第三章 函数的概念与性质（11大知识归纳+22大题型突破）（解析版）

第三章函数的概念与性质

(知识归纳+题型突破)

课标要求

1.了解函数的概念、会求函数的定义域、解析式及值域.

2.熟练掌握函数的性质，会利用函.数的单调性及奇偶性求解相关问题.

3.理解函数的对称性及周期性，并会函数性质的简单应用.

4.了解并掌握某函数的相关性质.

5.掌握函数的应用

基础知识归纳

1.函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有

唯一确定的数/(x)和它对应，那么就称/:AfB为从集合A到集合3的一个函数，记作y=A

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x值相对应的叫做)，值叫做函数值，函数值的

集合｛/(,“xwA卜叫做函数的值域。显然，值域是集合8的子集。

2.区间的概念

定义符号数轴表示

▲J»

{x\a<x<b}[a,b]ab

—4----4~►

(mb)ab

—4----J—>

{x|&V〃}[a，b)ab

—4----1—►

{x|a<x<b}(〃，b]ah

—l------»

｛冲之〃｝[a>+oo)a

・J»

{X|A>6/|(m+oo)a

------1—►

{x\x<a}(—8,a]a

-----.

(.r|A<6/|(—8,a)a

R(-no,+m)

3.函数的三要素(定义域、值域、对应关系)

在)，=/(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，)，仍然叫做函数值，)的取值范

围叫做值域。其中/表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、

对应关系统称函数的三要素。

4.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数外)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值

X|,X2

定义

当汨〃2时,都有以1内(>2),那么就说函数?U)当初42时，都有危1)次⑵,那么就说函数

在区间。上是增函数人划在区间。上是减函数

图象描

述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=A©在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数尸危)在这一区间具有(严格的)单调性，区

间。叫做y=的单调区间.

(3)函数的最值

前提设函数y=«r)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意的都有(3)对于任意的都有yu注M；

条件

⑵存在冲日，使得凡io)=M(4)存在次仁/,使得以o)=M

结论M为最大值M为最小值

5.单调性的常见运算

(1)单调性的运算

①增函数(/)+增函数(/)=增函数/

②减函数(、)+减函数(')=减函数'

③f(x)为/，则一/(x)为、，为、

fM

④增函数（/）一减函数（\）=增函数/

⑤减函数（\）一增函数（/）=减函数'

⑥增函数（/）+减函数（\）=未知（导数）

（2）复合函数的单调性

函数/（x）=〃（8（3）），设〃=g（x）,叫做内函数，贝叭x）=川做外函数,

内函数T,外函数T,n复合函数T

内函数J,外函数复合函数T城2闩福民、戌

,内函数T,外函数复合函数广结论：同增异减

内函数J,外函数T,n复合函数J

6.奇偶性

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）

②奇偶性的定义：

奇函数：/（-x）=-/（x）,图象关于原点对称

偶函数：/（-x）=/（x）,图象关于y轴对称

③奇偶性的运算

/（外g（7）y（x）+g（z）/（X）-g（T）/(jr)g(x)/［晨川

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

7.周期性（差为常数有周期）（拓展）

①若/（"〃）=/⑺，则/（工）的周期为：7=时

②若/（x+a）=/（x+b）,则/（»的周期为：T=\a-l\

③若/（x+〃）=—/（»则/⑴的周期为：T=\2a\（周期扩倍问题）

④若/(x+4)=±则/(X)的周期为：T=\2CA(周期扩倍问题)

8.对称性(和为常数有对称轴)(拓展)

轴对称

①若f(x+a)=/(-x),则f(文)的对称轴为x=^

②若/(x+a)=/(—x+〃)，则/(x)的对称轴为x二等

点对称

①若f(x+a)=二/'(7),则丁⑴的对称中心为(去0)

②若/(x+.)+/(_x+〃)-c,虬f(x)的对称中心为(与，£

9.周期性对称性综合问题(拓展)

①若f(a+x)=/(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中则/(x)的周期为：T=^a-k\

②若/(4+1)=-/'(〃一工)，f(b+x)=-f(h-x),其中则/(x)的周期为：

T=2\a-l^

③若/(4+x)=/(4-x),f(b+x)=-f(b-x),其中4./?,则/(X)的周期为：

7=4|々_母

10.奇偶性对称性综合问题(拓展)

①已知/(X)为偶函数，/(工+。)为奇函数，则/(X)的周期为：7=44

②已知/⑺为奇函数，/(x+。)为偶函数，则/(x)的周期为：7二4|。|

1L塞函数

(1)幕函数的定义及一般形式

形如y=x"(awR)的函数称为某函数，其中x是自变量，a为常数

（2）幕函数的图象和性质

」心0时,/（X）在第一象限单调递增

X

/M-aVO时，第一象限单调递减

②嘉函数的奇偶性

口为整数，为偶数一（丫）为偶函数

为奇数，/（、）为奇函数

f(x)=xa^〃为偶数时，/（x）为非奇非偶函数

。为分数，设。=幺4为奇数，/（x）为奇函数

〃为奇数呼

P夕为偶数，八）为偶函数

重要题型

题型一图象法表示函数

【例1】（1）（2023秋・广东广州•高一校联考期末）下列四个图象中，不是函数图象的是（）

y八

A.____

OX

【答案】B

【分析】根据函数的定义，可知因变量）'与自变量x是一一对应的，可以判断出各个选项中的图像是否是函

数图像，来进行作答.

【详解】由函数的定义可知，选项B中的图像不是函数图像，

出现了一对多的情况.

故选:B

（2）（2022秋•黑龙江黑河•高一校联考期末）（多选）下列各图中，不可表示函数），=/（用的图象的是（）

【答案】ABC

【分析】函数图像是函数的一种表示方法，根据函数的定义，可判断各图像是否可以表示函数.

【详解】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x,都有唯一的函数值y与它对应，因此，只有

选项D正确，选项ABC都错误.

故选:ABC

巩固训练:

1.（2023春・辽宁鞍山•高一校联考期末）若函数），=/（x）的定义域为M={xl-2KXK2},值域为

N={），|04yK2},则函数），=〃/）的图像可能是（）

【答案】B

【分析】根据函数的定义可以排除C选项，根据定义域与值域的概念排除A,D选项.

【详解】对于A选项，当xc（0,2］时，没有对应的图像，不符合题意；

对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；

对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合

题意；

对于D选项，值域当中有的元素在集合M中没有对应的实数，不符合题意.

故选:B.

2.（2023秋・广东河源•高一龙川县第一中学统考期末）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（）

【答案】ACD

【分析】由函数的定义，函数必须满足一一对应，分别对选项判断即可得到结果.

【详解】由图像可知ACD选项的图像满足一一对应，一个X有唯一的y与之对应，

选项B表示的是一个圆，不满足一一对应，除左右与.1轴的交点外，

一个x有两个与之对应，故选项B不能表示)，是工的函数.

故选：ACD.

题型二求函数值

【例2】(1)(2023秋・辽宁丹东•高一丹东市第四中学校考期末)定义在R上的函数/(X)满足

f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,ye/?),/(I)=2,则〃—3)等于

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【详解】试题分析:法一、根据条件给"J赋值得:/(2)=/(I)+/(I)+2=6,/(3)=/(2)+/(I)+4=12,

/(0+0)=/(0)+/(0)+0=/(0)=0,/(3-3)=/(3)+/(-3)-18

所以0=12-/(-3)-】&〃-3)=6.所以选。

法二、/(.r)=f+X满足题设条件.将X=-3代入即得.

考点：抽象函数.

(2)(2023秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考期末)已知函数/(x)=4+a--尿-5,且〃-2)=2,那

么f(2)=.

【答案】-12

【分析】代入X=-2,X=2,整体代换求值即可.

【详解】由题意，/(-2)=号y+〃(-2)fx(-2)-5=2,即/+〃x2-x2=-7,

3

f(2)=-JT+67x2-2/?-5=-7-5=-12.

故答案为：・12

(3)(2023秋•海南僚州•高一校考期末)已知=；,那么

7

【答案】?35

【分析】根据函数解析式代入即可求解.

2

【详解】由题意可得：/(1)=:，/(力+/(，1=丁二+)？=/匚+/匚=1，

2\x)1+x1+11+x1+x

X

(1A(h(1)17

故f⑴+,f(2)+/5+八3)+/o+八4)+/-=-+1+1+1=-.

7

故答案为：

巩固训练

1.(2023秋.陕西渭南•高一统考期末)已知，(2x-l)=4x+6,则/(5)的值为.

【答案】18

【分析】运用赋值法，结合代入法进行求解即可.

【详解】令2x-l=5=x=3,把尤=3代入/(2x—l)=4x+6中，得/(5)=4x3+6=18,

故答案为：18

2.(2023秋.河北邯郸•高一校考期末)已知函数/")满足/(x+l)=V,则/(2)=.

【答案】I

【分析】在/(x+l)=V中，令x=l即可得解.

【详解】因为/(x+l)=/,

令X=l,可得〃2)=/(1+1)=12=1

故答案为：1.

3.(2023秋・浙江台州•高一统考期末)定义在R上的函数“力满足/(1+1)+/(工-1)=3/(7),

/(x)+/(4-x)=2,则/(-1)=.

【答案】I

【分析】根据题意,分别令x=0,2,4,6,得到/(5)=〃l)J⑶=〃7)=〃一1),在令x=l,3,5,7,求得

/(1)+/(-1)=2,进而求得/(7)=；,即可求得/(一1)的值.

【详解】因为〃工+1)+/。-1)=3/⑺，

当工=0时，可得/'(l)+〃—l)=3f⑺；当x=2时,可得〃3)+〃1)=3〃7)；

当上=4时，可得f(5)+〃3)=3〃7)；当x=6时，可得〃7)+f(5)=3f⑺,

所以/(5)=/⑴,43)=/⑺

又因为/(x)+/(4-x)=2,

当x=l时，可得/。)+/(3)=2；当x=3时，可得〃3)+/(1)=2：

当工=5时，可得/(5)+/(-1)=2；当x=7时，可得/“)+/(—3)=2,

由“5)+〃-1)=2,/(5)=/(1),可得/⑴+〃-1)=2,

又因为〃1)+〃-1)=3〃7),所以/⑺、，所以4-1)=9

故答案为：!

题型三己知函数值求参数

(1)

【例3】(1)(2023秋•甘肃天水•高一校联考期末)己知/-x-l=2r+3,人〃?)=6,则加等于()

IN/

【答案】A

【分析】设1l=f，求出/")=4/+7,进而可得/(〃?)=4m+7=6,由此可求出机的值

【详解】解：设/-1=/，则x=2/+2,

所以f(f)=2(2+2)+3=4+7,

所以『("?)=4机+7=6,解得〃?二J

4

故选:A

【点睛】此题考查由函数值求自变最，考查了换元法的应用，属于基础题

4-?

(2)(2U23秋•广东深圳•高一统考期末)已知函数/(x)=-r

x-1

⑴当x=2时，求〃x)的值;

⑵若/(。)=2%求实数。的值.

【答案】(1)4;

(2)"=_，或〃=2.

【分析】⑴将修代入心)=告求解:

(2)根据/5)=g=2*求第即得.

0-1

【详解】⑴・・・函数/3=告,

2+2

・••当x=2时，/(2)=—=4；

2—1

(2)函数/")=二4的定义域为{xlxwl},

x—1

因为/(。)=2%所以/(〃)=±g=2a,

a-\

即a+2=2a(a-l),解得“=一：或a=2；

所以〃=」或々=2.

2

巩固训练

1.(2023秋・江苏南通・高一统考期末)己知函数/(x)满足：对任意的非零实数x,)，，都

/a+y)=[+_L]"M/(y)成立，/⑴=2.若/(〃)=/(〃+1),〃€Z,贝|J〃=()

3y)

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】B

【详解】由题意可得，/(l+〃)=[l+J]/⑴/(〃)=四x2/(〃)，

又f(〃)="〃+l),

所以■^^"x2=l,而〃wZ,可得〃=一2.

n

故选:B

2.(2023秋・海南饴州•高一校考期末)已知函数，。)="+二,且〃2)=6.

x-l

⑴求。的值；

(2)当Q1时,求函数人工)的最小值.

【答案】(1)4

(2)5

【分析】(1)根据题意代入运算求解;

(2)结合基本不等式求最小值.

【详解】(1)由题意可得：/(2)=2+«=6,解得a=4.

44

(2)由(1)可得：f(x)=x+--=(x-l)+--+1,

x-lx-\

'：x>\,则x-l>0,

・•・f(x)=(x-l)+—+l>2j(x-l)x—+1=5,当且仅当.■】=/一,即x=3时等号成立,

x-lVx-\x-\

所以,函数。x)的最小值为5.

题型四区间的概念及其表示

【例4】(1)(2023秋•高一课时练习)下列区间与集合{斗¥〈-2或xNO}相对应的是().

A.(-2,0)B.(―<»,—2]D[0,+x>)

C.(f,-2)U[0,+°°)D.(-3o,-2]l(0,-KO)

【答案】C

【分析】根据区间的概念判断即可.

【详解】集合中的x<-2可以表示为区间XW(YO,-2),

集合中的X20可以表示为区间xT8)，

•・•或是并集关系，

・•・集合表示为4e(70,-2)u[0,+X)

故选：C.

(2)(2023秋•高一课时练习)把下列数集用区间表示.

(l)[x|.r>-l)；

⑵[x|x<()}；

(3){x|-l<x<I};

(4){x|0<xvl或24x44}.

【答案】⑴[T，+8)

(2)1-00,0)

⑶川)

(4)(OJ)[2,4]

【分析】由区间的概念求解即可.

【详解】(1)l,+oo).

(2){x|xvO}=(YO,0).

(3){x|-l<x<l}=(-l,l).

(4){x|O<x<lnJ(2<A：<4|=(O.l)J[2,4].

巩固训练

1.(2023秋•高一课时练习)将集合4={.中<4工3}用区间表示正确的是()

A.(1,3)B.(1,3]

C.[1,3)D.[1,3]

【答案】B

【分析】利用区间的定义判定即可.

【详解】因为集合A为左开右闭区间，故可表示为(L3].

故选:B

2.(2023秋•高一课时练习)把下列数集用区间表示：

(1)[x|x>—1)；

(2){x|x<0}；

⑶

(4){x|0<x<l).

【答案】(1)[T，-)

⑵f。)

⑶(Tl)

(4)(0,1]

【分析】根据区间与集合的对应关系即可写出对应的区间表示.

【详解】(1){x|x>-l}=[-l,+o>)

(2){x|x<0}=(-oo,0)

(3){x|-l<x<l)=(-kl)

(4){X|0<X<1}=(0,1]

题型五求具体函数、复合函数及抽象函数的定义域

【例5】（1）（2023秋♦浙江台州•高一统考期末）函数/（力=73的定义域是（）

A.（0,+8）B.（2,+8）

C.[2,+oo）D.（ro,2）U（2,y）

【答案】B

【分析】依题意可得工-2>0,求解即可.

【详解】依题意可得工-2>0,解得x>2,

所以函数/（"=7占的定义域是（2,+8）.

故选：B.

（2）（2023秋・湖南娄底•高一校考期末）函数/（"=«^+’的定义域是（）

•V

A.[-l,+<x））B.（y.0）U（0,y）

C.[-1,0）U（0,-KO）D.R

【答案】C

【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.

1+x>0,

【详解】要使函数有意义，需满足1八即人之T且人才0.

xwO,

所以函数定义域为[」,（））（0,包）

故选:C.

（3）（2023秋・辽宁沈阳•高一统考期末）已知函数）=/（x+l）的定义域为[L2],则函数），=/（2工-1）的定义

域为（）

A.[；/]B.T，2C.[-1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】•・•函数y=/（x+l）的定义域为g[Jl<x<2,可得24X+1W3,

工函数V=的定义域为[2,3],

令2W2K3,解得

2

■3'

故函数y=/（2x-l）的定义域为-,2.

故选：B.

（4）（2023秋•重庆九龙坡•高一重庆市铁路中学校校考期末）已知函数/（2x+l）的定义域为卜1,2],则函数

），="x）的定义域为（）

x+1

A.{A1-I<x<2}B.{.Y|-1<x<5}

C.«x|-l<x<i>D.{x|TW5}

【答案】B

【分析】根据抽象函数的定义域可得/（力的定义域为[7,5],进而可求解.

【详解】〃21+1）的定义域为[-1,2],所以L2],「.2x+le[-L5],

因此/（x）的定义域为[T5],所以），=3的定义域满足UW5/+1工0,g|J-l<x<5,

故选：B

（5）（2023秋・辽宁本溪•高一校考期末）若函数y=〃x）的定义域是[1,2023J,则函数8"）=上附的定

X—1

义域是（）

A.[0,2022]B.[-1,1）^（1,2022]

C.（1,2024]D.[0,1）51,2022]

【答案】D

【分析】由抽象函数定义域相关概念可得答案.

【详解】因卜二1（4的定义域是U，2023],

,fl<x+l<2023[0<x<2022

则由gx=〃-可得：.nn।,

'，x-l[工一1H0[x^\

则g(x)定义域为：[0,1)51,2022].

故选：D

巩固训练

1.(2023秋・重庆•高一校联考期末)函数),=J_f+2x+3的定义域为()

A.[-3,1]B.[-1,3]

C.(-oo,-3]u[l,+oo)D.(-<x>,-l]u[3,+<x>)

【答案】B

【分析[根据解析式可知,只需-F+2X+320成立，解出不等式因可.

【详解】解:由题知尸，_父+2公3、

贝IJ有-x2+2x+32()成立，解得xe卜L3].

故选:B

2.(2023秋・河北承德•高一统考期末)函数/(力的定义域为[-24],则),=/0立的定义域为()

A-1

A.(1,8]B.[-4J)k,7(l,8]

C.(1,2]D.[-1,1)U(L2]

【答案】D

【分析】利用抽象函数和分式函数的定义域求解.

-2<2x<4

【详解】解：由题意得；*

x-lwO,

解得-1WxW2且"1.

故选：D

3.(2023秋•重庆长寿•高一重庆市长寿中学校校考期末)已知函数〃x+l)的定义域为[L2],则〃2刈的定

义域为.

-3一

【答案】弓

【分析】先由题意求出函数.f(x)的定义域为[2,3],再由2<2x<3求解，即可得出结果.

【详解】因为函数/(4+1)的定义域为口，2],所以2«工+1«3；

即函数的定义域为[2,3]；

3

由2W2xW3解得1Wx4大

2

因此/(2x)的定义域为《•

-3'

故答案为：h-

4.(2023秋・安徽芜湖・高一安徽师范大学附属中学校考期末)若函数/(x)=V7=商，则/(x)的定义域

为()

A.[2,4]B.(-oo,2]u[4,+oo)

C.(2,4)D.(-<»,2)U(4,-KO)

【答案】B

【分析】由题意可得f-6x+8N0,解不等式即可得出定义域.

【详解】要使函数〃=-6x+8有意义,则/-6丹82()，

ljl!l(x-2)(x-4)>0,解得：了42或》之4,

所以函数/(A-)=x/x2-6x4-8的定义域为(-8,2]q4,y),

故选：B

5.(2023秋・重庆渝中•高一重庆巴蜀中学校考期末)若函数f(x)的定义域是[-3,2],则函数g(x)=/G+l)的

X—1

定义域是()

A.[-4,I]B.[-3,I]C.[-3,1)D.[-4,I)

【答案】D

【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0.

【详解】由一34工+1<2解得,又工一1工0,得T4x<l.

故选：D.

题型六求函数解析式

【例6】(1)(2023秋•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考期末)已知函数"V)满足/(X+1)=/+4X+3,则

了⑶解析式是()

A.f(x)=x2+2xB.f(x)=x~+2

C.f(x)=x2-2xD.f(x)=x2-2

【答案】A

【分析】利用换元法，求函数的解析式.

【详解】设x+l=f,故x="l,则=+4(/-1)+3=/+2/,

所以/(%)=/+2工

故选：A

(2)(2023秋・重庆江北•高一字水中学校考期末)(多诜)已知函数/(x)*一次函数，满足/(/(力)=9%+8,

则f(x)的解析式可能为()

A./(X)=3x+2B./(x)=3x-2

C./(x)=-3x+4D./(x)=-3x-4

【答案】AD

【分析】设/(司=依+乩代入〃/(切)=9文+8列方程组求解即可.

【详解】设/")=依+",

由题意可知/(/(x))=k(依+。)+b=左、+奶+方=9x+8,

二=9k=3★=一3

所以，解得或《

kb+b=8b=2b=-4

所以〃x)=3x+2或〃x)=-3x-4.

故选：AD.

(3)(2023秋•高一课时练习)(1)已知/(x+l)=V+4x+l,求/(x)；

(2)已知/卜一3+±+1,求/'(X);

(3)已知2/(，1+/(x)=x(xw0j,求/‘(X).

2v

【答案】(1)/(X)=A-2+2X-2：(2)/(X)=X2+3；(3)/(x)=---=

3x3

【分析】(1)应用换元法求函数解析式；

(2)通过配方得到含工-5的解析式，即得了(x)的解析式；

(3)利用方程组求函数解析式即可.

【详解】(1)V/(x+l)=x2+4X+I,令f=x+l,则x="l,

.­./(/)=(r-l)2+4(r-l)+l=r2+2/-2,

/.J\x)=x2+2x-2：

（2）,,,/fx-—1=%2+-^+1=x-—+3,

kx）x~Vx）

j\x)=x2+3；

(3)V/(X)4-2/^=X,将原式中的x与一互换，得

1

2r

所以‘解得小)=人9"°).

⑶2/（止

(4)(2023・全国•高一专题练习)(1)已知/*)是二次函数,且满足f(0)=l,/(x+l)-/(x)=2x,求解

析式；

(2)已知/(工+1)=2^+3工+2,求,f(x)的解析式.

(3)若对任意实数-均有/(x)-2/(=r)=9x+2,求/(力的解析式.

【答案】(1)f(x)=x2-x+\；(2)f(x)=2x2-x+l.(3)/l»=3x-2

【分析】(1)利用待定系数法即可得到解析式；

(2)利用配凑法或换元法即可得到解析式；

(3)利用方程组法即可得到解析式.

【详解】(1)令/(X)=OX2+bx+c(aw0),

因为/(0)=1，所以c=l,则/(的=d+〃x+l.

由题意可知:/(x4-l)-/(x)=a(x+l)2+Z?(x+l)+l-(ax2+/状+1)

=2cix+a+b=2x,

2a=2"a=1

得AZ所以入「

所以/(X)=x2-X+1.

(2)法一：配凑法

根据/(x+1)=2/+3%+2=2(X+1)2-(X+1)+1.

可以得到/(x)=2x2—x+i.

法二：换元法

令x+l=r,则x=—l,

J\t)=2(f-1)2+3(f-1)+2=2f2-7+1.

/(x)=2x2-x+l.

(3)因为/(x)-2/(-x)=9x+2①，

所以/(-x)-2/(x)=-9x+2②，

由①+2x②得：—3/(A)=-9x+6.

解得：/(x)=3x-2.

(5)(2023・全国•高一专题练习)回答下面问题

(1)已知/(1+1)=/—3x+2,求〃力；

(2)已知函数f(x)是一次函数，若/(/(x))=4x+8,求/(x).

⑶已知/(五+1)=1+2五，求/(x)的解析式：

⑷已知/")是一次函数，且满足3/(x+l)-2/(x—l)=2x+17,求/(x)的解析式.

【答案】(1)〃力二/一51+6

(2)/(x)=2x+|或/⑴―

(4)/U)=2x+7

【分析】(1)根据配凑法或换元法求解即可；

(2)设/(幻=依+〃(。=0),再代入求解即可:

(3)令1=4+1换元求解即可；

(4)设/(幻=心+优女工。)，再代入3/(x+l)-2/(x-l)=2工+17求解即可.

【详解】(1)方法一(配凑法)：・・・/(%+1)=/-3彳+2

=(x+l)'-5x4-1=(x+l)'-5(x+l)+6,

：./(x)=x2-5x+6.

方法二(换元法)：令，=工十1,则冗二，一1,

/(r)=(r-i)2-3(r-l)+2=r2-5r+6.

即f(x)=W-5x+6.

(2)设/(A)=ax+b[aw0),

则f(/(x))=f(cix+b)+a(ax+b)+b=a2x+ab+b.

又f(/(x))=4x+8,工a2x+ab+b=4x+Sf

4=2

=4

"+一'解得,8或，

b=-

3

f(x)=2x+g或f(x)=-2x-8.

(3)令1=G+1,则INI,x=(/-l)\

因为/(«+l)=x+2«,

所以/S=(I)2+2(I)=/_[,

所以/(x)=f7(x21);

(4)由题可设./1*)=6+伙ZHO),则

f(x+\)=k(x+\)+b,=k(x-\)+b,

所以3f(x+1)-2f(x-1)=3k(x+1)+3b—2k(x-\)-2b

=kx+5k+h=2x+\l,

k=2

所以

5k+b=\l'

所以&=Z/=7,

所以/(x)=2x+7.

巩固训练

1.(2023秋・河南新乡•高一校考期末)已知/(«+l)=x-2,贝J〃x)=.

【答案】X2-2X-\(X>\)

【分析】利用换元法求解即可

【详解】令『=五+1(/21),贝l」x=r-2/+1，

所以f(t)=r-2t+\-2=r-2t-\(t>\),

即F(x)=x2-2x-\(x>1),

故答案为：X2-2X-1(X>1)

2.(2023秋.四川成都.高一成都七中校考期末)已知函数/(幻是二次函数，/(-1)=0,/(-3)=/(1)=4.

(I)求/⑶的解析式;

⑵解不等式/(X-DN4.

【答案】(1)f(%)=(“+1)2

(2)[-8,-2][2,”)

【分析】(1)根据/'(-3)=/(1)得对称轴为4-1,再结合顶点可求解；

⑵由(I)得Y24,然后直接解不等式即可.

【详解】(1)由/(-3)=/(1),知此二次函数图象的对称轴为x=-l,

又因为f(-D=0,所以(TO)是“力的顶点，

所以设/(x)=a(x+l)2

因为/。)=4,即a(I+l)2=4

所以得。=1

所以/(X)=(X+1)2

(2)因为/(x)=(x+l)2所以

/(上一1)24化为4224,即X4-2或4N2

不等式的解集为(e，-2]1⑵心)

3.(2023秋・湖南永州•高一永州市第一中学校考阶段练习)(I)已知f(x)是一次函数，且满足

3/G+1)-/(工)=2x+9,求/(X)的解析式；

(2)已知/(«+l)=x+26,求“力的解析式；

【答案】(1)/(x)=x+3；(2)/(x)=x2-l(x>l)

【分析】(1)设出/(0="+方(分0),根据题目条件得到方程组,求出。=1,。=3,得到函数解析式;

(2)换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.

【详解】(1)由题意.设函数为/(6=⑪+〃(。工0).

3/(x+l)-/(x)=2x+9,

:.^a^x+\)+3/}-ax-b=2x+9,

2a=2

即2or+3a+2/w2x+9,由恒等式性质，得「〜八，

3a+2b=9

:.a=\,b=3,

••・所求函数解析式为/(x)=x+3

(2)令t=6+l,Mr>l,x=(r-l)2,

因为/(五+l)=x+24,所以/(/)=«-炉+2(/_])=「_],

所以/(x)=f-1(x21).

4.(2023・全国•高一专题练习)(1)已知"x)=Y,求/(2x+l)的解析式；

(2)已知/(4+2)=1+4五，求函数〃力的解析式；

(3)已知/(力是二次函数，且满足〃0)=1,/(X+1)=/(A-)+2X,求函数/(力的解析式；

(4)已知〃X)+2/(T)=2X+3.求的解析式.

(5)已知“X)是定义在R上的函数，/(0)=1,且对任意的实数x,yf(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),

求函数/(力的解析式.

【答案】(I)/(2x+1)=4x2+4x+l；(2)/(.r)=x2-4(x>2)；(3)/(x)=x2-x+l；(4)j(x)=-2x+\；

(5)/(x)=x2+x+l

【分析】(1)用2x+l代/3中的x计算可得;

(2)用换元法，设f=《+2,解出人后代入可得，注意，的取值范围；

(3)设/("=加+瓜+c・3。。)，代入已知条件解方程组可得;

(4)用一x替换/(x)+2/(r)=2x+3中的x,两式组成方程组后解之可得；

(5)在已知式中令＞=工代入求解.

【详解】(D因为,所以/(2X+1)=(2X+1)2=4/+4X+1.

⑵设7=4+2,则，＞2,77=r-2,KUr=(r-2)2,

所以/。)=(…2)2+4(.2)=〃-4,所以/(工)=/-4*22).

(3)因为/(力是二次函数，所以设〃力=©2+加+以。工0).由〃0)=1,得c=l.

由f(x+l)=/(x)+2x,得a(x+l『+/?(X4-1)+1=ar2+灰+1+2工，

整理得(2。-2)%+(〃+3=0,

2a20，1

所以I"I='所以:=1，所以/("=/7+1.

a+b-0[Z;=-l

(4)用r替换/(X)+2/(T)=2X+3中的”,得/(r)+2/(x)=—2x+3,

/(x)+2/(-x)=2x+3

解得/(x)=-2x+l.

2f(x)+f(-x)=-2x+3

<5)令)'=x,则/(工_)，)=/(0)=/(人)一入(2入一入十1)=1,所以/(1)=丁十x十i

5.(2023秋•四川眉山♦高一校考期末)已知一次函数“劝满足/⑵=3,/(x+l)-/W=2.

⑴求八用的解析式；

(2)若WxeR,〃?[2+1)+/叭x)<l,求实数〃?的取值范围.

【答案】(l)/(x)=2x—l

(2)-l<m<0

【分析】(1)待定系数法求函数解析式，设〃力=履+乩代入条件，得到方程组，解出参数即可;

(2)将函数解析式代入即可转化为一个不等式恒成立的问题.

【详解】(1)设/(x)=H+b,则/(x+l)=k(x+l)+b.

由/(x+l)-/(x)=2得2.

因为〃2）=2k+b=3,所以Z,=・l.

所以，/（力的解析式为/W=2x-1.

（2）将/（x）=2x-l代入+1）+"始（力<1得,加+2〃tr一1<0（*）.

即Vx€R,nix2+2inx-\<0.

①当〃?=（）时，不等式*变为-1<0,满足条件；

m<0

②当〃?00时，原问题等价于小y,/八

（2ni）-4m

解得-1<m<0.

综上，实数〃?的取值范围为-1<用<0.

题型七求函数的值域

【例7】（1）（2023・全国•高一专题练习）函数），=J-x2+2x+2的值域为.

【答案】［。,6］

【分析】根据题意可得0«-V+2x+2«3,可求出结果.

【详解】令〃（力=一£+2工+2,则0工〃（同=一/+2讨+2=—（工—1）2+343,

所以0K），W6.

故答案为：［。，6］

（2）（2023秋・浙江•高一校联考阶段练习）若集合），=3工-3.1+4的值域为（）

x-x+l

（131L131（八131L13'

A・a旬B.久c.［o,y］D.闯

【答案】B

【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解.

［详解］由）,=3x：―3x+4可得产3+二

A：2-X+1X~-X+1

由于函数/"）=丁7+1=1-；］+9之:，所以0<

故选:B

（3）（2023•全国•高一课堂例题）求下列函数的值域:

⑴/(x)=(x-1)2+1,Xe{-1,0,1,2,3}；

⑵f(x)=(x-l)2+l.

【答案】(1){1,2,5}

⑵3”1}

【分析】(1)(2)根据定义域即可求出函数的值域；

【详解】(1)由题意，

在f(x)=(X—4+1中，xw{-1,0,1,2,3},

/(-1)=[(-1)-1]2+1=5,

/(0)=2,/(1)=1,/(2)=2,/(3)=5,

・•・这个函数的值域为(1,2,5).

(2)由题意，

在f(x)=*-])2+i中，XeR,

(x-l)2+l>l,

・・・这个函数的值域为{ylyzi}.

(4)(2023秋・广东佛山•高一校考阶段练习)完成下列各小题：

⑴若正数巴》满足2x+y+6=.w，求x+y的最小值.

(2)已知x>1,求1+7X+10的最小值

x-l

⑶已知定义在(0,y)的函数/(x)=2-3%,，求函数的值域

【答案】⑴4&+3

⑵9+6夜

⑶F2-4拘

【分析】(1)用工表示)'得'=生粤，再利用基本不等式即可;

x-1

(2)利用换元法和基本不等式即可：

(3)利用基本不等式即可.

【详解】(1)由题得，正数人，满足24十)，十6=町，，

2x+6八

v=---->0

因为2工+)，+6=母，所以，x-1=>x>\,

x>0

=x+^i^=x+2+—=(x-I)+—+3>2/(x-l)--+3=472+3；

x—1x—1x—1Vx—1

当且仅当（工-1）=白，得（工一行=8,即x=l+2加时，等号成立;

A'-1

所以X+V的最小值为4亚+3.

（2）因为x>l,所以x-l>0,令f=x-l,所以f>0,

所以』、7x+l()=(叁小四也=r+%+18=/+竺+9之代+9=9+6人，

x-1tttVt

当且仅当，=3&，即x=l+3近时，等号成立;

所以%