第18讲 反比例函数的应用-九年级数学上册同步讲义（北师大版）教师版

第18讲反比例函数的应用

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*知识点

一、利用反比例函数解决实际问题

1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问

题.

2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系

数用字母表示.

（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.

（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.

（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.

二、反比例函数在其他学科中的应用

1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；

2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；

3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；

4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.

【知识拓展1］反比例函数和一次函数综合

例1.如图，直线乂=1+1与双曲线必』（k为常数，k^O）交于A,D两点，与x轴、y轴分别交于B,

X

C两点，点A的坐标为（m,2）.

（1）求反比例函数的解析式.

（2）结合图象直接写出当%时，x的取值范围.

2

【答案】(1)反比例函数的解析式为必=一；(2)当时，xV-2或OVxVl

x

【分析】(1)将点A的坐标为(m,2)代入一次函数解析式中，即可求出m,从而得出点A的坐标，然后将

点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；

(2)结合图象即可得出结论.

解：(1)点A的坐标为(m,2)代入一次函数解析式M=x+1中，得2=m+l

解得：m=l

・••点A的坐标为(1,2)

将点A的坐标代入反比例函数解析式必=&中，得2=§

解得：k=2

2

反比例函数的解析式为为=一；

x

y=x+\

(2)联立，2

y=-

X

X=-2fv=1

解得：।或一,(此时符合点A的坐标，故舍去)

j=-l[y=2

，点D的坐标为(-2,-1)

由函数图象可知：在点D的右侧和y轴与点A之间，一次函数图象在反比例函数图象下方

・••当)1vK时，xV-2或OVxVl.

【点拨】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式和利

用图象和函数值的大小关系，求自变量的取值范围是解题关键.

【变式】.已知A(・4,2)、B(n,-4)两点是一次函数尸kx+b和反比例函数产”图象的两个交点.

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求AAOB的面积;

Q

【答案】(1)反比例函数解析式为y=-2,一次函数的解析式为y=-x・2；(2)6：(3)xV・4或OVxV

x

2.

试题分析：(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到nF・8,再把点B的坐标代入反比例函数

解析式，即可求出n=2,然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；(2)先求出直线y二・x・2与x轴交

点C的坐标，然后利用Sz\AOB=SzuW)c+SaBOC进行计算：

(3)观察函数图象得到当XV-4或0VXV2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等

式的解集.

解：⑴把A(・4,2)代入/=巴，得m=2X(-4)=-8,所以反比例函数解析式为y=一乌，把B(n,

XX

8Hi+Z»=2

-4)代入1y----，得-4n=-8,解得n=2,把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b,得：,

x2k+b=-4

[i=-l

解得：V…所以一次函数的解析式为y二・x-2；

b=-2

(2)尸-x-2中，令y=0,则x=-2,即直线y=-x-2与x轴交于点C(-2,0),AS△AOB=SAAOC+SABOC=­X

2

2X2+iX2X4=6；

2

(3)由图可得，不等式h+b—巴>0的解集为：*<-4或0<*<2.

x

考点：反比例函数与一次函数的交点问题：待定系数法求一次函数解析式.

【知识拓展2】反比例函数的几何综合

例2.如图，A(4,3)是反比例函数y二与在第一象限图象上一点，连接0A,过A作AB〃x轴，截取AB=OA

x

(B在A右侧)，连接0B,交反比例函数y=上的图象于点P.

x

(1)求反比例函数y=&的表达式；

x

(2)求点B的坐标：

(3)求△OAP的面积.

【答案】(1)反比例函数解析式为y=一；(2)点B的坐标为(9,3)；(3)AOAP的面积=5.

x

【分析】(1)将点A的坐标代入解析式求解可得；

(2)利用勾股定理求得AB=0A=5,由AB〃x轴即可得点B的坐标；

(3)先根据点B坐标得出0B所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解

可得.

解：(1)将点A(4,3)代入尸人,得：k=12,

X

12

则反比例函数解析式为尸

X

(2)如图，过点A作AC_Lx轴于点C,

则0C=4、AC=3,J0A=J42+32=5,

•・・AB〃x轴,且AB=0A=5,・••点B的坐标为（9,3）；

(3)♦・•点B坐标为(9,3),・・・0B所在直线解析式为y=；x,

1

y=-x

由t可得点P坐标为(6,2),(负值舍去)，

y=—

X

过点P作PDJLx轴，延长DP交AB于点E,

则点E坐标为(6,3),AAE=2>PE=kPD=2,

则△OAP的面积=^X(2+6)X3-^-X6X2-jX2Xl=5.

【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅

助线是解题的关键.

【变式】如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点0,四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=&(k^O)

x

的图象与AD边交于E(-4,^),F(m,2)两点.

(1)求k,m的值；

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题：

(2)根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；

1L2

解：(1)•・•点£(・4,；)在尸土上，・••反比例函数的解析式为尸-一.

2xx

VA(w,2)在尸4上，・••止-1.

x

(2)函数尸&图象在菱形力筋内x的取值范围为：-4VxV-1或l<x<4.

x

【点拨】本题考杳了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

【知识拓展3】反比例函数实际问题与图象

例3.某学校要种植一块面积为100nl2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m,则草坪的一边长为y（单

100

解析：由草坪面积为100/,可知X、y存在关系尸一，然后根据两边长均不小于5m,可得x25、y25,

x

则xW20,

故选：C.

【变式1】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即:

阻力X阻力唇二动力X动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m,则动

力F（单位：N）关于动力臂1（单位：m）的函数解析式正确的是（）

A.尸=幽B.尸=罕C.「考

D.F=y

【答案】B

【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案.

解析：•・•阻力X阻力臂=动力X动力臂.个伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和

0.5m,

・••动力F（单位：N）关于动力臂1（单位：m）的函数解析式为：1200X0.5=FI,

则尸=挈

故选B.

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系注解题的关键.

【变式2].如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为1（//的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S

（单位：与其深度d（单位：加的函数图象大致是（）

【答案】A

1A4

解析：由储存室的体积公式知：104=5J，故储存室的底面积S(m?)与其深度d(m)之间的函数关系式为5=-^-

(d>0)为反比例函数.故选A.

考点：1.反比例函数的应用；2.反比例函数的图象.

例4.如图，反比例函数y="(x>0)经过A、B两点，过点A作AC_Ly轴于点C,过点B作8£>_Ly轴于点

【)，过点B作轴于点E,连结AD,已知AC=1、BE=1、SBDOE=4.WIJSAACD

【分析】过点A作轴于点H,交BD于点F,则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，根据^“七二七

可得k的值，即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面积，进而可求出鼠⑷,.

解：过点A作A”_Lx轴于点H,交BD于点F,则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，如图:

••k=4.•SACOH=4，

•・•AC=\

，OC=4+1=4

，CD=OC-OD=OC-BE=4-\=3

故答案为

【点拨】此题主要考查的知识有：反比例函数系数k的几何意义和性质，通过矩形的面积求出k的值是解

本题的关键.

4-1

【变式1】图，点P是双曲线C：y=-(x>0)上的一点，过点P作x轴的垂线交直线48：y=-x-2f

x2

点。，连结OP,Q2.当点P在曲线C上运动，且点尸在。的上方时，△尸。。面积的最大值是_____.

【分析】令PQ与x轴的交点为E,根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双

曲线解析式中k的几何意义可知AOPE的面积恒为2,故当AOEQ面积最大时也尸。。的面积最大.设Q(a,

)则SAOEQ=3XaX(—a—2)=—a2—1?=(-fl—I)2+1,可知当a=2时S/^Q最大为1,即当Q为AB中

点时40EQ为1,则求得△POQ面积的最大值是是3.

交y轴于点A,

AA(0,-2),B(4,0)

即0B=4,0A=2

令PQ与x轴的交点为E

•・・P在曲线C上

/.△0?E的面积恒为2

・•・当AOEQ面积最大时△POQ的面枳最大

设Q(a,-2)

22

则SAO-Q=XaX(—fl-2)=-a-a-a-\)+\

242

当a=2时S△瞰最大为1

即当Q为AB中点时AOEQ为1

故ap。。面积的最大值是是3.

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面枳问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握

反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.

【变式2】.如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4),B(6,0),若一个反比例函数的图象经过点D,交

【分析】如图，连接AB,作DE_LOB于E,根据矩形是中心对称图形可得D是AB的中点，继而求出点D的

坐标，D(3,2),设反比例函数的解析式为y=L,利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据点MM

x

的纵坐标和A的纵坐标相同，继而可求得点M的横坐标，由此即可得答案.

解：如图，连接AB,作DE_LOB于E,

••・DE〃y轴，

•••D是矩形AOBC的中心,

・・・D是AB的中点,

ADE是AAOB的中位线，

VOA=4,0B=6,

ADE=|OA=2,OE=jOB=3,

AD(3.2),

设反比例函数的解析式为y=

X

k=3x2=6，

...反比例函数的解析式为y=g,

X

•・・AM〃x轴,

AM的纵坐标和A的纵坐标相等为4,

把y=4代入y=得4=£,解得：x=1,

xx2

3

:.M点的横坐标为—,

3

・••点M的坐标为(5,4),

故答案为(宗4).

【点拨】本题考查了矩形的对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线等知识，熟练掌握

和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.

【知识拓展4】利用反比例函数解决实际问题

3

例5.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m)

的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的

体积应（）

C.不小于2m3D.小于2m3

44

【答案】C

【分析】由题意设设P与L（丫>0），把（L6,60）代入得到k=96,推出，哼96（V>0）,当P=120时，V..41,

由此即可判断.

解：因为气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（„?）的反比例函数，所以可设P=9（V>0）,由题图

96

可知，当V=1.6时，P=60,所以k=1.6x60=96,所以p=>0）.为了安全起见，气球内的气压应不

964

大于120kPa,即歹”120,所以％..不

故选C.

【点拨】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把己知点代入解析式.

【变式I】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃,停止加

热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系.直至水温降至30℃,饮水机关机.饮

水机美机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（C）和时间（min）

的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上

午的

A.7：20B.7：30C.7：45D,7：50

【答案】A

【详解】•・•开机加热时每分钟上升10℃,・••从30℃到100℃需要7分钟.

设一次函数关系式为：y=Lx+b,

将(0,30),(7,100)代入产Lx+b得kk10,h=30.

Ay=10x+30(0Wx(7).

令y=50,解得x=2；

k

设反比例函数关系式为：y=-,

X

k700

将(7,100)代入y=一得k=700,/.y=—.

xx

将y=30代入y=独，解得x=?..・・丫=独(74W与).

x3x3

逐一分析如下：

选项A：7：20至8：45之间有85分钟.85-yX3=15,位于MWxW与时间段内，故可行；

选项B：7：30至8：45之间有75分钟.75-X3=5,不在0WxW2及14WxW与时间段内，故不可行；

选项C：7：45至8：45之间有60分钟.60-yX2=y«=13.3,不在0WxW2及14WxW与时间段内，

故不可行；

选项D：7：50至8：45之间有55分钟.55-yX2=y^8.3,不在0WxW2及14WxW与时间段内，故

不可行.

综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意.故选A.

【变式2】.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段

的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度yCC)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB、BC

表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.

请根据图中信息解答下列问题：

(1)求这天的温度y与时间x(0WxW24)的函数关系式;

(2)求恒温系统设定的恒定温度：

(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使

蔬菜避免受到伤害？

2x+10(0<x<5)

【答案】(1)y关于x的函数解析式为＞=20(5<x<10)；(2)恒温系统设定恒温为20°C；(3)恒温系

200

——(10<x<24)

x

统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.

分析：(1)应用待定系数法分段求函数解析式;

(2)观察图象可得;

(3)代入临界值y=10即可.

解：(1)设线段AB解析式为y=hx+b(kHO)

丁线段AB过点(0,10),(2,14)

6=10k=2

代入得《解得，

24+6=14b=\0

・・・AB解析式为:y=2x+10(0WxV5)

•••B在线段AB上当x=5时,y=20

・・・B坐标为(5,20)

・•・线段BC的解析式为：y=20(5WxV10)

设双曲线CD解析式为：y=k(k2^0)

x

VC(10,20)

Ak2=200

200

・・・双曲线CD解析式为:y=(10WxW24)

2x+10(0<x<5)

・・・y关Tx的函数解析式为：y=-20(510)

—(10^x<24)

(2)由(1)恒温系统设定恒温为20°C

(3)把y=10代入y二迎中，解得，x=20

x

.*.20-10=10

答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.

点拨：本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式.解答时应注

意临界点的应用.

例6.如图，某反比例函数图象的一支经过点力(2,3)和点笈(点4在点1的右侧)，作比轴，垂足

为点C,连结AB,AC.

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)若△/a'的面积为6,求直线4?的表达式.

【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；

(2)作ADJ_BC于D,则D(2,b),即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关

于b的方程，求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案.

解：⑴由题意得：k=xy=2X3=6,

・••反比例函数的解析式为y=9；

x

(2)设B点坐标为(a,b),如图，作AD_LBC于D,则D(2,b),

b=9

AD=3—,

ASAlv»'=-BC*AD=-a(3--)=6,

22a

解得a=6,

6

/.b=-=L；.B(6,1),

设AB的解析式为y=kx+b,将A(2,3),B(6,1)代入函数解析式，得

1

2k+b=3,=---

6kg'解得：2,

b=4

所以直线AB的解析式为y=-gx+4.

【点拨】本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表

示出BC,AD的长是解题的关键.

【变式1】一次函数丫=1«+1)的图象经过点A(-2,12),B(8,-3).

(1)求该一次函数的解析式;

(2)如图，该一次函数的图象与反比例函数y=?(m>0)的图象相交于点C[x"yj,D(x2,y2),与>轴交

于点E,且CD=CE,求m的值.

【答案】(1)y=-|x+9；(2)12.

【分析】

（1）将A,B点代入式子即可求出k,b,随之可得出解析式.

（2）分别过点C、。做CA_Ly轴于点A,轴于点8,设点C坐标为（a,b）,根据条件求出a,b,随之

即可解答.

解:⑴把点4（-2,12）,8（8,-3）代入〉="+匕

3

\2=-2k+b,•=------

得：―理h律2

b=9

工一次函数解析式为：j=-|x+9

（2）分别过点C、。做CA_Ly轴于点A,O3_L），轴于点8

设点C坐标为（。力），由已知ab=m

It!(1)点E坐标为(0,9),则AE=9-b

\-ACUBD,CD=CE

:.BD=2a,EB=2(9-b)

:.OB=9-2(9-b)=2b-9

•・•点O坐标为(加劝-9)

:.2d^b-)=m

整理得7M=6a

,/ab=m

:.b=6

则点。坐标化为（2a,3）

3

•••点。在y=—'X+9图象上

a=2

:.m=ab=\2

【点拨】本题考查了一次函数的图象与反比例函数的综合运用，学会用待定系数法求解析式是解答本题的

关键.

【变式2】.如图，矩形ABC。的两边A。、A8的长分别为3、8,E是。。的中点，反比例函数），二生的图

x

象经过点E,与A8交于点尸.

（1）若点3坐标为（-6,0）,求〃，的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式;

（2）若A产-AE=2,求反比例函数的表达式.

44

【答案】（1）m=-12,y=--x；（2）尸一一.

3x

分析：（1）由已知求出力、£的坐标，即可得出勿的值和一次函数函数的解析式；

(2)由AO=3,DE=4,得至|JAE=5,^AF-AE=2,得到A尸=7,BF=l.设E点坐标为(。，4),则点尸

坐标为（。-3,1）,代入反比例函数解析式即可得到结论.

解：(1)VB(-6,0),AD=3,48=8,E为CD的中点,

AE(-3,4),A(-6,8).

•・•反比例函数图象过点E（-3M）,

w=—3x4=-12.

设图象经过A、E两点的一次函数表达式为：y=kx+bt

.J—6k+b=S

**|-3^+Z?=4,

4

:=—

解得:3,

h=0

.4

(2)VA£>=3,DE=4,

:.AE=5.

*/AF-AE=2,

：.AF=1,

・•・BF=\.

设E点坐标为(。，4),则点点坐标为(a-34).

/>>

,:E,尸两点在丫二一图象上，

x

46f=a—3,

解得：a=—1>

•••E(-l,4),

/n=-4,

”-土

x

点拨：本题考查了矩形的性质以及反比例函数一次函数的解析式.解题的关键是求出点儿£、〃的坐标.

fii分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.（2021•山东省泰安第十五中学九年级月考・）若反比例函数y=—的图象经过点（-1,2）,则k的值

是（）

A.1B.-2C.-1D.3

【答案】C

【分析】解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点.根据反比例函数图象上点的坐

标特征，将(-1,-2)代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数A的方程，通过解方程即可求得k的值.

【详解】根据题意，得-2=k-l,即一2=匕1,

解得,k=・l.

故选C.

【点睛】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点.

2.(2021•安徽淮北•九年级月考)下列各点中，不在双曲线y=-色上的点是()

x

A.(-2,-4)B.(-2,4)C.(1,-8)D.(-4,2)

【答案】A

【分析】直接把各点代入直线y=-色进行检验即可.

x

【详解】解:A、当％=-2时，y=~=4,此点不在直线上，故本选项正确；

Q

B、当穴=-2时-，y=-=4,此点在直线上，故本选项错误；

Q

C、当x=l时，y=-y=-8,此点在直线上，故本选项错误；

Q

D、当x=T时，y=--=2,此点在直线上，故本选项错误，

-4

故选：A.

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标定适合此函数

的解析式是解答此题的关键.

3

3.(2021•全国)下列各点中，在函数y=—-的图象上的是().

x

A.(3.1)B.(Tl)C.件3)D.卜,一；)

【答案】B

【分析】将各选项的点的坐标分别代入函数解析式计算可求解.

3

【详解】解：将x=3代入y=得y=-l,A、D选项不符合题意；

x

3

将％=-3代入y=得y=l,B选项符合题意；

x

13

将代入)，=一±得y=-9,C选项不符合题意；

3x

故选B

【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，将各点坐标代入解析式计算是解题的关键.

4.（2321•安庆市第四中学九年级月考）如图，反比例函数y=&的图象过矩形048c的顶点8,040C分

x

别在x轴、y轴的正半轴上，矩形048c的对角线。8,AC交于点£（1,2）,则A的值为（）

【答案】B

【分析】根据矩形性质，可得出点8的坐标，代入y=上求解即可.

x

【详解】解：由题意得：A的横坐标为1x2=2,C的纵坐标为2x2=4,

：8的坐标为（2,4）,

•.8在反比例函数图象上，

・4=£

2

k=8,

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质和反比例函数的综合应用，熟练掌握矩形性质和数形结合思想的应用是解

题的美键.

5.（2021•全国九年级课时练习）在同一直角坐标系中，函数），=&+左与y=的图象大致为（）.

【答案】B

【分析】由直线*kx+k恒过定点（-1,0）排除A、D,再由直线过一、二、三象限可得A大于0,由此得到

片•与过二、四象限得答案.

X

【详解】解：直线y=Ax+k恒过定点（-1,0）,可知A、D错误,

由B、C可知,k>Qf

•••片-士的图象在第二、第四象限，

X

故选:B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重

点是注意系数A的取值.

6.（2021•包钢第三中学九年级月考）如图，一次函数（止0）的图象分别与x轴、y轴相交于点小

B,与反比例函数％=4伏2工。）的图象交于C（-4,-2）,。（2,4）.当乂为（）时，凶<必.

A.x>-2B.x<-4

C.x<-4或0VxV2D.-2<x<2

【答案】C

【分析】根据函数图象写出直线在双曲线下方部分的x的取值范围即可.

【详解】解：如图由题意可知，反比例函数必=4伏，。0）和一次函数（自/0）的图象相交于C（-

x-

4,-2）,D（2,4）.

所以，不等式&的解集是xV-4或DVxV2

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键.

二、填空题

7.（2021•全国九年级课时练习）已知经过闭合电路的电流/（单位：A）与电路的电阻R（单位：C）是反

比例函数关系，请填表格（结果保留小数点后两位）：

I/A12345

R/C120253050658090

【答案】100；50；33.33；25；4；3.33；2；1.54；1.25；1.11.

【分析】先根据等量关系小名“，把（5,20）代入求得固定电压，也就求得了/与网的函数解析式，再将

A

表格中/与R的值分别代入，求出对应的R与/的值，即可求解.

【详解】解：依题意设/=2,

A

把/=5,月=20代入得：5=^,

解得a=ioo,

-100

所以上一丁.

A

当/=1,2,3,4,时，代入七竽.分别取得R=100：50：33.33；25：

R

当/?=25,30,50,65,80,90时，代入仁—，分别求得/=4；3.33；2；1.54；1.25；1.11.

R

HA1234543.3321.541.251.11

R/Q1005033.332520253050658090

故答案为：100；50；33.33；25；4；3.33；2：1.54；1.25；1.11.

【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解决此题的关键.

8.（2021•山东省泰安第十五中学九年级月考）如图，一次函数与反比例函数y=-的图象交于

2x

A（l,l）,B（-l-I）两点.（1）若y=则x=：（2）若v.>y2,则x的取值范围是

；（3）若ax<-贝ijx的取值范围是

xt

【答案】1或-1-l<x<0或x>lx<-\或0<x<l

【分析】先根据48两点确定两个函数表达式，再根据反比例函数、一次函数性质逐一求解.

【详解】由反比例函数过A点得出k=l，所以）

一次函数过4、8点，所以有a=l,所以片x

（1）两函数值相等时由方程x=L,解得x=±l

X

（2）A（1,1）B（-1,-1）当y>为时，取A点右边或。到B点，所以取-l<x<0或%>1

（3）当atvK时，取8点左边或。到八点，所以取x—1或0<x<l

X

故答案为：①1或-l0-l<x<0或x>l®x<-l或0<x<l

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的解析式求法、性质，掌握解析式求法与这两种函数的性质是本

题解题关键.

9.（2021•全国）一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出x的水，经过>h可以把水放完，那么》与

”的函数关系式是,自变量x的取值范围是.

12

【答案】y=-">0

x

【分析】根据等量关系“工作时间=工作总量+工作效率”即可列出关系式即可，注意x>0.

【详解】解：根据题意，则

12

y=­（x>0）；

x

12

故答案为：y=—:x>0.

x

【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键.

10.（2021•全国九年级课时练习）已知4是直线y=2x与曲线丁=竺二（m为常数）一支的交点，过点4

x

作x粕的垂线，垂足为8,且08=2,则m的值为.

【答案】9

【分析】由题干可以知道A点的坐标，该点在反比例函数上，代入故能求出m.

【详解】解：由题意，可知08=2,即点4的横坐标是2或-2,由点4在正比例函数*2x的图象上，

二点A的坐标为（2,4）或（-2,・4）,

m—I

又.••点4在反比例函数片生」的图象上，

x

m-\—tn-1

4=——或-4=——,即c1nm=9.

2-2

故答案为：9.

【点睛】本题综合考查了反比例函数与一次函数的交点问题.先由点的坐标求函数解析式，体现了数形结

合的思想.

11.（2021•全国九年级课时练习）填空：

(1)反比例函数"&的图象如图(1)所示，则k0,在图象的每一支上，y随X的增大而

x

(2)反比例函数的图象如图(2)所示，则k0,在图象的每一支匕y随x的增大而

x

【分析】(1)根据图像所在象限确定k>0,正确根据k>0确定函数的增减性即可；

(2)根据图像所在象限确定左V0,正确根据左V0确定函数的增减性即可；

k

(3)点(1,3)在反比例函数y=2的图象上，代入求出A=3,由％=3>0,在图象的每一支上，y随x的增大

x

而减小；

【详解】解：(1)•••反比例函数y="的图象在一三象限，

x

：.k>0,

••・图像在每个象限内有左上到右下下降，

・•.在图象的每一支上，y随x的增大而减小；

故答案为V；减小；

(2).•反比例函数y=&的图象在二四象限,

x

二k<i)

V图像在每个象限内有左下到右上上升，

在图象的每一支上，y随x的增大而增大；

故答案为V；增大；

(3)•.•点(1,3)在反比例函数)，=与的图象上,

x

k

3=-,即&=3,

・"=3>0,

・•.在图象的每一支上，y随x的增大而减小;

故答案为3；减小.

【点睛】本题考查反比例函数的性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，掌握反比例函数的性质，以

及待定系数法求反比例函数解析式方法是解题关键.

12.（2021♦北京清华附中朝阳学校）如图，点P（-3,1）是反比例函数），=生的图象上的一点，设直线），=&与

x

双曲）=%的两个交点分别为P和尸'，当场〉"时，写出X的取值范围.

【答案】-3VxV0或x>3

【分析】根据反比例函数以及正比例函数的对称性求得产的坐标，然后根据图象即可求得.

【详解】解：直线片版与双曲线片画的两个交点分别为P和产，P（-3,1）,

x

••.7的坐标为（3,・1）,

in

当一>kx时，x的取值范围为-3VxV0或x>3,

x

故答案为：-3VxV0或x>3.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足

两个函数的解析式，数形结合是解题的关键.

三、解答题

13.（2021•全国）已知某品牌显示器的寿命大约为2xl04h.

（1）这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？

（2）如果平均每天工作10h,那么这种显示器大约可使用多长时间？

【答案】（1）"=兹"；（2）2X103天

t

【分析】（1）根据日工作时间乘以天数=总寿命列式即可；

（2）将t=10代入求得的函数解析式即可求得使用时间；

【详解】解：（1）..dt=2xl（）4,4=卫史.

t

（2）当t=10时，d=&JS=2xl（）3,

・•.这种显示器大约可使用2X103天.

【点睛】本题考查了反比例函数的应用,能根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键.

14.（2021•全国九年级课时练习）小艳家月购电卡购买了lOOOkWh电，这些电能够使用的天数m与小艳家

平均每天的用电度数〃有怎样的函数关系？如果平均每天用4kW-h电，这些电可以用多长时间？

一0、1000千

【答案】m=——，250天

【分析】根据平均每天的用电度数x使用天数=总电晟列式，整理即可求出m与。的函数关系式，然后将〃=4

代入函数解析式即可求出使用天数m.

【详解】•・,〃?〃=1o（x）,

1000

?.m=----

n

当〃=4时，m=")")=250,

4

这些电可用250天.

【点睛】本题考查反比例函数的定义、性质与运算，解答此类题的关键是确定两个变量之间的函数关系,

然后利用待定系数法求出它们的关系式.

15.（2021•全国九年级课时练习）50kg的气体装在体积为的容器中，气体的密度为pkg/m：写出密度

与体积间的关系式.

【答案】P=y

【分析】根据m=pV,结合条件即可得到反比例函数的关系式.

【详解】解：

50

p~一

V

.”与U的函数关系式是。=

故答案为：P=y.

【点睛】此题主要考查了由实际问题列反比例函数解析式，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,

解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

16.（2021•全国九年级课时练习）市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.

(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应该向地下掘进多深？

(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m,相应地,

储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)？