2024-2025学年高考数学考点第六章平面向量与复数平面向量基本定理及坐标表示理

考点6.2平面对量基本定理及坐标表示考点梳理考点梳理1．平面对量基本定理假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．2．平面对量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面对量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．3．平面对量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思索1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用随意两个非零向量表示吗？提示不肯定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．3．已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，写出x，y的关系式．提示x＋y＝1.真题真题演练1．（2024•全国）设向量，，则和的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设和的夹角为，，，向量，，，，，故选C．2．（2024•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为（）A．3 B． C． D．2【答案】A【解析】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，，，，，圆的方程为，设点的坐标为，，，，，，，，，，，其中，，，故的最大值为3，故选A．3．（2024•新课标Ⅰ）设向量，，若，则__________．【答案】5【解析】向量，，若，则，则，故答案为：5．4．（2024•江苏）在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是__________．【答案】0或【解析】如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，由，得，整理得：，，，．由，得，解得或．当时，，此时与重合，；当时，直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，．即，，．的长度是0或．故答案为：0或．5．（2024•全国）已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】；；．故答案为：．6．（2024•新课标Ⅲ）已知向量，，则，__________．【答案】【解析】，，，，．故答案为：．7．（2024•浙江）已知正方形的边长为1．当每个，2，3，4，5，取遍时，的最小值是__________，最大值是__________．【答案】0，【解析】正方形的边长为1，可得，，，，由于，2，3，4，5，取遍，可得，，可取，，，，可得所求最小值为0；由，的最大值为4，可取，，，，，可得所求最大值为．故答案为：0，．8．（2024•北京）已知向量，，且，则__________．【答案】8【解析】由向量，，且，得，．故答案为：8．9．（2024•新课标Ⅲ）已知向量，，．若，则__________．【答案】【解析】向量，，，，，，解得．故答案为：．10．（2024•北京）设向量，．若，则__________．【答案】【解析】向量，．．，，解得．故答案为：．11．（2024•北京）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为__________．【答案】【解析】设，，．则，当且仅当时取等号．故答案为：6．12．（2024•山东）已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】，，解得．故答案为：．13．（2024•新课标Ⅲ）已知向量，，且，则__________．【答案】2【解析】向量，，且，，解得．故答案为：2．14．（2024•新课标Ⅰ）已知向量，，若向量与垂直，则__________．【答案】7【解析】向量，，，向量与垂直，，解得．故答案为：7．15．（2024•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则__________．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．．由与的夹角为，且．，．．．．．，，，解得，．则．故答案为：3．强化训练强化训练1．（2024•咸阳模拟）已知向量，，则（）A． B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】向量，，，，，，．故选B．2．（2024•东莞市一模）已知向量，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】向量，，，，，，解得，故选C．3．（2024•全国Ⅰ卷模拟）ABCO，为原点，，，则点坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依据题意，中，有，又由，，则，，则，则；故选A．4．（2024•黔东南州模拟）若向量，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，，故选D．5．（2024•九龙坡区校级模拟）已知向量，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依据题意，向量，，则，又由，则，解可得；故选B．6．（2024•全国模拟）设向量，，，且，则（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】因为，又因为，所以，，，解得，故选A．7．（2024•全国I卷模拟）已知，，若点满意，则点坐标为（）A．， B． C． D．【答案】D【解析】设，由，，得，；又，，即，解得；点坐标为．故选D．8．（2024•定远县模拟）若向量与向量共线，则（）A．0 B．4 C． D．【答案】D【解析】向量与向量共线，则，解得，，．故选D．9．（2024•金安区校级模拟）已知向量，，若，且，则实数的值为（）A．2 B．4 C．或2 D．或4【答案】C【解析】向量，，，且，，，解得．故选C．10．（2024•丹东模拟）AC为平行四边形ABCD的一条对角线，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由平行四边形的性质可得，，，．故选D．11．（2024•湘潭三模）已知向量，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】向量，，若，则，求出，故选C．12．（2024•重庆模拟）已知向量，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，，，，，，故和不垂直，故错误；，故故和不共线，故错误；，，，和不垂直，故错误；，，，，故正确，故选D．13．（2024•袁州区校级模拟）平面对量与的夹角为，且，，则在方向上的投影为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】；；，且；在方向上的投影为．故选C．14．（2024•新余二模）已知，，，则（）A．2 B． C．1 D．0【答案】A【解析】；；；；；．故选A．15．（2024•雨花区校级模拟）已知向量，，，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】向量，，，，，，解得．故选A．16．（2024•临川区校级模拟）已知向量，，且，则的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．4【答案】B【解析】向量，，且，，，解得．故选B．17．（2024•西安三模）已知向量，，若与垂直，则的值为（）A．7 B． C． D．【答案】B【解析】；与垂直；；．故选B．18．（2024•香坊区校级二模）已知向量，，若，则实数（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】向量，，，，，解得．故选A．19．（2024•青岛二模）已知平面对量的夹角为，且，则（）A．3 B．9 C．12 D．15【答案】D【解析】，．故选D．20．（2024•潮州二模）已知向量，，且，则（）A．5 B． C． D．【答案】C【解析】；；；；；．故选C．21．（2024•广东二模）设向量与向量垂直，且，，则下列向量与向量共线的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】；；；；；与共线．故选B．22．（2024•邯郸一模）在平行四边形ABCD中，，，，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：设，，则：；；；；又，；，，；；；点的坐标为．故选A．23．（2024•云南一模）已知点，，若向量，则向量（）A． B． C． D．【答案】D【解析】；．故选D．24．（2024•巴州区校级模拟）向量，，则（）A． B． C． D．．【答案】B【解析】．故选B．25．（2024•秦州区校级模拟）已知向量，，且，则（）A． B． C．6 D．8【答案】D【解析】，，，又，，解得．故选D．26．（2024•西湖区校级模拟）已知平面对量，，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，且，，解得，，，，，，，，，故选C．27．（2024•西湖区校级模拟）已知，，则与的坐标分别为（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】，，则，，，，，，，故选D．28．（2024•西湖区校级模拟）若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，．故选B．29．（2024•山东模拟）设向量，，则（）A． B． C． D．与的夹角为【答案】CD【解析】，错误；，，，错误，正确；，且，的夹角为，正确．故选CD．30．（2024•宁德二模）已知向量，，且，共线，则__________．【答案】【解析】因为，共线，所以，即，所以，则，故答案为：．31．（2024•日照一模）已知向量，若，则__________．【答案】【解析】因为向量，且，所以，解得．故答案为：．32．（2024•4月份模拟）已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】因为，所以，即．故答案为：．33．（2024•3月份模拟）已知向量，则__________．【答案】【解析】因为向量，，，，；．故答案为：．34．（2024•安徽模拟）在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为__________．【答案】【解析】由点在的平分线上，所以存在，使，，，；又，所以，解得，所以向量．故答案为：．35．（2024•山西模拟）已知点，，则__________；与同方向的单位向量为__________．【答案】，，【解析】由点，，则，，；所以与同方向的单位向量是，．故答案为：，，．36．（2024•天河区一模）已知向量，．若向量，则______