2024-2025学年高一【数学(人教A版)】指数幂运算-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题指数幂运算教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.熟练完成有理数指数幂的运算，了解指数幂的拓展过程与原理，掌握指数幂的运算性质；2.类比用有理数逼近无理数体会从“数”与“形”的两个角度，理解由有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，渗透逼近思想和极限思想；3.在信息技术的帮助下加深对无理数指数幂的理解，发展数学运算和数学抽象的素养。教学重点：实数指数幂的运算及其性质；教学难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂以及对无理数指数幂的理解.教学过程时间教学环节主要师生活动25152引入指数运算例题无理数指数幂总结同学们，大家好，上节课我们学习了根式，并且将根式表示为分数指数幂的形式，即：amna−m这样，我们就把幂ax的形式中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数，所以分数指数幂也叫作有理数指数幂！在推广的过程中，我们发现，有理数指数幂并没有改变幂的运算性质，即对于任意的正数a,b，都有（1）ar∙as=ar+s（2）ars=ars，r,s∈Q幂ar的s次方等于底数a（3）abr=ar∙br，r∈Qa,b乘积的拓展一下，常用的变形形式有aras=a学生活动一：今天，我们来继续学习指数这一节.首先我们来看几道例题.例1.求值：（1）2536解：提示，将2536化为幂ax形式，将−1.5化为分数形式公式：ar2536（2）23解：提示，将各因子化为幂ax形式.2回忆幂的运算性质，我们应该寻找相同的底数！312，3公式：amn=na所以，2=2总结：尽量用指数幂的形式来表示根式，这样往往会简化根式运算.指数幂的运算尽量化为同底数，即便不能化为同底，也要尽可能地减少不同底数的数量，同底才能运用运算性质.例如：2=2×学生活动二：进一步引深，同学们有没有想过一个大胆的问题，指数有没有可能是无理数？也就是无理数指数幂！首先我们复习一下无理数的知识.整数和分数统称为有理数，分数又可写成有限小数和无限循环小数，而无理数又叫做无限不循环小数，例如2，3，π都是无理数，有理数和无理数统称实数.通过初中的学习，我们已经知道，每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示.那么，如果不用计算器，我们如何来估算2的值呢？同学们可能会想到下面这种方式：因为12=1<2因为1.12=1.21<2因为1.112=1.2321<2⋯因为1.1⋯12<2，所以从而产生了一串逐渐向2靠近的数：1<1.1<1.11<1.1但需要指出，这串数无论延续到第几个数，与2都不够接近，因为：1<1.1<1.11<1.1⋯1<1.4<2同学们可能又会想到下面这种方式：因为1.12=1.21<2因为1.22=1.44<2因为1.32=1.69<2因为1.42=1.96<2看上去很完美，但是：因为1.52=2.25>2用通俗的话来讲，第一种靠近方式步子迈得太小，靠得不够近，第二种靠近方式步子迈得太大，到第五个数时已经迈过2了！那么，我们该如何设计靠近2的方式呢？让我们定下如此的标准：设一列数x都小于2，x的第一个值为1.4，之后第二个值为两位小数，第三个值为三位小数，⋯，即每次增加一位小数，而且，x总是在同位数的小数中最接近2且小于2的那一个！如此设计，x的第二个值应该在1.41,1.42,1.43,⋯,1.49中产生1.412=1.9881<2所以x的第二个值应该是1.41x的第三个值应该在1.411,1.41.4112=1.990921<2，1.4121.4142=1.999396<2所以x的第三个值应该是1.414⋯由此，我们就能产生一列从小于2的方向逐渐逼近2的数x：1.4<1.41<1.414<1.4142<1.41421<1.414213<⋯而且2−1.96=0.04，2−可见他们与2的差是在逐渐缩小趋近于0的.我们将这一串数x叫做2的不足近似值.用同样的方法，我们可以制定取2的过剩近似值y的标准：设一列数y都大于2，y的第一个值为1.5，之后第二个值为两位小数，第三个值为三位小数，⋯，即每次增加一位小数，而且，y总是在同位数的小数中最接近2且大于2的那一个经计算，我们可以得到一列从大于2的方向逐渐逼近2的数：1.5>1.42>1.415>1.4143>1.41422>1.414214>⋯这串数字y就是2的过剩近似值.我们可以看到，小数位数相同的2的过剩近似值y与不足近似值x的差是有规律的：2的不足近似值xx2的平方2的过剩近似值yy1.41.9621.52.251.411.98811.422.01641.4141.9993961.4152.0022251.41421.999961641.41432.000244491.414211.99998992411.414222.00001820841.4142131.9999984093691.4142142.0000012377961.41421351.999999823582251.41421362.000000106424961.414213561.99999999328787361.414213572.0000000215721449⋯⋯⋯⋯1.5（几何画板演示1）这个差值就是我们常说的2的近似值得精确度，如果我们需要一个精确到0.001的2的近似值，就可以用1.414.我们可以发现，当2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近2时，我们也就得到了精度越来越高的2的近似值，这样一直计算下去，我们就可以得到任何精确度的2的近似值.我们能否用同样的办法得到52的值呢？很显然，是可以的，我们改变上面这张表中的两列即可2的不足近似值x552的过剩近似值y51.49.5182696935793924494807364405955？1.511.1803398874989484820458683436561.419.67269972892989091571480185559951.429.82963532848334986859893919874171.4149.7351710391992906895153502209991.4159.7508518077807221653564720806511.41429.7383051742627125626804792694111.41439.73987262014970208097021514158611.414219.7384619074994743621719547358871.414229.7386186432587805948317136008351.4142139.7385089279623972192401987070031.4142149.7385246015004892497199631175561.41421359.7385167647282900361766693464461.41421369.7385183320822253669943861829631.414213569.7385177051406209639609883618601.414213579.738517861876018280880906834757⋯⋯⋯⋯我们可以发现，当2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近2时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是52.也就是说，52（几何画板动画演示2）这个用有理数指数幂逼近无理数指数幂的方法是可以推广的，我们可以用这个方法来计算很多无理指数幂的值，比如23，332值.所以，我们实际上已经将幂ax中指数x另外，因为无理数指数幂的值均是由有理数指数幂逼近得到的，它也是一个确定的实数，所以，有理数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意的a>0，b>0，r,s∈R，都有：=1\*GB3①ar∙as=2\*GB3②ars=a=3\*GB3③abr=ar例2.按从小到大的顺序，可将23，32，π5，解：思路一：四个数均为无理数指数幂的形式，我们不妨取无理数2,32=23所以，重新排列为23，32，2π总结：各位同学，今天我们将幂ax中指数x（1）理