2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2 二次函数与一元二次方程 课后能力提升专练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2二次函数与一元二次方程课后能力提升专练(含答案)二次函数与一元二次方程1．抛物线y＝x2＋2x－3与x轴的交点有______个．2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－3和1，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是____________．3．根据图22­2­6填空：(1)a______0；(2)b______0；(3)c______0；(4)b2－4ac______0.图22­2­6图22­2­7图22­2­84．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为()A．k>－eq\f(7,4)B．k<－eq\f(7,4)且k≠0C．k≥－eq\f(7,4)D．k≥－eq\f(7,4)且k≠05．如图22­2­7，将二次函数y＝31x2－999x＋892的图形画在平面直角坐标系上，判断方程式31x2－999x＋892＝0的两根，下列叙述正确的是()A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根6．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图22­2­8.当y＜0时，自变量x的取值范围是()A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－1或x＞37．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22­2­9，则下列结论：图22­2­9①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a＋b＝0；④当y＝－2时，x的值只能为0，其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋x＋c与x轴没有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由．10．已知抛物线y＝x2－2x－8.(1)试说明抛物线与x轴一定有两个交点，并求出交点坐标；(2)若该抛物线与x轴两个交点分别为A，B(A在B的左边)，且它的顶点为P，求S△ABP的值．参考答案1．22.(－3,0)，(1,0)3．(1)>(2)<(3)>(4)>4.B5．C6.A7．解：方法一：将一元二次方程整理，得x2＋2x－13＝0.画出函数y＝x2＋2x－13的图象，其与x轴的交点即为方程的根．方法二：分别画出函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3，它们的交点的横坐标即为x2＋2x－10＝3的根(图象略)．方程x2＋2x－10＝3的近似根为x1≈－4.7，x2≈2.7.8．B9．解：(1)∵抛物线与x轴没有交点，∴Δ＜0，即1－2c＜0.解得c＞eq\f(1,2).(2)∵c＞eq\f(1,2)，∴直线y＝cx＋1随x的增大而增大．∵b＝1，∴直线y＝cx＋1经过第一、二、三象限．10．解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＝4＋32＝36>0，∴抛物线与x轴一定有两个交点．当y＝0，即x2－2x－8＝0时，解得x1＝－2，x2＝4.故交点坐标为(－2,0)，(4,0)．(2)由(1)，可知：|AB|＝6.y＝x2－2x－8＝x2－2x＋1－1－8＝(x－1)2－9.∴点P坐标为(1，－9)．过点P作PC⊥x轴于点C，则|PC|＝9.∴S△ABP＝eq\f(1,2)|AB|·|PC|＝eq\f(1,2)×6×9＝27.26.2用函数观点看一元二次方程（一）知识点：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1,0），B（x2，0）。抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：（1）b2－4ac＞0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根抛物线y=ax2+bx+cx轴有两个交点——相交。（2）b2－4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点——相切。（3）b2－4ac＞0一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点——相离。一、选择题1．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③2a+b=0；④，（）其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.1个第1题第2题2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜B．其中正确结论是（）．A．②④B.①④C.②③D.①③3．二次函数与x轴的公共点个数是（）A．0B．1C．2D．34．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）５．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒为负值的条件是()．A．a＞０,b2－４ac＜０B．a＜０,b2－４ac＞０C．a＞０,b2－４ac＞０D．a＜０,b2－４ac＜０６．抛物线y＝ax2＋２ax＋c与x轴的一个交点为(－５,０),则它与x轴的另一个交点的坐标为()．A．(３,０)B．(－３,０)C．（，0）D．不能确定,与a的值有关7．若二次函数y＝x2－８x＋c与x轴只有一个公共点,则c的值等于()．A．４B．８C．－４D．１６8．函数y＝kx2－６x＋３的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()．A．k＜３B．k＜３且k≠０C．k≤３D．k≤３且k≠０二、填空题1．若二次函数y＝(a－１)x2－２x＋１的图象与x轴只有一个交点,则a的值为．2．抛物线y＝－２x2＋４x＋１在x轴上截得的线段长度是．3．抛物线的顶点C(２,),且与x轴交于A、B两点,它们的横坐标是方程x2－４x＋３＝０的两根,则S△ABC＝．4．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P=|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q=|a＋b＋c|＋|2a－b|，则P、Q的大小关系为_________.5．如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是_________．第12题第13题第14题6．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为_________．7．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．8．如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞０)与x轴交于两点A(x１,0),B(x2,0),则ax2＋bx＋c＝０的两个根是;当x＜x１时,y０;当x１＜x＜x2时,y０;当x＞x2时,y０．(第16题)(第18题)9．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是－４,６,则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有个交点,它们的坐标分别是．10．已知二次函数y１＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y２＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－２,４),B(8,2)(如图所示),则能使y１＞y2成立的x的取值范围是．三、解答题1．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3,0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．2．已知关于x的函数y＝ax2＋x＋１．(a为常数)(１)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值;(２)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围．3．已知抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?4．二次函数的图象如图11所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根．（2）写出不等式的解集．（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．5．如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

参考答案一、选择题1、A2、B3、B4、A5、D6、A7、D8、C二、填空题1、22、3、4、＜5、－16、7、(1,1)8、＞＜＞9、2（－4，0）(6，0)10、x＜－2或x＞8三、解答题1、2、3、4、5、26.2用函数观点看一元二次方程（二）知识点：1、开口的方向大小决定a的符号。2、对称轴的位置决定b的符号：对称轴在y轴的左侧，A、b同号；对称轴在y轴的右侧，A、b异号。简称为“左同右异”。3、与y轴的交点定出c的符号。4、与x轴的交点的个数决定的符号。一、选择题1、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图像，由图可知不等式ax2+bx+c〈0的解集是（）A、－1﹤x﹤5B、x﹥5C、x﹤－1且x﹥5D、x﹤－1或x﹥52、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图像，则下列说法：①a﹥0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当－1﹤x﹤3是，y﹥0.其中正确的个数为（）A、1B、2C、3D、43、如图，二次函数的图像经过（－2，－1），（1,1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A、y的最大值小于0；B、当x=0时，y的值大于1；C、当x=－1时，y的值大于1；D、当x=－3时，y的值小于0.第1题第2题第3题4、已知y关于x的函数图像如图所示，则当y﹤0时，自变量x的取值范围是（）A、x﹤0B、－1﹤x﹤1或x﹥2C、x﹥－1D、x﹤－1或1﹤x﹤25、设二次函数y=ax2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A、c=3B、c≥3C、1≤c≤3D、c≤36、如图，抛物线y=x2+1与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式﹤0的解集是（）A、x﹥1B、x﹤－1C、0﹤x﹤1D、－1﹤x﹤0第4题第6题7、在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是()

ABCD

8.下列图形中阴影部分面积相等的是()

A.①②B.②③C.①④D.③④二、填空题1、抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ．2、关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于 点，此时 ．3、抛物线与轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 4,9 个单位．12y4、如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标 ．12yＯＯ第12题第13题第15题5、如图是二次函数的图像，那么方程的两根之和0．6、已知二次函数，关于的一元二次方程的两个实根是和，则这个二次函数的解析式为7、已知二次函数的顶点坐标及部分图象如图，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和．8、若抛物线y＝x2+bx+4与x轴只有一个交点,则b＝;当x时,y＞0．9、如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是第17题第18题10、如图，抛物线的顶点为P（－2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，－2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为。

三、解答题1、下图是二次函数的图像，与轴交于，两点，与轴交于点．（1）根据图像确定，，的符号，并说明理由；ＡＣＯＢ（2）如果点的坐标为，，，求这个二次函数的函数表达式．ＡＣＯＢ2、已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；（3）在抛物线上是否存在着点，使△面积等于四边形面积的2倍，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．3、已知二次函数y=x2－kx－2+k.(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数y=x2－kx－2+k与x轴有两个不同的交点。(2)如果二次函数y有最小值，求二次函数的解析式。4、如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；（3）点B（－1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．5、如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题D2、B3、D4、B5、B6、A7、D8、D二、填空题1、0＜无实数根2、一个43、4或94、5、＞6、7、－3.316、±4≠±28、—2＜x＜9、12三．解答题1、解：（1）a＞0b＞0c＜0（2）连接AB，AC∵在Rt△AOB中，∠ABO=45°∴∠OAB=45°，∴OB=OA∴B（－3，0）又∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°∴OC=OAtan30°=∴C（，0）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）由题意：⇒∴所求二次函数的解析式为2、解：（1）∵若x1，x2是方程x2－2（m－1）+m2－7=0的两个实数根，由题意得：x1+x2═=2（m－1），x1x2==m2－7．∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=4（m－1）2－2（m2－7）=10，化简，得m2－4m+4=0，解得m=2．且当m=2时，△=4－4×（－3）＞0，符合题意．∴原方程可写成：x2－2x－3=0，∵x1＜x2，∴x1=－1，x2=3；∴A（－1，0），B（3，0）；（2）已知：A（－1，0），B（3，0），∴抛物线的对称轴为x=1，因此抛物线的顶点坐标为（1，－4）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x－3），则有：－4=a（1+1）（1－3），a=1；∴y=（x－3）（x+1）=x2－2x－3；（3）S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=OA•OC+（OC+MN）•ON+NB•MN，=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．假设存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四边形ACMB=18，即：AB|y0|=18，×4×|y0|=18，∴y0=±9；当y0=9时，x2－2x－3=9，解得x=，x=当y0=－9时，x2－2x－3=－9，此方程无实数根．∴存在符合条件的P点，且坐标为（，9），（，－9）3、解：（1）证明：y=x2－mx+m－2，△=（－m）2－4（m－2）=m2－4m+8=（m－2）2+4，∵（m－2）2≥0，∴（m－2）2+4＞0，即△＞0，∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；（2）整理得m2－4m+3=0，解得m1=1，m2=3，当m=1时，函数解析式为y=x2－x－1；当m=3时，函数解析式为y=x2－3x+1．4、解：