广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题

广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线y=4xA．(−1，0) B．(1，2．已知直线l的方向向量为(3，−1A．π6 B．5π6 C．π33．设平面α和β的法向量分别为m=(1，2A．4 B．−4 C．10 D．−104．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．18 B．19 C．20 D．215．双曲线名x2a2A．y=±x B．y=±22 C．y=±36．正方体ABCD−A1B1C1D1中，A．23 B．33 C．267．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为A．22 B．32 C．338．已知Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，则“a6，a2，a3成等差数列”是“对任意k∈A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则下列各式成立的是（）A．AE−12C．EF⋅AC=010．已知直线l：mx−y+2−4m=0(m∈R)与圆DA．圆D的面积为25π B．l过定点(C．△ABD面积的最大值为239 D．11．已知等差数列{an}的前n项和为SA．a1<0 C．Sn的最小值为S4 D．S12．过抛物线E：y2=2px上一点M(1，A．E的准线方程为x=−2B．过点M与E相切的直线方程为y=x+1C．直线AB过定点(D．1|MA三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线ax+y+1=0与直线4x+ay+2=0平行，则a=．14．圆x2+y2=3615．已知数{an}满足a1=2，an+116．已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求数列{a（2）令bn=lgan18．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，O为（1）证明：OE∥平面ABCD；（2）求直线EC1与平面19．已知动点P到直线x=−4的距离比到点M(2，0)（1）求E的方程；（2）已知过点N(4，0)的直线l交E于A，B两点，且△OAB20．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足（1）求{a（2）若bn=(2n−1)⋅a21．如图，在三棱柱ABC−A1B1C（1）证明：A1C⊥平面（2）若三棱锥A−BB1C的体积为33，22．已知椭圆C：x2a2+（1）求C的标准方程；（2）过点A(3，0)的直线与C交于P，Q两点，P关于x轴对称的点为R，求

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由y=4x2，得所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且2p=1所以p=18，所以焦点坐标为(0故选：D【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.先将抛物线方程化为标准方程，进而求出p的值，代入焦点坐标公式可求出焦点坐标.2．【答案】B【解析】【解答】解：直线l的一个方向向量为(3,−1)，则直线所以直线l的倾斜角为5π6故选：B.【分析】本题考查直线的斜率和倾斜角之间的关系.先根据方向向量求出直线斜率k，再根据直线倾斜角与斜率之间的关系k=tan3．【答案】C【解析】【解答】解：因为α⊥β，所以m⋅n=−2+2k−18=0故选：C【分析】本题考查平面与平面的位置关系.根据α⊥β，可得：m→4．【答案】C【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，因为2a6=所以S5故答案为：C.【分析】设等差数列的公差为d，由题意得a35．【答案】C【解析】【解答】解：因为双曲线x2a2所以e=ca=且焦点在x轴上，所以其渐近线方程为y=±3故选：C【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据已知条件利用双曲线离心率计算公式e=1+(b6．【答案】D【解析】【解答】解：建立如图空间直角坐标系D−xyz，设正方体的棱长为2，则A(得AB所以|cos即直线CM与AB1所成角的余弦值为故选：D【分析】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角.先建立如图空间直角坐标系D−xyz，设正方体的棱长为2，写出点的坐标，写出对应向量，利用空间向量的夹角公式|cos7．【答案】A【解析】【解答】解：由题意P(0,b),设Q(x0,y0)，由代入椭圆得16c29故选：A【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先写出P,F1,F2的坐标，根据已知条件8．【答案】D【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，且q≠1，an若a6，a2，a3成等差数列，则2a2=a6+a3，即2a2=a2q4+a2由S6+k，S9+k，S5+k所以2SS化简2S9+k=S6+k+S5+k，可得2q4=1+q，即1-q因为q3+q所以“a6，a2，a3成等差数列”是“对任意k∈故答案为：D.【分析】利用等差、等比数列的性质及充分、必要条件即可判断.9．【答案】A,C【解析】【解答】解：棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，

则AB,AC,AD两两夹角为所以AB⋅A，AE−B，因为DB=AB−C，因为DB=AB−所以EF⋅D，因为EG=所以2EG故选：AC【分析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量的数量积公式.根据向量的中线公式可得：AG→=12(AC→10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：圆D:x2+y半径r=5，故圆D的面积为π×5对于B：将直线l:mx−y+2−4m=0整理为：令x−4=0−y+2=0，解得x=4y=2，即直线l过定点对于C：定点T(4,2)设点D到直线AB的距离为d，则d≤13则S△ABD当且仅当25−d2=故△ABD的面积的最大值为252对于D：当直线l与TD垂直时，弦|AB|的长度最小|AB|min当直线l过圆心D(1,0)所以可得43故选：ABD【分析】本题考查直线方程，圆的方程，直线与与圆的位置关系.先将圆的方程化为成标准方程，找出圆心和半径，可求出圆面积判断A；将直线l整理成关于m的方程，令其系数为0可得到方程组，解方程组可求出直线过的定点，判断B；由S△ABD=12|AB|⋅d，结合弦长公式化简可得：S11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由S8<0，得82由S9>0，得92(aA：由a5>0，a4B：由a5>0，a4C：an=dn+(a1−d)则a1<a2<D：当1≤n≤4时，an<0；当n>4时，当1≤n≤8时，Sn<0；当n>8时，所以当1≤n≤4时，Snan>0；当4<n≤8时，Sn又0<a5<所以1a5>所以−S5a所以Snan故选：ACD【分析】本题考查等差数列的前n项和公式.利用等差数列的前n项和公式由S8<0可得：a4+a5<0，由S9>0可得：a5>0，据此可推出a12．【答案】B,D【解析】【解答】解：A，因为点M(1,所以4=2p，则p=2，抛物线方程为y2则其准线方程为x=−1，A错误；B，联立y2=4xy=x+1则Δ=(−2)2−4=0又点M(则过点M与E相切的直线方程为y=x+1，B正确；C，依题知，直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y=kx+b，联立y2=4xy=kx+b设A(x则x1y1y1又MA⊥MB，则MA==5k则5k即(5k+b+2)(k+b−2)=0，所以k=−b+25，或者当k=−b+25时，直线方程为化为b(1−x5)−当k=2−b时，直线方程为y=(2−b)x+b，即b(1−x)+2x−y=0，过定点(1,D，设直线MA:联立y2=4xx=t(y−2)+1设A(x则2+y1=4t所以|MA|=1+因为MA⊥MB，用−1t替换t得，所以1=（利用了权方和不等式：a2x+当且仅当1(t−1)2=t2故选：BD.【分析】本题考查抛物线方程，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.对于A，根据点在抛物线上，可先求出p的值，进而求出抛物线方程，即可写出抛物线的准线方程；对于B，联立直线方程和抛物线方程可得x2−2x+1=0，进而求出Δ=0，再结合图形可判断B选项；对于C，设出AB的方程为：y=kx+b，联立后利用MA⋅MB=0，可得方程：5k2+(6b−8)k+b2−4=0，解方程可得：以k=−b+2513．【答案】-2【解析】【解答】解：因为直线ax+y+1=0与直线4x+ay+2=0平行，则a2=42a≠4故答案为：−2.【分析】本题考查直线与直线平行的转化.根据直线平行可列出方程组：a2=42a≠414．【答案】8【解析】【解答】解：由x2+y即两圆公共弦所在直线的方程为3x+4y+10=0，圆x2+y2=36则圆心(0,0)到直线所以公共弦长为2r故答案为：8【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程3x+4y+10=0，再利用点到直线的距离公式求出圆心(015．【答案】5【解析】【解答】解：由数列{an}满足，an+1=5an+12，可得所以数列{an+3}是以5为首项，5为公比的等比数列，

所以a故答案为：5n【分析】由题意可得an+1+3=5(an+3)，推出数列{16．【答案】5【解析】【解答】解：由题意可知：F1若过F1的直线l与C只有一个公共点P，可知直线l与双曲线C且PF1⊥P不妨设直线l的斜率k=ba，即联立tan∠PF1且|F1F又因为|PF2|−|PF1所以C的离心率为e=c故答案为：5.【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意分析可知直线l与双曲线C的渐近线平行，不妨设直线l的斜率k=ba，利用余弦定理可求出|PF17．【答案】（1）解：由题意，设等差数列{an}则由a2a3可得(a解得a1∴a（2）解：由(1)，可得bn则数列{bn}b===【解析】【分析】（1）设等差数列{an}（2）由(1)，可得bn=lgan18．【答案】（1）（法一）证：∵O为BD1的中点，∴△EBD1为等腰三角形，且又∵AB=A∴△BAE≌△D∴EA=EA取DD1中点为F，则又EF⊂平面ABCD，AD⊂∴EF∥平面ABCD，∵O为BD1的中点，F为∴OF∥BD，∵OF⊂平面ABCD，BD⊂∴OF∥平面ABCD．．∵EF∩OF=F，∴平面OEF∥平面ABCD，∵OE⊂平面OEF，∴OE∥平面ABCD．（法二）证：设EA=t，以D为原点，DA，DC，DD1AA∵OE⊥AA∴OE⋅A∴OE∵DD∴D∴OE∴OE又∵OE⊂∴OE∥平面ABCD．（2）解：以D为原点，DA，DC，DDA(2EC设平面BED1的法向量为则BD1⋅令y=1，可得m=设直线EC1与平面BED∴sin∴直线EC1与平面BED【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求直线与平面所成的角.（1）利用三角形全等可推出EA=EA1．取DD1中点为F，利用三角形的中位线定理可证明：EF∥平面ABCD，（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面BED19．【答案】（1）解：因为动点P到直线x=−4的距离比到点M(所以动点P到直线x=−2的距离和到点M(曲线E是以M(2，所以曲线E的方程为y2（2）解：设A(x设直线l的方程为x=ty+4，联立y2=8xx=ty+4所以y1S△OAB解得t=±所以直线l的方程为x+2y−4=0或【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系.（1）根据题意分析可知：动点P到直线x=−2的距离和到点M(（2）设直线l的方程为x=ty+4，联立抛物线方程消去x，再利用韦达定理可得：y1+y20．【答案】（1）解：由an+1=2Sn+4以上两式相减可得an+1当n=1时，a2=2S所以数列{a故an（2）解：bnTn3T两式相减，得−2=1+2×=−2+所以Tn【解析】【分析】本题考查数列an（1）根据an,Sn的关系求递推公式写出（2）先求出bn=(21．【答案】（1）证明：∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面∴BC⊥平面ACC∵A1C⊂∴BC⊥A∵BC∥B∴B∵四边形ACC∴AC∵B1C∴A1C⊥（2）解：∵A∴V∴VA1又∵S∴sin∵∠A∴∠以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z，轴，建立空间直角坐标系，

C(∵A1C⊥∴CA1设平面ABB1的法向量为则AB⋅m=0令z=1，可得m=∴|cos∴平面AB1C1与平面【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求平面与平面所成的角.（1）利用平面与平面垂直的性质定理先证明BC⊥平面ACC1A1，进而推出（2）以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z轴，