春新北师大版八年级数学下册 全册教案

第一章三角形的证明

【单元分析】

本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”

一章中，我们给出了条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有

关平行线的一些结论。运用这些基本事实与已经学习过的定理，我们还可

以证明有关三角形的一些结论。

在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探

索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树

立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了

基础。

【单元目标】

.知识与技能

0等腰三角形的性质与判定定理；

0直角三角形的性质定理与判定定理；

.过程与方法

0会运用等腰三角形的性质与判定定理解决相关问题；

0直角三角形的性质定理与判定定理解决简单的实际问题；

.情感态度与价值观

0经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的

过程，培养学数学、用数学的意识与能力；

0感受数学文化的价值与中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国

与热爱祖国悠久文化的思想感情。

【单元重点】

在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明

确条件与结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质

定理与判定定理。

【单元难点】

明确推理证明的基本要求如明确条件与结论，能否用数学语言正确表

达等。

【教学思路】

.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说

理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学

生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章

的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，

从而形成对相关图形整体的认识。

.对于证明的方法，除了注重启发与回忆，还应注意关注证明方法的多样

性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适

当的方法。

.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。

.作为初中阶段几何证明的最后阶段,教学中应要求学生掌握综合法与分

析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证

明表述的要求。

【单元课时安排】

课题课时

等腰三角形课时

直角三角形课时

线段的垂直平分线课时

角平分线课时

回顾与思考课时

等腰三角形

【教学目标】

.知识与技能

理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形

的性质定理C

・过程与方法

经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是

探索活动的自然延续与必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的

能力。

.情感态度与价值观

启发引导学生体会探索结论与证明结论，及合情推理与演绎的相互依

赖与相互补充的辩证关系。

【教学重点】

经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程。

【教学难点】

用综合法证明有关三角形与等腰三角形的一些结论。

【教学方法】

讲授法

【课时安排】

课时

第一课时

【教学目标】

・知识与技能

能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理与判

定定理。

.过程与方法

经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是

探索活动的自然延续与必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能

力。

.情感态度与价值观

启发引导学生体会探索结论与证明结论,及合情推理与演绎的相互依

赖与相互补充的辩证关系。

【教学重点】

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求与

方法。

【教学难点】

明确推理证明的基本要求如明确条件与结论，能否用数学语言正确表

达等。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：回顾旧知导出公理

提请学生回忆并整理已经学过的条基本事实中的条：

.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两

条直线平行；

.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

.两边夹角对应相等的两个三角形全等。；

.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（）；

.三边对应相等的两个三角形全等。；

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：.（推论）

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（），

并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；.回忆全等

三角形的性质。

已知：如图，zz,zz.

求证：△.

证明：•・・//"/（已知），

又,ZZZ°（三角形内角与等于。）,

AZ°（ZZ）,

Z°（ZZ）,

AZZ（等量代换）。

又（已知），

（）o

第二环节：折纸活动探索新知

在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这

些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根

据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学

生经历这些定理的活动验证与证明过程。具体操作中，可

以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性

质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。

第三环节：明晰结论与证明过程

在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，与

学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两

至三个学生板演证明，其余学生挑选其一证明.其后，教师

通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明

晰证明过程。

0等腰三角形的两个底角相等；

0等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高

三条线重合

第四环节：随堂练习巩固新知

学生自主完成第题：如图（图略），在△中是上的一点,

且L,

0求证：△是等腰三角形；

0求/的度数。

第五环节:课堂小结

让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法

等。

第六环节：布置作业

课本第页习题第、题

【板书设计】

等腰三角形（一）

证明：•・•//,//（已知），

又,ZZZ°（三角形内角与等于。）,

・・・//（等量代换）。

又（已知），

【教学反思】

第二课时

【教学目标】

.知识与技能

进一步熟悉证明的基本步骤与书写格式，体会证明的必要性。

,过程与方法

让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续与必要发展，发展学生

的初步的演绎

逻辑推理的能力。

.情感态度与价值观

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。

【教学重点】

用面积法验证勾股定理。

【教学难点】

用综合法证明有关三角形与等腰三角形的一些结论。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：提出问题，引入新课

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），

你能发现其中一

第二环节:自主探究

在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中

线、高等），观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证

明。

你可能得到哪些相等的线段？

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证与

证明过程；

还可以有哪些证明方法？

通过学生的自主探究与同伴的交流，学生一般都能在

直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等.

并对这些命题给予多样的证明。

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等“，学生得到

了下面的证明方法：

已知：如图，在△中，，、是△的角平分线.

求证：.

证法：•・・，

・・・//（等边对等角）.

,・22,ZZ,

・•・//.

在△与△中，

ZZ,,ZZ.

・•.（全等三角形的对应边相等）

证法：证明：・••，

・•・//.

又•・・//.

在△与△中，

ZZ,,ZZ.

・•.（全等三角形的对应边相等）.

第三环节：经典例题变式练习

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线

段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，

研究课本“议一议”：

在课本图一的等腰三角形中，

（）如果//呢？由此，你能得到一个什么结论？

（）如果,，那么吗?如果，呢？由此你得到什么结论？

第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质

提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考

等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且

每个内角都等于0.

已知：在A中，.

求证：ZZZ°.

证明：在A中，•・・，・・・//（等边对等角）.

同理：ZZ,AZZZ（等量代换）.

又・•.NNN=°（三角形内角与定理），.•・//

Z=°.

学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对

于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于。”

的证明过程：

第五环节：随堂练习及时巩固

在探索得到了等边三角形的性质的基础上,让学生独

立完成以下练习。

1.如图，已知△与△都是等边三角形.

求证

活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握

综合证明法的基本要求与步躲，规范证明的书写格式。

第六环节：探讨收获课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形

中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，

第七环节：布置作业

课本第页习题第、题

【板书设计】

等腰三角形（二）

已知：在A中，.

求证：zzz°.

证明：在△中，•・・，・・・//（等边对等角）.

同理：ZZ,AZZZ（等量代换）.

又•..///=°（三角形内角与定理），・•.///=0・

【教学反思】

第三课时

【教学目标】

.知识与技能

探索等腰三角形判定定理。

.过程与方法

理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。

.情感态度与价值观

培养学生的逆向思维能力。

【教学重点】

理解等腰三角形的判定定理。

【教学难点】

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：复习引入

通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的

思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命

题的题设与结论分别是什么？

问题•我们是如何证明上述定理的？

问题.我们把性质定理的条件与结论反过来还成立

么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的

边也相等？

第二环节：逆向思考，定理证明

教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的

结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还

可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途

径.例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个

角相等的三角形是等腰三角形吗？

［生］如图，在△中，ZZ,要想证明，只久

要构造两个全等的三角形，使与成为对应边/\

就可以了./\

BC

［师］你是如何想到的？

［生］由前面定理的证明获得启发，比如作的中线，或作

的平分线，或作上的高，都可以把△分成两个全等的三角

形.

［师］很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然

后分组讨论.

［生］我们组发现，如果作的中线，虽然把△分成了两个

三角形，但无法用公理与已证明的定理证明它们全等.因

为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对

角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的.后两种方

法是可行的.

［师］那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明

过程书写出来.（教师可让两个同学在黑板上演示，并对

推理证明过程讲评）

（证明略）

［师］我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非

常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有两个角相等

的三角形是等腰三角形.这一定理可以简单叙述为：等角

对等边.我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数

学语言的对称美.

第三环节：巩固练习

将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定

理。引导学生进行分析。

已知：如图，/是△的外角，//且

求证：./

证明：•・・//,W一0

・・・//（两直线平行，同位角相等），/\

Bc

NN（两直线平行，内错角相等）.

又「NN,・•・//.

・•.（等角对等边）.

第四环节：适时提问导出反证法

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题

也获得了一个数学结论.如果否定命题的条件，是否也可

获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么

这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如

果成立，你能证明它吗？

有学生提出：“我认为这个结论是成立的.因为我画了

几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们

所对的边也不相等.但要像证明“等A

角对等边”那样却很难证明，因为它/A

的条件与结论都是否定的."的确如/\

此.像这种从正面人手很难证明的结

论，我们有没有别的证明思路与方法呢？

我们来看一位同学的想法：

如图，在△中，已知NWN,此时与要么相等，要么

不相等.

假设，那么根据“等边对等角”定理可得但已

知条件是与已知条件相矛盾，

因此美

你能理解他的推理过程吗？

再例如，我们要证明△中不可能有两个直角，也可以

采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设N°,

2°,可得,但”与

Z°”相矛盾，因此△中不可能有两个直角.

引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢？

引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与

已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结

论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做

反证法.

接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰

三角形的判定定理“等角对等边“，最后结笊例了解了

反证法的含义.

第五环节：拓展延伸

活动过程与效果：在一节课结束之际，为思

维的综合性、灵活性特安排了个练习。一个

角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的

周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维

度思考问题的能力。学生在独立思考的基础上再小组交

流。

.如图，平分N,平分N,且//,设，，求△的周

长・.

.现有等腰三角形纸片，如果能从一个角的顶点出发，将

原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片，问此时的等腰三

角形的顶角的度数？

第六环节：课堂小结

()本节课学习了哪些内容？

0等腰三角形的判定方法有哪几种？

0结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质与判定的区

别与联系.

（）举例谈谈用反证法说理的基本思路

第七环节：布置作业

【板书设计】

等腰三角形（三）

已知：如图，/是△的外角，//且—。

求证：./\

证明：•・・//,8c

・・・//（两直线平行，同位角相等），

NN（两直线平行，内错角相等）.

又•・•//,・•・//.

・•・（等角对等边）.

【教学反思】

第四课时

【教学目标】

.知识与技能

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有。角的直角三角形性

质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

.过程与方法

经历运用几何符号与图形描述命题的条件与结论的过程，建立初步的

符号感，发展抽象思维。

.情感态度与价值观

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】

等边三角形判定定理的发现与证明。

【教学难点】

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：提问问题，引入新课

教师回顾前面等腰三角形的性质与判定定理的基础

上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角

形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角

形呢？从而引入新课。

开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供

了铺垫。

（教师应给学生自主探索、思考的时间）

第二环节：自主探索

学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并

交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的

证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出

卜表:

性质判定的条件

等腰三等边对等角等角对等边

角形（含“三线合一”有一角是。

等边三即等腰三角形

角形）顶角平分线，

底边上的中

线、高互相重

合

等边三角形三三个角都相

个角都相等，等的三角形

且每个角都是等边三角

是。形

经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学

生的自主探究能力。

第三环节：实际操作提出问题

活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三

角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含。角的直

角三角形。拿出三角板，做一做：

用含。角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?

能拼出一个等边三角形吗？

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关

系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说

你的理由.

让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三

角形中，如果一个锐角等于°,那么它所对的直角边等于

斜边的一半.

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于°,那么

它所对的直角边等于斜边的一半.

已知：如图，在△中，z°,z°.

求证：,

分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长至，使,

连接.

证明：在△中，z°,z°z°.

延长至，使，连接（如图所示）.

•・二。・・・/。4

•・•，・•・△里△（）・/

・•.（全等三角形的对应边相等）./

△是等边三角形（有一个角一ID

是。的等腰三角形是等边三角

形）・

第四环节：变式训练巩固新知

直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形

所对的锐角等于。吗？如果

是，请你证明它.

在师生分析的基础上，给出证明:

已知：如图，在△中，zc

求证：z°

证明：延长至，使，连接.

又•・•・

「・△里△().

又丁

即△是等边三角形.

・・・/°.在△中,z°.

呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理

解答例题。

等腰三角形的底角为°,腰长为，求腰上的高的长.

分析：观察图形D

可以发现在△中，

而/是△的一个外角，而Nx°°,根据在直角三角形

中，。角所对的直角边是斜边的一半，可求出.

解：・•・//°

.-.zzz°°°

・・・x（在直角三角形中，如果一个锐角等于。，那么它

所对的直角边等于斜边的一半）.

第五环节：畅谈收获课时小结

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、

结论，以及解决问题的方法与蕴含其中的思想，如分类讨

论思想、逆向思维等。

第六环节：布置作业

【板书设计】

等腰三角形（四）

已知：如图，在△中，Z

求证：z°

证明：延长至，使，连接.

又・・•・

又

即△是等边三角形.

.・.N°.在△中,z°.

【教学反思】

直角三角形

【教学目标】

.知识与技能

0掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法,

并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

0结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道

原命题成立，其逆命题不一定成立。

,过程与方法

0进一步经历用几何符号与图形描述命题的条件与结论的过程，建立

初步的符号感，发展抽象思维.

0进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。

.情感态度与价值观

体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，

激发学生学数学、用数学的兴趣。

【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。

【教学难点】

应用定理解决与直角三角形有关的问题。

【教学方法】

讲授法

【课时安排】

课时

第一课时

【教学目标】

.知识与技能

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。

,过程与方法

进一步经历用几何符号与图形描述命题的条件与结论的过程，建立初

步的符号感，发展抽象思维。

.情感态度与价值观

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。

【教学难点】

结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题

成立，其逆命题不一定成立。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：创设情境，引入新课

通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角

形的一般性质。

［问题］一个直角三角形房梁如图所示，其中1,20,,

1,1,垂足分别是、，那么的长是多少？呢？

解：在△中，z°,,

又・.・NN=°

・・・/=N=°

在△中，==X==・.

・••===—=().

二在△中，Z=°

・・・==x=().

解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的角

的直角三角形的性质”.由此提问：“一般的直角三角形具

有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。

教材中曾利用数方格与割补图形的方法得到了勾股定

理.如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定

理吗？

请同学们打开课本，阅读“读一读”，了解一下利用

教科书给出的公理与推导出的定理，证明勾股定理的方

法.

第二环节：讲述新课

阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法,

着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读.

().勾股定理及其逆定理的证明.

已知：如图，在△中，Z=°,=,=,=.

求证：=・

证明：延长至，使=,作/=/,并取=,连接、(如

图),则△刑△.

・・・/=。，=(全等三角形的对应角相

等，对应边相等).

・・・四边形是直角梯形.

二梯形=0()=().

."=。-（z+z）=°-

教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定

理的条件与结论，并强调.具体如下：勾股定理：直角三

角形两直角边的平方与等于斜边的平方.

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方与等于

第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形

是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗？

师生共同来完成.

已知：如图：在△中，=

求证：△是直角三角形.

分析：要从边的关系，推出/

=°是不容易的，如果能借助于△与一个直角三角形全

等，而得到/与对应角（构造的三角形的直角）相等，可证.

证明：作,使=°,''、（如

图），

贝勾股定理）.人

,・・+=,，，=,，，/

c

•••_/，

•••_/，

・•・/=/'=°（全等三角形的对应角相等）.

因此，△是直角三角形.

总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方与等于第

三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

（）.互逆命题与互逆定理.

观察上面两个命题，它们的条件与结论之间有怎样的

关系?在前面的学习中还有类似的命题吗？

通过观察，学生会发现：

上面两个定理的条件与结论互换了位置，即勾股定理

的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件.

这样的情况，在前面也曾遇到过.例如“两直线平行,

内错角相等“，交换条件与结论，就得到“内错角相等，

两直线平行”.又如“在直角三角形中，如果一个锐角等

于。，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”.交换此

定理的条件与结论就可得“在直角三角形中，如果一条直

角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等

于。

第三环节：议一议

观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后

在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。

让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联

系，要能够清晰地分别出一个命题的题设与结论，能够将

一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够

写出一个命题的逆命题。

活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语

言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再

总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：

如果两个角是对顶角，那么它们相等.

如果两个角相等，那么它们是对顶角.

如果小明患了肺炎，那么他一定发烧.

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的边所对的角相等.

三角形中相等的角所对的边相等.

上面每组中两个命题的条件与结论也有类似的关系

吗？与同伴交流.

不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结

论，第二个命题的结论是第一个命题的条件.

在两个命题中，如果一个命题条件与结论分别是另一

个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，其

中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来

说，另一个就为原命题.

再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命

题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命

题.请同学们判断每组原命题的真假.逆命题呢？

在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.

在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.

在第三组中，原命题与逆命题都是真命题.

由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一

定是真命题.

第四环节：想一想

要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件与

结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到

了逆命题.

请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的

平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？

从而引导学生思考:原命题是真命题吗?逆命题一定是

真命题吗？并通过具体的实例说明。

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题,

那么我们称它们为互逆定理.

其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理.

能举例说出我们已学过的互逆定理？

如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行,

内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”.“全等三

角形对应边相等”与“三边对应相等的三角形全等”、

“等边对等角”与“等角对等边”等.

第五环节：随堂练习

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假；

()四边形是多边形；

()两直线平行，内旁内角互补；

()如果=,那么=,=

［分析］互逆命题与互逆定理的概念，学生接受起来应不

会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给

出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这

种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难.可先分析

命题的条件与结论，然后写出逆命题.

解：()多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是

假命题.

()同旁内角互补,两直线平行.原命题与逆命题同为正.

()如果=,=,那么=.原命题是假命题，而逆命题是

真命题.

第六环节：课时小结

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并

结合数学与生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个

互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌

握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力.

第七环节：课后作业

习题.第、、、题

【板书设计】

直角三角形（一）

已知：如图，在△中，Z=°,=,=,=.

求证：=.

证明：延长至，使=,作/=/,并取=,连接、（如图），则

.・./=°,=（全等三角形的对应角相等，对应边相等）.

・•・四边形是直角梯形.

..・梯形=（）（）=0.

.•梯形=4。，

即=,

【教学反思】

第二课时

【教学目标】

.知识与技能

能够证明直角三角形全等的的判定定理，进一步理解证明的必要

性。

,过程与方法

进一步经历用几何符号与图形描述命题的条件与结论的过程，建立初

步的符号感，发展抽象思维。

.情感态度与价值观

进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

【教学重点】

能够证明直角三角形全等的“"的判定定理。

【教学难点】

进一步理解证明的必要性。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：复习提问

.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

.已知一条边与斜边，求作一个直角二角形。想一想，

怎么画？同学们相互交流。

、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全

等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。

我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底

边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全

等，从而得出“等边对等角“。那么我们能否通过作等腰

三角形底边的高来证明“等边对等角”.

要求学生完成，一位学生的过程如下：

已知：在△中，.

求证：NN・

证明：过作1,垂足为，

ZZ°

又

・二△丝△・

AZZ（全等三角形的对应角相等）

在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了

质疑。质疑点在于“在证明△时，用了“两边及其中

一边的对角对相等的两个三角形全等”.而我们在前面学

习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的

对角相等，这两个三角形是不一定全等的.可以画图说

明.（如图所示在与△中-ZZ,,但△与△不全等）”.

也有学生认同上述的证明。

教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中,

直角所对的边即斜边与一条直角边对应相等的两个直角

三角形全等从而引入新课。

第二环节：引入新课

（）.定理.由师生共析完成

已知：在△与△'''中，。.

求证：

证明：在△中，一(勾股定

理).

又•••在△一中，一”

(勾股定理).

・•・△丝().

教师用多媒体演示:

定理斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全

等.

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或表示.

从而肯定了第一位同学通过作底

边的高证明两个三角形全等，从

而得到“等边对等角”的证法是

正确的.

练习：判断下列命题的真假，并说明理由：

()两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；

()斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

()两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

()一条直角边与另一条直角边上的中线对应相等的两

个直角三角形全等.

对于()、()、()一般可顺利通过，这里教师将讲解

的重心放在了问题（），学生感觉是真命题，一时有无法

直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明.

已知：△与△"，ZZ,°,“分别是、”边上的中

线且一”（如图）.

求证：△四A夕

证明：在△与△“中，/八/L

・—'一（定理）.

11

T7••一11•H

•，，•••

在△与△一，中，

「・△丝△”（）.

通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发

动学生去纠错，教师最后再总结。

第三环节：做一做

问题你能用三角尺平分一个已知角吗？请同学们用

手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言

清楚表达自己的想法.

（设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实

际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表

达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）

第四环节：议一议

如图，已知,要使△0，还需要什么条件？把它

们分别写出来.

这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地

运用公理与已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独

立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的

答案.

（教师一定要提供时间与空间，让同学们认真思考，勇

于向困难提出挑战）

第五环节：例题学习

求证：△四

分析：要证△灯△”'，由已知中找到条件：一组边”，

一组角如果寻求就可用证明全等；也可以

寻求么N这样就有；还可寻求"，那么就可根据.……

注意到题目中，通有、”是三角形的高，二观察图形，这

里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了定理的条

件，可证的△丝因此证明就可行.

证明：•・・、”分别是△△”的高（已知），

在△与△"中，

”（已知）,

”（已知），

「・△里（）.

ZZ1,（全等三角形的对应角相等）.

在△与△"中，

（已证），

”（已知）,

NN"’（已知），

（）.

第六环节：课时小结

本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角

对应相等的两个三角形不一定全等.而当一边的对角是直

角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形

全等的特殊方法——定理，并用此定理安排了一系列具体

的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，

而且发展了同学们演绎推理的能力.同学们这一节课的表

现，很值得继续发扬广大.

第六环节：布置作业

习题.第、、题

【板书设计】

直角三角形（二）

已知：△与△…，“分别是、”边上的中线且一”（如图）.

求证：△且

证明：在△与△”中,

・・.△0△'''（定理）.

T7•••r11•••

•，，一•

・•・在△与△一中，

【教学反思】

线段的垂直平分线

【教学目标】

.知识与技能

证明线段垂直平分线的性质定里与判定定理.

.过程与方法

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力.丰

富对几何图形

的认识。

.情感态度与价值观

通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程与结果。

【教学重点】

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

【教学难点】

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

【教学方法】

讲授法

【课时安排】

课时

第一课时

【教学目标】

・知识与技能

能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。

.过程与方法

经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形。

.情感态度与价值观

学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程与结果。

【教学重点】

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求与

方法。

【教学难点】

明确推理证明的基本要求如明确条件与结论，能否用数学语言正确表

达等。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图,、表示两个仓库，要在、一侧的河岸边建造一个

码头,使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？

其中“到两个仓库的距离相

等“，要强调这几个字在题中有很”.

重要的作用.〈一^I一

线段是一个轴对称图形，其中‘一~———

线段的垂直平分线就是它的对称/~----

轴.我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了

线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线

段两个端点的距离相等.所以在这个问题中，要求在“、

一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相

等”利用此性质就能完成.

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论

吗？”

第二环节：性质探索与证明

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论与思考，引导学生分析并写出已知、求证的

内容。

已知：如图，直线1,垂足是，且，是上的点.

求证：.

分析：要想证明，可以考虑包含这两条线段的两个三

角形是否全等.「

证A

•・4一守一B

•，，\N

・•.（全等三角形的对应边相等）.

教师用多媒体完整演示证明过程.

第三环节：逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的

逆命题，需分析原命题的条件与结论，将原命题写成“如

果……那么……”的形式，逆命题就容易写出.鼓励学生

找出原命题的条件与结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的

点”.结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”.

此时，逆命题就很容易写出来.“如果有一个点到线段

两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分

线上

写出逆命题后时，就想到判断它的真假.如果真，则

需证明它；如果假，则需用反例说明.P

引导学生分析证明过程，有如下四种证涔/八\

证法一：/V\

已知：线段，点是平面内一点且.

求证：点在的垂直平分线上.

证明：过点作已知线段的垂线一

・•・△义△（定理）.

即点在的垂直平分线上.

证法二：取的中点，过作直线.

・・・NN（全等三角形的对应角相等）.

又，

AZZZ°,即1

・••点在的垂直平分线上.

证法三：过点作N的角平分线.

•・•，ZZ,,

△会△（）.

・•.，NN（全等三角形的对应角相等，对应外相等）.

又・・・/N°・,.NN°

・•・点在线段的垂直平分线上./二、

ATTB

证法四：过作线段的垂直平分线.

V,ZZ°,

・•・在的垂直平分线上.

从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质

定理的逆命题是真命题，

我们把它称做线段垂直平分线的判定定理.

第四环节：巩固应用

在做完性质定理与判定定理的证明以后，引导学生进

行总结：（）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端

点距离相等的所有点的集合。

0到•条线段两个端点的距离相等个点在这条线段

的垂直平分线上.因此只需做出这样的两个点即可做出线

段的垂直平分线。

例题：

已知：如图，在△中，，是△内一点，且

求证：直线垂直平分线段。.

证明：•・.,

・•・点在线段的垂直平分线上

（到一条线段两个端点距离相等的点，

在这条线段的垂直平分线上）.

同理，点在线段的垂直平分线

上.

・•・直线是线段的垂直平分线（两点确定一条直

线）.

学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分

线，因此教师要引导学生理清证明的思路与方法并给出完

整的证明过程。

第五环节：随堂练习

课本；习题：第、题

第六环节：课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

第七环节：课后作业

习题第、题

【板书设计】

线段的垂直平分线（一

已知：线段，点是平面内一点且.4C「3

求证：点在的垂直平分线上.

证明：过点作已知线段的垂线，，

••.△0△（定理）.

【教学反思】

第二课时

【教学目标】

.知识与技能

能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。

,过程与方法

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识与能

力.体验解决问题的方法，发展实践能力与创新意识。

.情感态度与价值观

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。

【教学重点】

能够证明与线段垂直平分线相关的结论。

【教学难点】

证明三线共点。

【教学过程】

教学过程教学随笔

一、情景引入

教师提问：“［利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，

当作完此题时你发现了什么？（教师可用多媒体演示作图

过程）”

“三角形三边的垂直平分线交于一点."、“这一点到三

角形三个顶点的距离相等等都是学生可以发现的直观

性质。

下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条

边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同

样的结论?与同伴交流.

教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一

定是真的吗？我们还需运用公理与已学过的定理进行推

理证明，这样的发现才更有意义」

这节课我们来学习探索与线段垂直平分线有关的结

论.

上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学

生亲自体验与观察结论的正确性。

二、例题解析

0教师引导学生分析，寻找证明方法。

我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共

点”，但这是我们没有遇到过的.不妨我们再来看一下演

示过程，或许你能从中受到启示.

l\wMA

通过演示与启发，引导学生认同：

“两直线必交于一点，那么要想证明V

'"三线共点‘，只要证第三条直线过

这个交点或者说这个点在第三条直线/一rx

上即