2024-2025学年高一【数学(人教A版)】对数函数的概念-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题对数函数的概念教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.从实际问题情境中，抽象出对数函数的概念，认识与指数函数间的关系；2.在对数函数概念形成过程中进一步体会函数的本质，感受知识间内在联系；3.借助信息技术和计算工具感受对数函数的变化，发展数学运算和数学抽象的素养.教学重点：对数函数概念的形成.教学难点：对指数函数与对数函数内在联系的把握.教学过程时间教学环节主要师生活动温故知新同学们好，我是北京市第十一中学的鲁国方，很高兴与大家一起学习这节课的内容.首先，请问大家一个问题：你知道考古学家是如何推测出土文物或古遗址年代的吗？当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？通过指数函数的学习，我们知道，当生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么这就是我们学过的指数函数.我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题，它揭示了死亡生物体内碳14的含量随时间的变化而衰减的规律.当我们知道生物的死亡时间，通过指数函数，我们就能知道生物体内碳14的含量.但是，更有价值的是，考古学家想推测出土文物或古遗址年代，往往是，先测算出生物体内碳14的含量，然后计算出它死亡了多长时间.你知道，他们是怎么做到的吗？新知形成对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对蕴含的规律作进一步的研究．问题1：死亡生物体内碳14含量为是死亡时间的函数即那么，死亡时间是碳14的含量的函数吗？追问1：解决这个问题，显然要依据函数的定义.那么依据定义应该怎样进行判断呢？函数的定义：设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作所以要判断死亡时间是否是碳14的含量的函数，就要确定，对于任意一个，是否都有唯一确定的与其对应．追问2：若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如图，观察的图象，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有几个交点？这说明对任意一个，都有几个与其对应？能否将看成是的函数？按照追问1确定的办法，用软件进行演示，直观呈现对任意一个，都有唯一确定的与其对应．追问3：能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？根据指数与对数的关系，由得到根据函数的定义，对于每一个给定的值都有唯一的的值与之对应，把看作自变量，就是的函数.但习惯上仍用表示自变量，表示它的函数，即，而中的底数为一个给定的常数，我们用来表示，即.即由指数函数可得，而也构成函数，再改换字母表示，不影响函数的本质，形成一个新的函数这就是本节课要学习的对数函数.新知特征一般地，函数且叫做对数函数，其中是自变量，定义域是关注：1.对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意特征;2.在对数函数的底数且;3.对数函数的定义域为，即自变量学以致用例1给出下列函数：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥其中所有对数函数的序号是(B)(A)=1\*GB3①=2\*GB3②=5\*GB3⑤(B)=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥(C)=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥(D)=3\*GB3③=4\*GB3④追问：判断函数是否为对数函数的依据是什么？对数函数是形式定义，判断一个函数是否是对数函数，要以下关注三点:对数符号前面的系数为1；对数的底数是不等于1的正常数；对数的真数仅有自变量.例2求下列函数的定义域：（1）（2）且追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？这些函数虽然不是对数函数，但它们与对数函数紧密相关，求这些函数的定义域时，要注意对数函数的概念.定义域是使函数自变量的取值集合.我们从对数函数的定义出发，对数函数且的定义域是，那么（1）中的和（2）中的的取值范围就是，于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．解：由对数函数的概念可知：因为即所以函数的定义域是因为即所以函数的定义域是例3假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为该地的物价经过几年后会翻一番？填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.解：（1）由题意可知，经过年后物价为物价x12345678910年数y0，即由对数与指数间的关系，可得物价翻一番，即，代入函数可得，由计算工具可得（2）根据函数利用计算工具，可得下表：物价x12345678910年数y0142328333740434547由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增长1所需要的的年数在逐渐缩小.练习：已知集合，集合，若下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是;若下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④解：观察集合A和集合B的数据，从集合到集合的函数的自变量，变量，猜测其对应关系为以2为底的指数函数，将数据依次代入函数进行检验，发现都满足该函数的解析式，所以选①；而从集合到集合的函数的自变量，变量，猜测其对应关系为以2为底的对数函数，将数据依次代入函数进行检验，发现都满足该函数的解析式，所以选=3\*GB3③．小结：对数函数、指数函数、一次函数、二次函数是我们学习的基本初等函数，它们增长是有差异的，不同类型的数据增长应选取合适的函数模型来刻画其变化规律．归纳总结回顾本课时学习内容，并回答下面问题：（1）概述本节课得到对数函数概念的基本过程．（2）对数函数的现实背景是什么？（1）先通过研究生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系，利用图象上与的对应关系，理解也是的函数，再利用指数与对数的运算关系，依据函数的定义，从交换自变