湖南省湘西州花垣县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含详解)

湖南省湘西州花垣县2025届九年级上学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题1．下列与杭州亚运会有关的图案中,中心对称图形是()A. B. C. D.2．下列方程是一元二次方程的是()A. B. C. D.3．二次函数的对称轴是()A.y轴 B.直线 C.直线 D.x轴4．已知抛物线有两点,,则与的大小关系为()A. B. C. D.无法确定5．若方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A. B. C. D.6．一个图形绕着某一点旋转任意角度后能与自身重合,这个图形是()A.任意三角形 B.平行四边形 C.圆 D.矩形7．若将抛物线向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为()A. B. C. D.8．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是()A. B. C. D.9．如图,在中,,,,将绕点C按逆时针方向旋转得到,此时点恰好在边上,则点与点B之间的距离为()A.10 B.20 C. D.10．如图,抛物线与x轴交于点和B,与y轴交于点C.下列结论：①,②,③,④,⑤.其中正确的结论个数为()个.A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题11．一元二次方程的解是______.12．写出一个一次项系数是2的一元二次方程是______.13．在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是______.14．如图,一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到,当B,C,在一条直线上时,三角板的旋转角度为______.15．二次函数的开口方向是______.16．有2人患了流感,经过两轮传染后共有人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人,根据题意列出方程为______.17．给出一种运算：对于函数,规定例如：若函数则有已知函数则方程的解是______.18．如图,在平面直角坐标系中,抛物线的对称轴为直线,与x轴的一个交点为,则关于x的方程的解为____________.三、解答题19．解下列一元二次方程：(1)；(2).20．如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点都在格点上.(1)画出关于原点O对称的；(2)画出绕点B顺时针方向旋转90°得到的.21．已知关于x的方程(1)求证：不论k取何值,该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一个根为,求该方程的另一个根.22．某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙的长度不限),另外三边用木栏围成,木栏长.(1)怎样围成一个面积为的矩形场地？(2)能围成面积能为的矩形场地吗？若不能,说明理由？23．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出件,每件盈利元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.(1)若每件衬衫降价4元,平均每天可以售出多少件衬衫？此时每天获利多少元？(2)在每件衬衫盈利不少于元的前提下,要使商场平均每天销售衬衫要盈利元,每件衬衫应降价多少元？(3)该商场销售衬衫要获得最大利润,每件应降价多少元？最大利润为多少？24．若一个三位数的百位上的数字减去十位上的数字等于其个位上的数字,则称这个三位数为“差数”,同时,如果百位上的数字为a、十位上的数字为b,三位数t是“差数”,我们就记：,其中,,.例如三位数514.∵,∴514是“差数”,∴.(1)已知一个三位数m的百位上的数字是6,若m是“差数”,,求m的值；(2)求出小于300的所有“差数”的和,若这个和为n,请判断n是不是“差数”,若是,请求出；若不是,请说明理由.25．如图1,若二次函数的图象与x轴交于点、B,与y轴交于点,连接、.(1)求抛物线的解析式.(2)求三角形的面积；(3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点,连接、,是否存在点P,使四边形的面积为18,若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由；(4)如图2,若点Q是抛物线上一动点,在平面内是否存在点K,使以点B、C、Q、K为顶点,为边的四边形是矩形？若存在,请直接写出点K的坐标；若不存在,请说明理由.

参考答案1．答案：D解析：A,不是中心对称图形,故此选项不符合题意；B.不是中心对称图形,故此选项不符合题意；C.不是中心对称图形,故此选项不符合题意；D.是中心对称图形,故选：D.2．答案：B解析：A、有2个未知数,不是一元二次方程；B、满足条件,是一元二次方程；C、含有分式,不是一元二次方程；D、整理后为,不是一元二次方程.故选：B.3．答案：A解析：二次函数的对称轴是直线,即y轴,故选：A.4．答案：B解析：∵抛物线有两点,,∴,,∴,故选：B.5．答案：B解析：∵方程有两个不相等的实数根,∴,解得,,故选：B.6．答案：C解析：圆,绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合,故选：C.7．答案：B解析：∵函数的图象的顶点坐标为,将函数的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位,∴平移后,新图象的顶点坐标是.∴所得抛物线的表达式为.故选B.8．答案：B解析：由题意得：；故选B.9．答案：D解析：如图,连接,∵将绕点C按逆时针方向旋转得到,∴,,,∵,∴是等边三角形,∴,∴,∴是等边三角形,∴,∵在中,,∴,∴,∴,故D正确.故选：D.10．答案：B解析：∵抛物线开口向上,于y轴交于负半轴,∴,,∵抛物线对称轴在y轴和直线之间,∴,∴,,即,故②错误；∴,故①错误；由函数图象可知,抛物线与x轴有两个不相等的交点,∴,∴,故③正确；∵当时,,∴,故④正确；∵抛物线与x轴交于点,∴,∴,∵,即,∴,∴,故⑤正确；故选B.11．答案：解析：移项得,∴.故答案是：.12．答案：(答案不唯一)解析：由题意知,一次项系数是2的一元二次方程是,故答案为：.13．答案：解析：点关于原点对称的点的坐标为.故答案为：.14．答案：/150度解析：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到,∴与是对应边,∴旋转角.故答案为：.15．答案：向下解析：∵的二次项系数为,∴抛物线开口向下,故答案为：向下.16．答案：解析：根据题意得：,整理得.故答案为：.17．答案：解析：由,,得：即,解得：,故答案为：18．答案：,解析：∵抛物线的对称轴为直线,与x轴的一个交点为,∴抛物线与x轴的另一个交点为,∴关于x的方程的解为,,故答案为：,.19．答案：(1),(2),解析：(1),∴或,解得,；(2),∴,∴,∴,解得,.20．答案：(1)见解析(2)见解析解析：(1)如图,为所作；(2)如图,为所作.21．答案：(1)证明见解析(2)1解析：(1)证明：,又,即,不论k取何值,该方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的另一个根为m,根据根与系数关系得,,解得,∴方程的另一个根为1.22．答案：(1)垂直于墙的一边为,则平行于墙的一边为时,养鸡场的面积为(2)不能,见解析解析：(1)设垂直于墙的一边为,则平行于墙的一边为,根据题意得：,解得,答：垂直于墙的一边为,则平行于墙的一边为时,养鸡场的面积为；(2)不能,理由如下：根据题意得：,整理得,,,∴方程无实数根,∴不能使鸡场的面积能达到.23．答案：(1)平均每天可以售出件衬衫,此时每天获利元(2)每件衬衫应降价元,商场平均每天销售衬衫盈利元(3)每件应降价元,最大利润为元解析：(1)由题意知,(件),∴(元),∴若每件衬衫降价4元,平均每天可以售出件衬衫,此时每天获利元；(2)设每件衬衫应降价x元,依题意得：,解得,,,(舍去),每件衬衫应降价元,∴每件衬衫应降价元,商场平均每天销售衬衫盈利元；(3)设每件应降价m元,商场销售衬衫要获得利润w元,依题意得：,∴当时,w的最大值为,∴该商场销售衬衫要获得最大利润,每件应降价元,最大利润为元.24．答案：(1)(2)小于300的“差数”有101,110,202,211,220,n是“差数”,解析：(1)设三位数m的十位上的数字是x,∴,解得,,∴个位上的数字为：,∴；(2)小于300的“差数”有101,110,202,211,220,∴,显然n是“差数”,.25．答案：(1)(2)10(3)存在,(4)存在,或解析：(1)的图象过点和,,解得抛物线的解析式为(2)令,则,解得或,∴,,∴,∴；(3)存在,理由如下：∵四边形的面积为18,∴的面积为8,设直线的解析式