，而不该强硬地死记公式，只有在理解的情况下，才可以对积的乘方

的运算性质灵活地应用.

教学方法

采用“探窕一交流一合作”的方法，让学生在互动中掌握知识.

教学过程

(一)回顾旧知识

1.同底数嘉的乘法

2.哥的乘方

(二)创设情境，引入新课

1.问题：已知一个正方体的棱长为ZXlCTcm,你能计算出它的体积是多少吗？

2.学生分析(略)

3.提问：

体积应是V=(2X10s)'em3,结果是累的乘方形式吗？底数是2和我的乘

积，虽然IO?是幕，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能

找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的

奥秒.

(三)自主探究，引出结论

1.填空，看看运算过‘程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？

(1)(ab)&二(ab)•(ab)=(a•a)•(b•b)=a(b!

(2)(ab)3==______=a(b)

(3)(ab)n==才,b<)(n是正整数)

2,分析过程：

(1)(ab)2=(ab)•(ab)=(a•a)•(b•b)=a2b2,

(2)(ab)3=(ab)•(ab)•(ab)=(a•a•a)•(b•b•b)=a3b3；

(3)(ab)=(。8)0：。6)口皿［1。人)二(。5口皿&)・(妊口皿出)二或9

J_JI_JJ__rJ

3.得到结论:

积的乘方：(ab)n=an•bn(n是正整数)

把积的每一个因式分别乘方，再把所得的募相乘，也就是说积的乘方等于嘉

的乘积.

4.积的乘方法则可以进行逆运算.即：

a•bn=(ab)n(n为正整数)[2]

an-bn=(aM[l]Qi)•SMM□历)——累的意义

二伍历次〃历)口皿(1。历)——乘法交换律、结合律

n个⑸b)

=(a•b)n---乘方的意义

5.[例3]计算

(1)(2a)3=23-a3=8a3.

(2)(-5b)3=(-5)3.b3=-125b3.

(3)(xy2)2=x2-(y2)2=x2-y2x2=x2-y4=x2y4.

(4)(-2x3)4=(-2)冬(x3)4=16-X3X4=16X12.

(学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个

层面的学生都能学有所获)

[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用.

可以作如下归纳总结：

1.积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积.即(ab)11=a'bn

(n为正整数).

2.三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.$0(abc)n=an-bn-cn

(n为正整数).

3.积的乘方法则也可以逆用.BPan-bn=(ab)n,an-bn-cn=(abc)%(n为

正整数).

(四)、随堂练习，巩固深化

课本P98练习.

【探研时空】

计算下列各式：

(1)(--)2*(--)5；(2)(a-b)3-(a-b)4；

55

(3)(-a5)5；(4)(-2xy)4；

(5)(3a2)n；(6)(xy3n)2-[(2x)2]3；

(7)(x4)6-(x3)8；(8)-p•(-p)\

(9)(tm)2-t；(10)(a2)3-(a)2.

(五)、课堂总结，发展潜能

本节课注重课堂引入，激发学生兴趣，“良好开端等于成功一半”.

1.积的乘方(ab)n=anbn(n是正整数)，使用范围：底数是积的乘方.方

法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

2.在运用累的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，也可

以是整式，对三个以上因式的积也适用.

3.要注意运算过程，注意每一步依据，还应防止符号上的错误.

4.在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系.

(六)、布置作业，专题突破

1.课本P104习题14.1第1(5)、(6)2(2)、(3)、(4)题.

2.选做题

2(x3)2•x3-(3x3)3+(5x)2•x7(3xy2)2+(-4xy3)•(-xy)

(-2x3)3>(lx2)2

2

(-x2y)3+7(x2)2•(~x)2•(-y)3[(m-n)3]p•[(m-n)(m-n)p]5

(0.125)7x6(0.25J8X4102mX4"X(l)m

8

已知10m=5,10n=6,求10加命的值

(七)、板书设计

14.1.3积的乘方

积的乘方的乘法法则例：练习：

积的乘方把积的每一个因式(1)(ab)23

分别乘方，再把所得的暴相乘.(2)(ab)4

即(ab)(n是正整数)(3)(ab)n

14.1.4单项式乘以单项式

课型：新授

教学目标

1.知识与技能

理解整式运算的算理，会进咛简单的整式乘法运算.

2.过程与方法

经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想,

发展有条理的思考及语言表达能力.

3.情感、态度与价值观

培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神.

重、难点与关键

1.重点：单项式乘法运算法则的推导与应用.

2.难点：单项式乘法运算法则的推导与应用.

3.关键：通过创设一定的问题情境，推导出单项式与单项式相乘的运算

法则，可以采用循序渐进的方法突破难点.

教学方法

采用“情境一探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟

知识.

教学过程

(一)知识回顾：回忆累的运算性质：

am-an=a"n(a)n=ann(ab)n=aV(m,n都是正整数)

(二)创设情境，引入新课

[1]问题：光的速度约为3X10'千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大

约是5XIO?秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

[21学生分析解决：(3X105)X(5X102)=(3X5)X(105X102)=15X107

【3】.问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5・bd如何计算？

ac5•be2

=(a•c°)•(b•c2)

=(a•b)•(c5•c2)

=abc5+2

=abc"

(三)自己动手，得到新知

1.类似地，请你试着计算：(l)2c5•5c2；(2)(-5a2b3)­(-4b2c)

2.得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对

于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

二、范例学习，应用所学

【例1】计算.

(1)3x2y•(—2xy3)(2)(—5a2b3)•(—4b2c)

【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、结合律变形成数与

数相乘，同底数基与同底数事相乘的形式，单独一个字母照抄.

【例2】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9X10,米/秒，

则卫星运行3XIO'"秒所走的路程约是多少？

【教师活动工引导学生参与到例1,例2的解决之中.

【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知.

三、问题讨论，加深理解

【问题牵引】

1.a-a可以看作是边长为a的正方形的面积，a・ab又怎样理解呢？

2.想一想，你会说明a•b,3a•2a以及3a•5ab的几何意义吗？

【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生.

【学生活动】分四人小组，合作学习.

—H木利。・曲

2a一而积

四、随堂练习，巩固深化

课本P99练习第1、2题.

五、课堂总结，发展潜能

本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上.

提问：(1)请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则.

(2)在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？

六、布置作业，专题突破

1.课本P104习题15.1第3题.

2.附加练习：

1.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的

面积有多少平方米？

2.2c^bc2\-2ab2)(-3x3)2-x3

(-10xy3)(2xy*z)(-2xy2)(~3x2y3)(--xy)

4

3.3(x-y)2*[—(y-x)3K--(x-y)4]

152

4.判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式()

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积()

两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积()

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现()

5.计算：0.4x2y•(-xy)2-(-2x)3•xy3

2

6.已知玳=2,a=3,求(我+丁的值

求证：52•32n+1•2n-3n♦6n+2能被13整除

七、板书设计

14.1.4单项式乘以单项式

1、单项式乘以单项式的乘法法则例l：(l)3x2y•(—2xyb练习:

把它们的系数、相同字母分别相乘，(2)(—5a2b3)•(—4bJc)

对于只在一个单项式里含有的字母，例2卫星绕地球运动的速度

则连同它的指数作为积的一个因式.约为7.9X10)米/秒，则卫星运行

3X10，'秒所走的路程约是多少？

14.1.4单项式与多项式相乘

课型：新授

教学目标

1.知识与技能

让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法

运算法则，会进行简单的整式乘法运算.

2.过程与方法

经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化

思想，发展有条理地思考及语言表达能力.

3.情感、态度与价值观

培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应生价值.

重、难点与关键

1.重点：单项式与多项式相乘的法则.

2.难点：整式乘法法则的推导与应用.

3.关键：应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式

相乘上来，注意知识迁移.

教学方法

采用“情境一探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多项式相乘

的法则.

教学过程

一、回顾交流，课堂演练

1.口述单项式乘以单项式法则.

2.口述乘法分配律.

3.课堂演练，计算：

I0

(1)(-5x)•(3x)2(2)(―3x)•(­X)(3)-xy-—xy2

33

(4)—5m"•(--mn)(5)--x4y6-2x2y•(——x2y5)

52

【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生.

【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示.

二、创设情境，引入新课

小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1,她在纸的左右两边各留了

6

米的空白，请同学们列出这幅画的画面面积是多少？

【学生活动】小组合作，讨论.

上米什米

Q米

砌米

【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生.

【情境问题2】夏天将要来临，有3家超市以相同价格n(单位：元/台)

销售A牌空调，他们在一年内的销售量(单位：台)分别是x,y,z,请你采

用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入.

【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法.

方法一：首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量(单位：台)，再计

算出总的收入(单位：元).

即：n(x+y+z).

方法二：采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入，然后再计算出他

们的总收入(单位：元).

即：nx+ny+nz.由此可得：n(x+y+z)=nx+ny+nz.

【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项

式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加.

三、范例学习，应用所学

［例1］计算：(-2a?)­(3ab2-5ab3).

解:原式=(-2a2)(3ab2)一(-2a2)•(5ab3)

=-6a3b2+10a3b3

【例2】化简：—3x2•(-xy-y2)—lOx•(x2y—xy2)

3

解：原式二-x'y+3x2y2—lOx'y+lOx2y之

=­llx3y+13x2y2

【例3】解方程:8x(5-x)=19-2x(4x-3)

40X~8X2=19-8X2+6X

40x—6x=19

34x=19

四、随堂练习，巩固深化

课本P100练习.

【探研时空】

计算：(1)5x2(2x2—3X3+8)(2)—16x(x2—3y)

(3)—2a2(—ab2+b1)(4)(—x2y3—16xy)•—xy2

232

【教师活动】巡视，关注中差生.

五、课堂总结，发展潜能

1.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘

多项式的每一项，再把所得的积相加.

2.单项式与多项式相乘，应注意(1)“不漏乘”；(2)注意“符号”.

六、布置作业，专题突破

1.课本P105习题14.1第4题.

2.附加练习

1.^(-5an+,b2n-1)(2anbB)=-10a4b4,则m-n的值为

2.计算：(a3b)2(a2b)3

3.计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

4.计算：(・［孙)•(：孙2-2个+1、)

7

5.计算：(-3xy)(5x2y)+6x2(-xy2-2y2)

6.已知a=2,b=3,求-ab)-ab2(2a2+3ab-2a)的值

7.解不等式：2x(x+1)-(3x-2)x+2x2)x2-1

8.若2x?一3彳+m与/+〃优一2的和中不含4项，求小的值，并说明不

论x取何值，它的值总是正数

七、板书设计

14.1.4单项式乘以多项式

1、单项式乘以多项式的乘法法则例1计算：练习

单项式与多项式相乘，就是用单项(—2a2)•(3ab2—5ab3).

式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例2化简：

注意(1)“不漏乘”；(2)注意“符号”.—3x2•(-xy—y2)—lOx,(x2y—xy2)

3

14.1.4多项式与多项式相乘

课型：新授

教学目标

1.知识与技能

让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简

单的乘法运算.

2.过程与方法

经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理.

3.情感、态度与价值观

通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的

习惯.

重、难点与关键

1.重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.

2.难点：多项式与多项式的乘法法则的应用.

3.关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学

过的运算法则解决.

教学方法

采用“情境一探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过操作感知

多项式与多项式乘法的内涵.

教学过程

一、创设情境，操作感知

【动手操作】

首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1所示的四

部分，标上字母.

【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1,并标上字母.

mb

【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积.

【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：(m+b)X(n+a).

【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分

成如下图两部分，如图2.剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下

它们的和.

n

a

nt

【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为m(n+a),第

二块的面积为b(n+a),它们的和为in(n+a)+b(n+a).

【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3,

然后再求这四块长方形的面积.

n2

4

~b

【学生活动】分四人小组合作学习，求出Si=mn；S2=nb；S；=am；S4=ab,

它们的和为S=mn+nb+am+ab.

【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索(m+b)(n+a)应该

等于什么？

【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法.

(m+b)X(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab,因为我们三次计算

是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应

该是相同的，所以(m+b)X(n-a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.

【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个

多项式的每一项，再把所得的结果相加.

-E-r佃+W)+6)

字母呈现：三/=ma+mb+na+nb.

二、范例学习，应用所学

［例1］计算：(1)(x+2)(x-3)(2)(3x-l)(2x+l)

【例2】计算：(1)(X—3y)(x+7y)(2)(2x+5y)(3x—2y)

【例3】先化简，再求值：

(a—3b)2+(3a+b)2—(a+5b)2+(a—5b)2,其中a=—8,b=-6.

【教师活动】例1〜例3,启发学生参与到例题所设置的计算问题中去.

【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题.

三、随堂练习，巩固新知

课本P102练习第1、2题.

【探究时空】

一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台

面(玻璃与台面•样大小)，问台面面积是多少？

四、课堂总结，发展潜能

1,多项式与多项式相乘，应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项

式相乘的结果，利用乘法分配律来理解(m+n)与(a+b)相乘的结果，导出多

项式乘法的法则.

2,多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，在用一个多项式的每一

项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个

多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号,

在计算时要正确确定积中各项的符号.

五、布置作业，专题突破

1.课本P105习题14.1第5、7、9、10题.

2.备用题

(x+2)(x+3)—x(x+1)(22

1.

(x-l)(x+6)〉(x+5)(x+2)

2.求证：对于任意自然数〃，〃伽+5)-(〃-3)(〃+2)的值都能被6整除

3.计算：(x+ZyT)〉

4.已知x?-2x=2,将下式化简，再求值.

(x-l)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

5.小明找来一张挂历画包数学课本.已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c

厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米.问小明应该在挂历

画上裁下多大面积的长方形？

六、板书设计

14.1.4多项式乘以多项式

1、多项式乘以多项式的乘法法则［例1］计算：

用一个多项式的每一项依次去乘(1)(x+2)(x-3)(2)(3x-l)(2x+l)

另一个多项式的每一项【例2】计算:

注：1各个多项式中的项不能自乘(1)(x3y)(x*7y)(2)(2x«5y)(3x2y)

2每一项都包括前面的符号【例3】先化简，再求值：

(a—3b)2+(3a+b)2~(a+5b)2+(a—5b)2,

其中a=—8,b=—6.

14.L4同底数塞的除法

教学目标

(一)教学知识点

1.同底数幕的除法的运算法则及其应用.

2.同底数幕的除法的运算算理.

(二)能力训练要求

1.经历探索同底数幕的除法的运算法则的过程，会进行同底数辱的除法运

算.

2.理解同底数幕的除法的运算算理，发展有条理的思考及表达能力.

(三)情感与价值观要求

1.经历探索同底数累的除法运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰

富的数学经验.

2.渗透数学公式的简洁美与和谐美.

教学重点

准确熟£地运用同底数察的除法运算法则进行计算.

教学难点

根据乘:除互逆的运算关系得出同底数累的除法运算法则.

教学方法

探索讨论、归纳总结的方法.

教具准备

投影片.

教学过程

I.提出问题，创设情境

［师］出示投影片

i.叙述同底数幕的乘法运算法则.

2.问题：种数码照片的文件大小是2%,个存储量为26M

的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

［生］1.同底数第相乘，指数相加，底数不变.即：a-an=aB，n(m、n是正

整数).

2.移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位.移

动存储器的容量为26X2』2'.所以它能存储这种数码照片的数量为2怖・28.

［生］2,2,是同底数幕，同底数累相除如何计算呢？

［师］这正是我们这节课要探究的问题.

II.导入新课

［师］请同学们做如下运算：

1.(1)28X28(2)52X53

(3)102X105(4)a3•a3

2.填空;

(1)()-28=2胎

(2)()-5=55

(3)()•105=107

(4)()•a3=a6

［生］1.(1)28X28=216

(2)52X53=55

(3)102X105=107

(4)a3•a3=a6

2.除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，

步以这四个小题等价于：

(1)2164-28=()

(2)554-53=()

(3)1074-105=()

(4)a6-?a3=()

再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：(1)2'；(2)52；(3)102；

(4)a3.

［师］其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论.

［生］(1)2164-28

(2)554-53=

(3)1074-105

(4)a64-a3=

［师］从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？

(学生以小组为单位，展开讨论，教师可深入其中，及时发现问题)

［生甲］我们可以发现同底数零相除，如果还是寤的形式，而且这个事的底

数没有改变.

［生乙］指数有所变化.(1)8=16-8；(2)2=5-3；(3)2=7-5；(4)3=6-3.所

以商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数.

［生丙］这说明同底数幕的除法与同底数幕的乘法的运算法则类似.相同之

处是底数不变.不同之处是除法是指数相减，而乘法是指数相加.

［生丁］太对了.那么同底数鼎的除法运算法则可以叙述为：同底数基相除,

底数不变，指数相减.即：afaT

［师］同学们总结得很好.但老师还想提一个问题：对于除法运算，有没有

什么特殊要求呢？

［生］噢，对了，对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不

能为零.

［师］下面我们来共同推导同底数幕相除的运算法则：

方法一：aB4-an==am-n

方法二：根据除法是乘法的逆运算

•.•am-n•an-=am-n+n_=am

:.am4-an=am-n.

要求同学们理解着记忆同底数累的除法的运算法则：

同底数幕相除，底数不变，指数相减.

即：a'4-an=aM(aWO,m,n都是正整数，并且m>n)

例题讲解：(出示投影片)

1.计算：

(1)x-i-x(2)a4-ra(3)(ab)54-(ab)2

2.先分别利用除法的意义填空，再利用l+a”二十”的方法计算，你能得出

什么结论？

(1)324-32=()

(2)1034-103=()

(3)am4-an=()(a#0)

1.解：(1)X84-X2=X8-2=X.

(2)

(3)(ab)54-(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.

2.解：先用除法的意义计算.

324-32=11034-103=1a°4-a-=l(aWO)

再利用的方法计算.

Q2•Q2_Q2-2_Q0

1034-103=103-3=10°

a^a^a^a0(a#O)

这样可以总结得a0=l(aWO)

于是规定：

a°=l(aHO)

BP：任何不等于0的数的0次寨都等于1.

［生］这样的话，我们学习的同底数幕的除法的运算法则就可以扩展到：

(a^O,m、n都是正整数，且m，n).

［师］说得有理.下面请同学们完成一组闯关训练，看哪一组完成得最出色.

m.随堂练习

课本P1104练习1.

让学生独立运算，然后交流计算心得，从而达到熟悉运算法则的目的.

IV.课时小结

这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数事的除法

的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验.

V.课后作业

1.课本P105习题14.1第6（1）题.

2.预习“整式的除法”

板书设计

§14.1.4同底数募的除法

一、1.am,an=am+n（m^n是正整数）

3.3

2.计算（1）28X28（2）52X53（3）102X105(4)aa

3.填空：（）・28=216-2,64-28=（）

二、同底数幕的除法运算法则：

同底数暴相除，底数不变，指数相减.

即:am4-an=am-n（a^O,m、n都是正整数且m2n）

规定：a°=l（aHO）

三、应用

［例1］（略）［例2］（略）

14.1.4单项式除以单项式

教学目标

（一）教学知识点

1.单项式除以单项式的运算法则及其应用.

2.单项式除以单项式的运算算理.

（二）能力训练要求

1.经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，会进行单项式与单项

式的除法运算.

2.理解单项式与单项式相除的算理，发展有条理的思考及表达能力.

（三）情感与价值观要求

1.从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获得成功的体验，积

累研究数学问题的经验.

2.提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力.

教学重点

单项式除以单项式的运算法则及其应用.

教学难点

探索单向式与单项式相除的运算法则的过程.

教学方法

自主探索法.

有同底数幕的除法的研究基础，学生可以用己有的知识与数学经验，自主

探索得出单项式与单项式相除的运算法则，并能用息的语言有条理地表达及应

用.

教具准备

多媒体课件.

教学过程

I.提出问题，创设情境

问题：木星的质量约是1.90X1()21吨.地球的质量约是5.08X1()21吨.

你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

［生］这是除法运算，木星的质量约为地球质量的(L90X10")4-(5.98

X1O21)倍.

继续播放：

讨论：(1)计算(1.90X102二(5.98X1021).说说你计算的根据是什

么？

(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗？

8a34-2a；5x3y4-3xy；12aW4-3ab2.(3)你能根据(2)说说单项

式除以单项式的运算法则吗？

IE导入新课

［师］观察讨论(2)中的三个式子是什么样的运算.

［生］这三个式子都是单项式除以单项式的运算.

［师］前一节我们学过同底数幕的除法运算，同学们思考一下可不可以用自

己现有的知识和数学方法解决“讨论”中的问题呢？

(学生以小组为单位进行探索交流，教师可参与到学生的讨论中，对遇到

困难的同学及时予以启发和帮助)

讨论结果展示：

可以从两方面考虑：

1.从乘法与除法互为逆运算的角度.

(1)我们可以想象5.98X1()21•()=1.90X1024,根据单项式与单

项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，是把它们的系数、相同字母的察

分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式，可以继续联想：所求单

项式的系数乘以5.98等于1.90,所以所求单项式系数为1.90:5.98^0.318,

所求单项式的幕值部分应包含IO?—IO?1即103,由此可知5.98X1()21・(0.318

X103)=1.90X1024.所以(1.90X1024)+(5.98X1021)=0.38X103.

(2)可以想象2a・()=8a\根据单项式与单项式相乘的运算法则，可

以考虑：8+2=4,a34-a=a2即2a•(4£)=8a3,所以8a3+2a=4/.

同样的道理可以想象3xy•()=6x:y；

3ab2