浙江省宁波市镇海中学2024届高三下学期期中考试数学试题 含解析

2024届浙江省镇海中学高三下学期期中数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷客观题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，，从而可得解．【详解】因为1密位等于圆周角的，所以角密位时，，故选：C．2.直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出点、坐标，根据求出的值，即可得出抛物线的准线方程.【详解】不妨设点在第一象限，则点在第四象限，联立可得，则点、，所以，，解得，因此，准线方程为.故选：B.3.2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种【答案】C【解析】【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：第一步，先从五人中任选三人，有种方法；第二步再选这三人所在的区域，有种方法；第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法.故选:C.4.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】D【解析】【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果.【详解】由题知，曲线关于直线对称，又，所以，由曲线的对称性可知，，故选：D.5.“”是“函数为增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据函数单调递增，得到导函数大于等于0，从而求出，由，但得到答案.【详解】若函数单调递增，有恒成立，可得，解得：，因为，但，所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.故选：B.6.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.【详解】令，由，得，点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，故选：D7.若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可.【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，.设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以.故选：A8.设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（）A.4044 B.4045 C.4046 D.4047【答案】B【解析】【分析】根据题意，由递推关系结合等差数列通项公式与累加法可得数列通项公式，从而得到数列的通项公式，然后结合[x)的定义，即可得到结果．【详解】因为，所以，又，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以所以，当时也符合上式，故，则数列的通项公式，则数列的前2022项之和为．故答案为：4045．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知集合，则下列表示方法正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据集合与集合直接关系的符号表示，以及元素与集合之间的符号表示，即可判定出结果.【详解】因为集合，则，即A选项正确；集合中元素都是正整数，则，即C正确；“”只能表示元素与集合之间关系，故B错；“”只能表示集合之间的关系，故D错.故选：AC.10.下列命题正确的是（）A.若与都是单位向量，则B.方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量C.若与是平行向量，则D.若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合【答案】BD【解析】【分析】利用向量相等的条件，可判断出选项A和C的正误，利用共线向量的定义可判断出选项B的正误，根据向量的几何表示，可判断出选项D的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A，若与都是单位向量，则，但与可以方向不同，故选项A错误，对于选项B，因为方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，所以选项B正确，对于选项C，若与是平行向量，但当或与方向相反，不满足，所以选项C错误，对于选项D，由向量的几何表示知，选项D正确，故选：BD.11.已知函数，且，则（）A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合函数的单调性、极值及零点得存在性定理可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题意可得，解得，所以，令得或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是极值点，故A正确；因为，，所以函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，因为，则是奇函数，所以是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，，（，且）．则函数是____________函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）．【答案】奇【解析】【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性即可.【详解】由题设，其定义域为，由，所以是奇函数.故答案为：奇13.欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据题目设定的欧拉函数的概念，结合数列前n项和的概念以及不等式恒成立的转化方法即可求得参数的范围.【详解】在的整数中与不互质的数有，共有个，所以与互质的数有个，因此．在的整数中，2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以．所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，则恒成立等价于恒成立，即恒成立，所以，令，则，所以，且，所以，所以，即实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：本题按照题目设定的欧拉函数的概念，关键分析出：（1）在的整数中与不互质的数的个数，从而得到互质的个数；（2）在的整数中，与互质的数的个数分别是：2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以与（注意：2的倍数和5的倍数中包含了10的倍数）.14.若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】易得双曲线渐近线，再利用两直线垂直斜率之积为求出，结合离心率公式即可求解.【详解】双曲线（）的渐近线方程为，直线斜率为，由一条渐近线与直线垂直得，解得，所以离心率为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数在处取得极值-14.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在上的最值.【答案】（1）（2）最小值为-14，最大值18【解析】【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程.（2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值.【小问1详解】因，故由于在处取得极值-14，故有，化简得，解得，经检验，时，符合题意，所以.则，，故.所以曲线在点处的切线方程为：，即【小问2详解】，，解得或；解得，即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，，因此在的最小值为.最大值为16.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别为A1B1，B1C1，BB1的中点，点P是正方形CC1D1D的中心．（1）证明：AP∥平面EFG；（2）若平面AD1E和平面EFG的交线为l，求二面角A﹣l﹣G．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根据面面平行的判定定理，即可证明平面平面，由此即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量在求二面角中应用，即可求出结果.【详解】（1）连接，，点、、分别为的中点，，平面，平面；同理，平面，又，且平面，平面，所以，平面平面，点是正方形的中心，平面，平面；（2）以为坐标原点建立如图所示的空间指标系，则，故，设平面的法向量为，由，可得，令，则，取平面的法向量为，则，所以二面角的大小为.【点睛】本题主要考查了面面平行的判定定理和应用，同时考查空间向量在求二面角中的应用，属于基础题.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理化简得到求解；（2）根据D为的中点，得到，然后平方结合基本不等式求解.【小问1详解】解：由，利用正弦定理可得：，，∵，∴，∴；【小问2详解】由D为的中点，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，当且仅当时，取最小值．18.在椭圆中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为．（1）求的值；（2）若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先设点Px0,（2）首先利用直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求点的坐标，并求的中点，利用和，求得，并代入点的坐标，即可求的取值范围.【小问1详解】设Px0,y0；【小问2详解】由题意知直线的方程为，则，由，得，则，则，，则，又所以的中点的坐标为，当直线的斜率存在时，由题意知，，又，所以，即，得，，，当直线的斜率不存在时，，综上：的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题的关键是由圆的几何性质可知，，则可得到，才能代入坐标运算，化简得到与的关系.19.北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致敬航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．【答案】（1