第03讲 利用函数的奇偶性、周期性和单调性求解函数问题（十种题型）-冲刺2025年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）

第03讲利用函数的奇偶性、周期性和单调性求解函数问题（十种题型）一．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．二．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．三．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．四．函数的周期性【知识点的认识】函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．【解题方法点拨】周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，例：求f（x）＝的最小正周期．解：由题意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）⇒T＝4②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．【命题方向】周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．【热点、重难点题型】题型一：利用函数奇偶性求参数值一、单选题1．（2022·河南·项城市第三高级中学高三期中）若函数为奇函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据奇函数定义式列方程求解即可.【详解】因为为奇函数，所以，即所以.故选：C.2．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知函数，则“函数为偶函数”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据偶函数的定义求出当函数为偶函数时，实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若函数为偶函数，则对任意的，，因为，则，即，即，所以，，解得，又因为，因此，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据为奇函数，求解即可.【详解】解：，定义域为，令，因为，所以函数为奇函数，设的最大值为，最小值为，所以，因为，函数的最大值与最小值之和为，所以，解得.故选：B二、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．【答案】1【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.【详解】当时，，当时，，故，而，故即，故答案为：1.5．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）若二次函数为偶函数，则_______．【答案】1【分析】由题意，代入求解即可.【详解】由题意，为偶函数，故，即，即，对恒成立，故，即.故答案为：1三、解答题6．（2022·山西太原·高三期中）已知是偶函数．(1)求实数k的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用偶函数的定义，建立方程，结合对数运算，可得答案；（2）由（1）所得函数解析式，整理不等式，利用一元二次不等式的解法，解得指数函数性质，可得答案.【详解】（1）由题意，，则，解得.（2）由（1）可知，则，整理为，，，，，，解得，即.7．（2022·上海市嘉定区安亭高级中学高三期中）已知函数为奇函数(1)求的值，判断并证明在其定义域上的单调性；(2)若关于的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)；在定义域上单调递增，证明见解析；(2).【分析】（1）根据奇函数的定义，结合函数单调性的定义、指数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性和奇偶性，结合常变量分离法、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.【详解】（1）函数的定义域为R，函数为奇函数，，经检验，为奇函数.函数的定义域为R，，R且，，因为，所以，而，所以，故在R上单调递增．（2）因为为奇函数，所以有又因为在R上单调递增，，所以对任意恒成立，即，令，，设，，所以在上单调递增，所以：.8．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）对于两个定义域相同的函数，若存在实数使，则称函数是由“函数”生成的.(1)若和生成一个偶函数，求的值；(2)若是由函数且生成，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用待定系数法表示出偶函数，再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可；（2）先用待定系数法表示出函数，再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求的取值范围；（1）设，是偶函数，∴，即，．（2）设，，解得，．由知，，当且时，，当时取等号，当时，，当时取等号，．9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，且的图象关于坐标原点成中心对称.(1)求实数的值；(2)若在y轴的右侧函数的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据题意可知函数为奇函数，可利用特殊值计算出实数的值，然后检验函数为奇函数即可.（2）在y轴的右侧函数的图象始终在的图象上方可转化为在恒成立，然后利用分离参数法转化为求函数最值即可.（1）的图象关于坐标原点成中心对称，是奇函数，，，解得又时，，，所以.（2）在轴的右侧函数的图象始终在的图象上方，即对恒成立.与在上都是增函数，在上是增函数，当时，，解得，故所求实数的取值范围为.10．（2022·上海市延安中学高三期中）已知，，其中，且函数为奇函数；(1)若函数的图像过点A（1，1），求实数m和n的值；(2)当时，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；(3)设函数，若对任意，总存在唯一的使得成立，求实数m的取值范围；【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）运用奇函数的定义可得，再由图象经过点，解方程可得；（2）问题转化为在，上恒成立．构造函数，研究单调性求最值即可；（3）求得当时，；当时，．分别讨论，，，运用基本不等式和单调性，求得的范围．【详解】（1）函数为奇函数，可得，即，，则，由的图象过，可得（1），即，解得，；（2）当时，，易知，，∴，记，则在，递增．理由：设，则，由，可得，，，则，即，可得在，递增；∴，∴实数a的取值范围；（3）当时，；当时，．①时，时，；时，不满足条件，舍去；②当时，时，，，时，，，，由题意可得，，，可得，即；综上可得；③当时，时，，，时，，，，由题意可得，，，可得，可令，则在上递减，，，可得，即，综上可得，所以的取值范围是．题型二：利用函数奇偶性解抽象函数不等式一、单选题1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据图象求出当时，不等式的解集和的解集，再利用函数奇偶性质得到是奇函数，求出时，不等式的解集，从而得到不等式在定义域为时，的解集.【详解】有图可得，当时，，，；当时，，，故.所以当时，不等式的解集为.又因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，由奇偶性可知，当时，不等式的解集为，所以不等式的解集是.故选：A.2．（2022·广东·高三阶段练习）已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，作出函数简图，数形结合列指数不等式，并求解.【详解】是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，作出函数的简图，如图所示，则时，，或，所以可得不等式的解集为.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由为奇函数可化简不等式得到，利用单调性可得自变量的大小关系.【详解】为奇函数，，又，，则可化为：，在单调递增，，解得：，的取值范围为.故选：C.4．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意可判断函数的奇偶性和单调性，即可根据以及单调性，奇偶性进行求解.【详解】由于对定义域内任意，都有，取则，取则，则，所以是偶函数，令，则由时，得，所以在上单调递增，由于，当时，原不等式可化为：，即，当时，原不等式可化为：，即，，当时，由是偶函数可得或，故原不等式的解集是：,故选：A5．（2022·上海·上外附中高三阶段练习）已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的奇偶性与单调性可得出原不等式的解集.【详解】由题意可知，当时，，构造函数，其中，则，所以，函数为偶函数，且当时，，所以，函数在上单调递减，因为，由可得，即，所以，，故，即或，解得或.故选：C.6．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再得到时的单调性，利用偶函数比大小的处理方式，转化为，即可求解.【详解】因为，所以是偶函数，当时，是增函数．又因为，所以可化为，可得到，解得．故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用偶函数的性质得到在上单调递增，.把原不等式转化为或即可解得.【详解】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且，又，所以.由，得或所以或解得或.故x的取值范围是.故选：D.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数判断函数的单调性，在根据偶函数性质得到全局的单调性，最后根据单调性脱去函数记号，解不等式来处理.【详解】当时，，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所以函数在上单调递减．则不等式，即等价于，解得或．故选：D．二、多选题9．（2022·浙江·高三开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（

）A．在上单调递增B．在上单调递减C．D．【答案】BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除得到，然后根据，即可判断与两者的大小，从而判断选项A，选项B由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定与的大小，从而确定函数的单调性，选项C和选项D，可利用前面得到的不等式，令，带入，然后借助是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，，，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，因为，所以在上单调递增，故选项A错误；因为，，所以，所以，即，又因为，所以在上单调递减，选项B正确；因为时，恒成立，所以令，代入上式得，即，又因为是定义在上的奇函数，所以，所以，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.三、填空题10．（2022·上海·同济大学第一附属中学高三阶段练习）设奇函数在上严格递增，且，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】由函数的奇偶性化简不等式，结合单调性求解【详解】由题意得是奇函数，则等价于，即，而在上严格递增，，故时，，时，，由为奇函数，得时，，时，，综上，的解集为故答案为：11．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】利用奇函数的性质得到，再根据不等式构造函数，分析函数在时的单调性，根据单调性、奇偶性和解不等式即可.【详解】因为为奇函数，定义域为，所以，，又因为时，，所以，构造函数，所以，所以当时，，在上单调递增，又因为，所以，在上大于零，在上小于零，又因为，所以当时，在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以当时，在上小于零，在上大于零，综上所述：的解集为.故答案为：.【点睛】常见的函数构造形式：①，；②，.12．（2022·山西太原·高三期中）已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为________．【答案】【分析】令，进而结合题意得函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，，进而根据单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】解：令，则因为，即，所以，即函数为偶函数，因为，当时，所以，当时，，函数为单调递减函数，因为函数为上的偶函数所以，函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以因为可变形为，即，因为函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，所以，或，即或，所以，不等式的解集为故答案为：四、解答题13．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数是定义在上的偶函数，当时，是一个二次函数的一部分，其图象如图所示．(1)求在上的解析式；(2)若函数，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用待定系数法，结合图象可求得在时的解析式；由时，可求得；由此可得分段函数解析式；（2）首先确定解析式，分别在、和的情况下，根据单调性得到最大值.（1）当时，结合图象可设：，，，；当时，，，又为偶函数，；综上所述：.（2）当时，，则开口方向向下，对称轴为；①当，即时，在上单调递减，；②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，；③当，即时，在上单调递增，；综上所述：.14．（2022·浙江·东阳市横店高级中学高三阶段练习）已知函数的定义域为，满足且.(1)求函数的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件求出、的值，即可得出函数的解析式；（2）任取、且，作差，因式分解，并判断差值符号，即可证得结论；由题意可得出，利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可.（1）由可得，可得，解得，，，故.（2）任取、且，即，则，，所以，，则，所以，函数在上为增函数.由可得，结合单调性可得，解得，因此，不等式的解集为.15．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数为奇函数．(1)求的值；(2)，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；（2）根据函数的单调性和奇偶性及一元二次函数的恒成立进行求解即可.（1）因为是定义在上的奇函数，所以，则（经检验，时为奇函数，满足题意）．（2）因为是奇函数，所以不等式等价于，又由（1）知，易知是上的减函数，所以，即对任意的有恒成立，从而对应方程的根的判别式，解得．所以的取值范围为．16．（2022·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合．【答案】(1),(2)证明见解析(3)【分析】（1）赋值计算得解；（2）根据定义法证明单调性；（3）根据①及单调性计算得解.（1）得，则，而，且，则；（2）取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．（3）由条件①及（1）的结果得，，，，，解得，故的取值集合为.题型三：构造奇偶函数求函数值一、单选题1．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数在上的最大值与最小值的和为（

）A．-2 B．2C．4 D．6【答案】D【分析】将函数左移一个单位，即，，根据解析式可判断，即函数关于对称，即可求解.【详解】将函数左移一个单位，得，，则，所以函数关于对称，故最大值与最小值也关于对称，其和为6，故选：D2．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数，若，则（

）A．2 B．1 C．－2 D．－5【答案】B【分析】构造函数，利用其奇偶性求解.【详解】设，则，所以是奇函数．因为，所以，则f(－a)＝1．故选：B3．（2022·江西南昌·模拟预测（理））设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数的性质逐项判断即可.【详解】因为为奇函数，所以，所以函数图象关于点对称，因为是偶函数，所以，即，所以函数图象关于直线对称，所以，所以，所以函数周期为4，所以，，无法确定其值，故A正确；BCD无法确定.故选：A4．（2022·陕西·铜川市耀州中学模拟预测（理））已知正方形的四个顶点都在函数图象上，且函数图象上的点都满足，则这样的正方形最多有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】设，得到，根据的奇偶性，得到，得到，设对角线所在的直线为，联立方程组求得，，结合，得到，令，求得的值，即可求解.【详解】设函数，则函数是上的奇函数，且在上单调递增，可得，所以，所以，即，其对称中心为原点，所以正方形的中心为原点，设正方形的对角线所在的直线为，由，整理得，所以，同理可得，由，可得，即，令，则，所以或，所以这样的正方形最多有2个．故选：B.【点睛】对于函数的基本性质综合应用问题解答时，有时需要通过构造函数的奇偶性进行转化.二、多选题5．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）下列命题中真命题有（

）A．已知，若与的夹角为锐角，则B．若定义域为R的函数f（x）是奇函数，函数f（x－1）为偶函数，则f（2）＝0C．复数z满足|z|2＝z2D．函数的最大值是5【答案】BD【分析】根据平面向量夹角的坐标表示公式、奇偶函数的性质，结合复数模的定义和乘方运算、导数的性质逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，当与同向时，有，即，显然，显然当时，与的夹角不是锐角，故本命题不是真命题；B：因为函数f（x－1）为偶函数，所以，又因为函数f（x）是奇函数，所以，即，所以本命题是真命题；C：当时，，所以本命题是假命题；D：的定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因此本命题是真命题，故选：BD【点睛】关键点睛：利用导数求函数的最值是解题的关键.三、填空题6．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．【答案】-2014【分析】先化简得到，再利用函数奇偶性进行求解.【详解】，因为为奇函数，所以，其中，所以，解得：故答案为：-20147．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数，若，则______.【答案】【分析】构造奇函数，根据函数的奇偶性性质即可求解.【详解】令，，所以为奇函数，则有，因为，所以，则，所以，故答案为:.8．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知函数，则在上的最大值与最小值之和为______．【答案】【分析】利用诱导公式化简，令，，根据奇偶性定义可证得为奇函数，得到，由此推导得到结果.【详解】；令，当时，，；令，，，为定义在上的奇函数，，，即，在上的最大值和最小值之和为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查构造奇函数求解最值之和的问题，解题关键是能够根据已知函数解析式构造出奇函数的形式，从而利用奇函数的对称性得到最值之和.四、双空题9．（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析___________；（2）利用题目中的推广结论，则函数图象的对称中心坐标是___________.【答案】

（答案不唯一）

【分析】(1)由推广结论可得为奇函数，由此写出符合要求的函数解析式；(2)设为图象的对称中心，为奇函数，设，利用为奇函数，则，即可得出结果.【详解】（1）因为函数的图象关于点成中心对称，所以为奇函数，只要设，则.（注：答案不唯一，只要满足为奇函数）（2）设函数图象的对称中心为，则，因为为奇函数，所以，即，所以得，解得，.即函数图象的对称中心坐标是故答案为：（答案不唯一）；五、解答题10．（2022·上海市杨浦高级中学高三开学考试）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m、n使，则称函数是由“基函数和”生成的．(1)若和生成一个偶函数，求的值；(2)若由函数（，且）生成，求的取值范围：(3)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1．求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性．（无需证明）【答案】(1)0.(2).(3)，在递减，在递增.【分析】（1）由列方程，根据为偶函数求得的关系式，进而求得的值.（2）由列方程组，化简后求得的关系式，利用导数求得的取值范围.（3）构造函数，并证得其奇偶性和单调性.（1）解：由为偶函数可知，所以.（2）解：由得，所以，由于，所以可化简得，所以.构造函数，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数在处，有极大值，在处有极小值.所以的取值范围是.（3）解：构造函数，，所以为偶函数.由于，所以有最小值符合题意.在递减，在递增.另补证明：由于为偶函数，只需求得上的单调性.构造函数，，由于时，，故，所以函数在上递增.根据复合函数单调性同增异减可知，函数在上递增.根据为偶函数可知，函数在递减.【点睛】本小题主要考查新定义函数的概念理解，考查利用导数、基本不等式等方法求最值，考查函数的单调性和奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.11．（2020·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过(2，).（1）求m的值与函数的定义域；（2）已知，求的值.【答案】（1），；（2）1【分析】（1）由已知得，可求得函数的解析式和定义域；（2）设，则，由，得出为奇函数，可求得所求的值.【详解】（1）因为幂函数的图象过(2，)，所以，∴，∴，函数的定义域为.（2）设，则，∴，∴为奇函数，∴.【点睛】本题考查求幂函数的解析式，幂函数的定义域，函数的奇偶性的应用，属于中档题.题型四：奇偶性与周期性综合问题一、解答题1．（2021·全国·高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，，当时，求的解析式．【答案】，【分析】求出是周期为的周期函数，根据奇函数可得时的解析式，再由周期为即可求出当时的解析式.【详解】因为对任意实数，恒有，所以，所以是周期为的周期函数，当时，时，，又因为是定义在上的奇函数，所以，可得，当时，，所以，因为是周期为的周期函数，所以，.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称.(1)求证：是周期为4的周期函数；(2)若，求时，函数的解析式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由函数的图象关于直线对称，可得，即，又因为是奇函数，所以，从而得，即可得周期为4；(2)先求得时，，再结合周期为4，即求得在上的解析式.（1）解：证明：由函数的图象关于直线对称，有，即有，又函数是定义在上的奇函数，有，故，从而，即是周期为的周期函数；（2）解：由函数是定义在上的奇函数，有，时，，，故时，，时，，，从而，时，函数的解析式为3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知是定义在上的偶函数，且.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用偶函数定义可得参数值，从而的解析式；（2）易知在上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即可；（3）原问题等价于在上的最小值不大于在上的最小值.（1）由题意知，即，所以，故.（2）由（1）知，，易知在上单调递增，所以不等式恒成立，等价于，即恒成立.又，当且仅当时，等号成立，所以，即实数的取值范围是.（3）因为存在，对任意的，都有，所以在上的最小值不大于在上的最小值.因为在上单调递增，所以当时，.图象的对称轴方程为，当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得；当时，在上单调递减，，解得，所以.综上，实数的取值范围是.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若满足为R上奇函数且为R上偶函数，求的值；（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”，是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是．【答案】（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．【解析】（1）根据为R上奇函数，可得，根据为R上偶函数，可得，进一步可得，所以的一个周期为，根据周期求出结果即可；（2）根据题意推出，得到函数的一个周期为，再结合的一个周期为，可得，从而可得结果；（3）充分性：利用可证；必要性：根据可得，再根据和，得到，根据以及二次函数知识可得，即.【详解】（1）因为满足为R上奇函数，所以，所以，又因为满足为R上偶函数，所以，所以，所以有，所以，所以，所以，所以的一个周期为，所以，在中令，得，所以，在中令，得，所以，所以；（2）因为，所以因为，所以，所以函数的一个周期为，因为，所以，所以是周期函数，一个正周期为24；（3）充分性：当时，，此时，所以充分性满足；必要性：因为二次函数的广义周期为，所以，所以，所以，又因为不恒成立，所以，所以，又因为，且，所以，因为，所以，所以，即，也即，所以必要性满足．所以：对任意的，，成立的充要条件是．【点睛】本题考查了由函数的奇偶性推出周期性，考查了利用奇偶性和周期性求函数值，考查了周期函数的定义，考查了新定义，考查了二次函数的图象和性质的应用，考查了充要条件的证明，属于难题.5．（2022·上海·高三专题练习）函数，其中是定义在上的周期函数，，为常数（1），讨论的奇偶性，并说明理由；（2）求证:“为奇函数“的一个必要非充分条件是”的图象有异于原点的对称中心”（3），在上的最大值为，求的最小值.【答案】（1），奇函数；，非奇非偶函数；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）就分类讨论，后者利用反例说明为非奇非偶函数.（2）通过反例说明非充分性成立，设的周期为，可以证明当为奇函数时成立，从而可得有异于原点的对称中心.（3）先考虑时，，再通过反证法可证明不成立，从而可得，也可以利用绝对值不等式证明成立，结合时，可得.【详解】（1），时，，为奇函数，时，∵，∴不是奇函数.，，，.若为偶函数，则即，因为，故无解，∴不是偶函数，所以是非奇非偶函数.（2）非充分性：举反例，有异于原点的对称中心，但不是奇函数；必要性：设奇函数，且，令，，而，故，令，则的图象关于对称.（3）法一：，取，则，∴；下证的最小值为，反证法：假设，，∵，∴，∴①；同理∵，∴②；∵，∴，③；②-①得，③-②得，矛盾，所以假设不成立，得证.法二：，，当时，，.【点睛】方法点睛：（1）说明一个函数为非奇非偶函数，一般利用反例来说明；（2）如果函数满足，则的图象有对称中心.（3）双重最值问题，可以利用绝对值不等式先求出范围，再验证等号可以成立.题型五：单调性与奇偶性综合问题一、解答题1．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知对任意两个实数a，b，定义，设函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且．(1)求函数的最小值；(2)若不等式对任意实数t恒成立，求非零实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用赋值法求得以及，结合图象求得的最小值.（2）根据的奇偶性、单调性化简不等式，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1），，令，则是奇函数，而是偶函数，所以，即，解得，.所以的图象如下图所示，由图可知的最小值为.（2）由（1）得，是偶函数，开口向上，在区间上递增，上递减，不等式对任意实数t恒成立，，，当时，恒成立，符合题意.当时，，所以，恒成立，所以，解得.当时，，所以，恒成立，所以，解得，综上所述，的取值范围是.2．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数的定义域为R，且．(1)判断的奇偶性及在上的单调性，并分别用定义进行证明；(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)为偶函数，在上的单调递增，证明见解析.(2).【分析】（1）利用换元法，令，则，，即可求得函数解析式，根据函数奇偶性以及单调性的定义，判断函数的奇偶性和单调性，进而证明结论.（2）将原不等式化为，进而得在恒成立，继而转化为求函数的最值问题，求得答案.【详解】（1）令，则，，则，为偶函数，下面证明：的定义域为R，关于原点对称；，则，，所以为偶函数；在上的单调递增，下面利用定义法证明：设，，，，因为，，所以，，所以，，则，即，所以在上的单调递增．（2）由题意知，，恒成立，因为，在上的单调递增，且为偶函数，所以当时，，，即在恒成立，所以a小于或等于的最小值．令，与在上的奇偶性单调性相同，所以，（），故的最小值为2，所以．3．（2022·江苏镇江·高三期中）已知函数是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式，判断函数在定义域上的单调性并证明；(2)令，若对，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)，在上单调递减，证明见解析(2)【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，利用奇函数的性质求解，即可得函数的解析式；判断函数在上的单调性，利用单调性定义任取，且，作差变形，判断差的符号即可证明单调性；（2）根据不等式，参变分离转化为函数最值问题，即得实数的取值范围.【详解】（1）解：是上的奇函数，再由在上单调递减任取，且，则，在上递减.（2）解：对恒成立令，即的取值范围为.4．（2022·广东实验中学高三阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且(1)判断的奇偶性；(2)求函数在区间上的最大值；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)最大值为；(3)或.【分析】（1）令求得，令结合奇偶性定义即可判断；（2）令，根据已知条件及单调性定义即可判断单调性，利用单调性求最值；（3）由（2），问题化为恒成立，根据一次函数性质，讨论参数m求范围.（1）令，则，可得，令，则，可得，又定义域为R，故为奇函数.（2）令，则，且，因为时，，所以，故，即在定义域上单调递减，所以在区间上的最大值为.（3）由（2），在上，恒成立，即恒成立，所以恒成立，显然时不成立，则，可得；，可得；综上，或.5．（2022·上海南汇中学高三期中）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.【答案】(1)是倒函数，不是倒函数，理由见解析(2)没有，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；（2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在定理可得出结论；（3）推导出函数为上的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.【详解】（1）解：函数的定义域为，对任意的，，所以，函数为倒函数，函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，故函数不是倒函数.（2）解：当时，则，由倒函数的定义可得，由满足倒函数的定义，当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，故当时，，当时，，若函数有整数解，则，设，则函数在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，即，故方程无整数解.（3）解：因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，所以，，任取、且，则，所以，，，所以，，所以，函数为上的增函数，因为，故函数为上的奇函数.当时，即，则，所以，，即“”“”；若，则，所以，，即.所以，“”“”.因此，是的充要条件.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.6．（2020·全国·高三专题练习（理））设是偶函数，且当时，（1）当时，求的解析式；（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式；（3）若方程有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求与满足的条件．【答案】（1）；（2）；（3）与满足的条件为且，或且，或且.【分析】（1）利用偶函数的性质求得当时，的解析式.（2）根据是偶函数得到在区间上的最大值即为它在区间上的最大值，对分成等情况进行分类讨论，结合的单调性，求得的表达式.（3）根据方程在上的根的个数进行分类讨论，结合二次函数的性质、偶函数的性质，求得与满足的条件.【详解】（1）依题意是偶函数，当时，同理，当时，，所以，当时，的解析式为（2）因为是偶函数，所以它在区间上的最大值即为它在区间上的最大值，①当时，在上单调递增，在上单调递减，所以②当时，在与上单调递增，在与上单调递减，所以此时只需比较与的大小．（i）当时，，所以（ii）当时，，所以.③当时，在与上单调递增，在上单调递减，且，所以.综上所述，．（3）设这四个根从小到大依次为，，，，且成等差数列.①当方程在上有四个实根时，根据对称性可知，所以，，，成等差数列，所以，且，得，，从而，且要求对恒成立．（i）当时，在上单调递减，所以对恒成立，即适合题意．（ii）当时，要使对恒成立，只要，解得，故此时应满足．②当方程在上有两个实根时，，且，，所以必须满足，且，，解得．③当方程在上无实根时，，，由，，解得，，所以，且由，解得．综上所述，与满足的条件为且，或且，或且．【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查方程的根、等差数列等知识，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.题型六：对称性与奇偶性综合问题一、解答题1．（2020·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，当时，有最小值，其中且.（1）试求函数的解析式；（2）问函数图象上是否存在关于点对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，两点的坐标为、.【解析】（1）利用奇函数的定义可求得的值，再由函数有最小值，结合基本等式可得出，再由以及可求得、的值，由此可求得函数的解析式；（2）设存在一点在的图象上，结合题意可知点，由这两点在函数的图象上可得出方程组，可解得的值，由此可得结论.【详解】（1）∵是奇函数，∴，即，∴，∵，，，∴，当且仅当时等号成立，于是，∴，由得即，∴，解得，又，∴，∴，∴；（2）设存在一点在的图象上，并且关于的对称点也在图象上的点，则，消去得，，∴图象上存在两点、关于对称.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，同时也考查了函数图象上点的对称性的求解，考查计算能力，属于中等题.2．（2020·上海·高三专题练习）以下给出两种求函数图像对称中心的方法：①利用奇函数图像关于原点对称这一性质，再结合图像的变换可得．例如，函数，的对称中心为．而的对称中心为；②利用结论：函数的图像有对称中心的充要条件是对定义域中的任何一个x，均有．请你根据以上提供的方法，解下列各题．（1）求函数的对称中心；（2）判断命题：“若，的定义域都为，且都关于点对称，则也关于点对称”的真假，并说明理由；（3）问是否有对称中心？若有，求出其对称中心；若没有，说明理由．【答案】（1）对称中心为．（2）假命题．见解析（3）有对称中心．【分析】（1）将函数化为，根据结论得出答案.（2）由题意，，都关于点对称，得，,从而可得，即关于点成中心对称，然后得出判断.（3）设,由，则当时，可得，从而得出结论.【详解】解

（1）由，可得所以函数化为即，所以其对称中心为．（2）这个命题是假命题．由题意，，都关于点对称，得，．∴，即关于点成中心对称．所以关于点对称是假命题.（3）函数有对称中心，设，则．当时，，此时．所以有对称中心．【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查中心对称性，考查学生对新信息的加工处理能力，考查学生的逻辑推理能力和分析论证能力，属于中档题.题型七：对称性、周期性与奇偶性综合问题一、解答题1．（2022·福建省厦门第二中学高三阶段练习）已知函数是R上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，.(1)求的最小正周期，并用函数的周期性的定义证明；(2)当时，求的解析式；(3)计算的值．【答案】(1)见解析(2)(3)1【分析】（1）结合已知条件，利用函数的对称关系即可求解；（2）利用函数的对称关系即可求解；（3）利用周期性和在上的解析式即可求解.（1）因为函数是R上的奇函数，且的图象关于直线对称，所以，不妨令，则，即，从而，即，即的一个周期为4，因为当时，，即在上的单调递增，所以由奇函数性质可知，在上单调递增，又由对称性可知，在单调递减，从而的最小正周期为4.（2）当时，则，因为当时，，且的图象关于直线对称，所以当时，.（3）由（1）（2）和的周期性可知，，，，，因为的最小正周期为4，所以.2．（2022·全国·高三专题练习）记，其中，已知是函数的极值点.(1)求实数a的值；(2)的表达式展开可以得到，求的值.(3)设函数定义域为R，且函数和函数都是偶函数，若，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出函数的导数，依题意可得，即可得到方程，求出，再代入检验即可；（2）由（1）可得，求出函数的导函数，再令，即可得解；（3）首先判断、的对称性，令，即可得到也关于对称，且为偶函数，即可得到其周期，从而得解；（1）解：因为，所以，依题意，即，解得或，当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，符合题意；当时，，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；综上可得：.（2）解：因为，所以，又，则，令，则，则（3）解：因为为偶函数，即，所以关于对称，又，则，，即，所以关于对称，令，则也关于对称，即又为偶函数，即，所以，即，所以是以为周期的周期函数，所以，即，即.3．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f（x）同时满足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），且当2≤x≤6时，（Ⅰ）求函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）若f（4）＝31，求m，n的值．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）m＝4，n＝30．【分析】（Ⅰ）结合f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），可得f（4+x）＝f（x），即得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）f（2）＝f（6），又f（4）＝31，代入即得解.【详解】（Ⅰ）∵f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），即f（4+x）＝f（x），即4是函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）∵函数的周期是4，∴f（2）＝f（6），即，∴|2﹣m|＝|6﹣m|，解得m＝4，又f（4）＝31，∴f（4）1+n＝31，解得n＝30．故答案为：m＝4，n＝30．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若存在常数和，对任意的，都有成立，则称函数为“拟线性函数”，其中数组称为函数的拟合系数.(1)数组是否是函数的拟合系数？(2)判断函数是否是“拟线性函数”，并说明理由；(3)若奇函数在区间上单调递增，且的图像关于点成中心对称（其中为常数），证明：是“拟线性函数”.【答案】(1)是；(2)不是；(3)证明见解析.【分析】（1）根据所给新定义推出即可得出结论；（2）根据新定义，利用特例法可知不存在使成立，即可得出结论；（3）根据所给函数的性质可构造函数，利用周期定义可得为周期函数，先证明在时，，再利用周期证明对一切，都有即可得证.(1)因为所以当，当时，因为或，所以，所以数组是函数的拟合系数.(2)①当时，对于恒成立，所以成立，②当时，恒成立，所以成立，由①②可知，不能同时满足，所以函数不是“拟线性函数”.(3)的图像关于点成中心对称，，令x=0，得：，由于在区间上递增，，，为奇函数，，时，，记，下面证明对一切，都有，为奇函数，，，即，由于是周期函数，且一个周期为，因为当时，，，又因此时，当，，，由于均为奇函数，也为奇函数，当时，，也成立，综合得:时，,当时，，，因此，对一切，都有，即恒成立.所以是“拟线性函数”.【点睛】方法点睛：根据所给新定义，理解“拟线性函数”，并选取恰当的拟合系数是解题的关键所在，证明是“拟线性函数”，需要根据所给函数的奇偶性，单调性，对称性进行充分推理，为探求拟合系数准备，找到合适的拟合系数，是解决问题的难点，探求出拟合系数后根据定义推导即可，属于难题.5．（2020·全国·高三专题练习）已知是定义在上的函数，满足．（1）证明：2是函数的周期；（2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）当，时，．当，时，，（3）.【分析】（1）令取代入化简后，由函数周期性的定义即可证明结论；（2）由，得，，求出代入化简后求出，即可求出一个周期，上的解析式，利用函数的周期性求出在，时的解析式；（3）由（2）和函数的周期性画出的图象，将方程根的问题转化为图象的交点问题，根据图象和条件对分类讨论，分别结合图象和条件列出不等式组求出的取值范围．【详解】证明：（1）因为，令取得，所以，所以，2是函数的周期．解：（2）当，时，，，则，又，即，解得．所以，当，时，．所以，因为的周期为2，所以当，时，，（3）由（2）作出函数的图象，则方程解的个数：就是函数的图象与直线的交点个数．若，则都是方程的解，不合题意．若，则是方程的解．要使方程恰好有20个解，在区间，上，有9个周期，每个周期有2个解，在区间，上有且仅有一个解．则解得，．若，同理可得．综上，．【点睛】本题考查了函数周期性以及解析式，方程的根与函数图象交点之间的转化问题，考查了数形结合思想，推理能力与计算能力，属于难题．题型八：定义法判断证明函数的奇偶性一、单选题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）设函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定的函数，分析其奇偶性、单调性，再比较的大小即可判断作答.【详解】函数的定义域为R，，即函数是R上的偶函数，当时，在上单调递增，而，因此，而，所以.故选：D二、多选题2．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于狄利克雷函数，则正确的是（

）A．函数的值域是；B．任意一个非零有理数都是的周期；C．函数是偶函数；D．存在三个点，使得为等边三角形.【答案】BCD【分析】根据函数解析式，可求得函数值域，判断A；根据函数解析式结合函数周期性定义可判断B;根据偶函数定义判断C;取特殊值，确定，可得为等边三角形，判断D.【详解】的值域为，故A错误；对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则也是有理数，则，若x是无理数，则也是无理数，则，任意一个非零有理数都是的周期，B正确；若x是有理数，则是有理数，则，若x是无理数，则是无理数，则，故对任意,都有，故函数是偶函数，C正确；取，则，故，则,故为等边三角形，故D正确，故选:BCD.三、填空题3．（2022·浙江绍兴·一模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则的图象的对称中心为______.【答案】【分析】求解出，利用定义法判断出其为奇函数，从而得到的图象的对称中心.【详解】因为，定义域为R，且，所以为奇函数，故的图象的对称中心为.故答案为：.四、双空题4．（2022·北京铁路二中高三期中）已知函数.①的函数图象关于__________对称；②若存在唯一，满足，则____________.【答案】

轴##

####【分析】由奇偶性定义可知为偶函数，可知图象关于轴对称；由对称性可知，由可求得结果.【详解】①定义域为，，为偶函数，图象关于轴对称；②由①知：图象关于轴对称，又存在唯一，满足，则，，解得：.故答案为：轴；.五、解答题5．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）已知函数．(1)若，解关于x的方程；(2)讨论的奇偶性，并说明理由；(3)若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数；(3)【分析】（1）由题意，代入即可求解；（2）要判断函数的奇偶性，只有检验与的关系即可；（3）根据原不等式，分离参数，构造函数求最小值，即可得实数的取值范围.【详解】（1）解：由题意，，，由可整理得：，则可得或，或；（2）解：函数定义域，①当为奇函数时，，，，；②当为偶函数时，，，，；③当时，函数为非奇非偶函数；综上，当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.（3）解：若在上恒成立，则，整理得令，由，则，又令，，所以是上的减函数所以故实数的取值范围为.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,其中常数．(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;(2)中内角所对的边分别为,且,求当时,的面积．【答案】(1)奇偶性见解析，理由见解析(2)【分析】(1)利用函数的奇偶性的定义,通过是否为0,判断函数的奇偶性即可;(2)利用已知条件求解的大小,然后求解三角形的面积即可．【详解】（1）解:由题知,①时,,,为偶函数,②时,,不是奇函数,,不是偶函数,,是非奇非偶函数;（2）由,,有余弦定理得,.7．（2022·重庆市长寿中学校高三期中）已知函数．(1)判断的单调性和奇偶性并简答说明理由；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)在定义域上单调递增且为奇函数；理由见解析(2)【分析】（1）求出函数的定义域，再判断的关系即可得出函数的奇偶性，利用作差法判断函数的单调性即可；（2）由（1）不等式对任意恒成立，即不等式恒成立，即不等式对任意恒成立，分离参数，构造新的函数，求出函数的最值即可得解.【详解】（1）解：在定义域上单调递增且为奇函数，证明：函数的定义域为，且，，因为，所以，而，所以，故在R上单调递增，，所以为奇函数，故在定义域上单调递增且为奇函数；（2）解：因为为上的奇函数，所以有，所以不等式可转化为，又因为在上单调递增，所以对任意恒成立，即，令，设，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，所以．所以，即实数的取值范围为．8．（2022·河北保定·高三阶段练习）已知函数满足.(1)讨论的奇偶性；(2)求函数在上的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）对已知等式中的用代换，得到新的等式，结合已知等式可求出，然后分和讨论函数的奇偶性，（2）由（1）知，则对恒成立，得，设函数，利用导数可求出函数的最小值.（1）因为，所以，根据以上两式可得，从而.当时，为偶函数.当时，因为，所以，，所以为非奇非偶函数.（2）由（1）知.依题意得对恒成立.当，即时，恒成立；当，即时，，得.故.设函数，则.因为，所以.①当，即时，在上恒成立，故在上单调递增，，则，即在上的最小值为1.②当，即时，因为当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，即在上的最小值为.综上，函数在上的最小值【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性的判断，第（2）问解题的关键是由题意得对恒成立，求出的范围，然后构造函数，利用导数求其最小值，考查计算能力，属于较难题.9．（2020·上海市奉贤中学高三阶段练习）若定义在上的函数满足：对于任意实数，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”，且，求和的值；（2）在（1）的条件下，定义数列（），求的值；（3）若为“类余弦型”，且对任意非零实数，总有，证明：①函数为偶函数；②设有理数满足，判断和的大小关系，并证明.【答案】（1），；（2）；（3）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）根据题设恒等式，应用特殊值法：令，或，分别求和的值；（2）由题设令，，，可得，易知是首项为，公比为的等比数列，进而可得的通项，利用对数的运算性质即可求值.（3）①根据函数奇偶性定义，令，为任意实数，即可证结论.②若，，都是自然数且，如有，，设数列满足，只需证数列是增函数，即可证结论.【详解】（1）令，，则，可得；令，，则，则；（2）令，，，则，∴，即，又，∴是首项为，公比为的等比数列，则，则，∴；（3）①由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令，为任意实数，则，即，∴是偶函数；②∵，是有理数，∴，，令为，分母得最小公倍数，并且，，，都是自然数，且，令数列满足，证明数列是增函数：，则；若，是正整数，即，令，，则，即∴，即数列单调递增，∴，又为偶函数，∴.【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，而第三问②：根据有理数的性质：令，，将问题转化为判断在上为增函数.题型九：定义法判断函数的单调性一、多选题1．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）已知的定义域为，且对任意，有，且当时，，则（

）A． B．的图象关于点中心对称C．在上不单调 D．当时，【答案】AD【分析】由赋值法与函数单调性，对称性的定义对选项逐一判断【详解】法一：取特殊函数取函数符合题意，验证A，D正确，B，C错误法二：抽象函数运算对于A，令，可得，因，所以，故A正确，对于C，令可得，设，令所以，即即在上单调递增，故C错误，对于B，令，可得，因所以，所以的图象没有关于点中心对称，故B错误，对于D，当时，令，此时，因，所以，故D正确，故选：AD二、解答题2．（2022·江苏泰州·高三期中）若函数满足，其中，且．(1)求函数的解析式；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若，在时恒成立，求的取值范围．【答案】(1)，(2)见解析，(3).【分析】（1）利用换元法，令，则，代入化简可求出函数解析式，（2）分和两种情况，利用单调性的定义判断即可，（3）由（2）可知在上递减，所将问题转化为，即，从而可求出的取值范围．【详解】（1）令，则，所以，所以，（2）当时，在上递增，当时，在上递减，理由如下：当时，任取，且，则，因为，，所以，，所以，所以，所以，即，所以在上递增，当时，任取，且，则，因为，，所以，，所以，所以，所以，即，所以在上递减，（3）当时，由（2）可知在上递减，因为在时恒成立，所以，所以，即，所以，解得或，因为，所以，即的取值范围.3．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．(1)若，判断是否具有性质，并说明理由；(2)若，且具有性质，求m的最大值；(3)若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数．【答案】(1)具有性质，理由见解析；(2)；(3)证明见解析.【详解】（1）对一切，，且由于具有性质.（2）令，则∵具有性质，∴当时，恒有，即，.（3）∵函数具有性质，∴对任意的区间，当时，都有成立.下面证明此时，恒有或恒有若存在，使得①，不妨设②当①或②式中有等号成立时，与矛盾当①②两式中等号均不成立时，的函数值从连续增大到时，必在存使得，也与矛盾，同理可证也不可能.∴对任意的区间，当时，恒有或恒有，∵对任意的，总存在，使得：，∴当时，，此时在单调递增，当时，成立，此时在上单调递减，综上可知是上的单调函数.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，关键在于理解所给定义，一般就是需要具体化新定义的内容，研究所给特例问题，一般需要化抽象为具体，具有很强的类比性，对类比推理要求较高.4．（2022·全国·高三专题练习）给定集合，为定义在D上的函数，当时，，且对任意，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定．条件①：；条件②：；条件③：．解答下列问题：（1）写出和的值；（2）写出在上的单调区间；（3）设，写出的零点个数．【答案】答案详见解析【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当时，的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意的定义域为，当时，.对于条件③，对任意，都有，以替换，则，这与矛盾，所以条件③不合题意.若选条件①，当时，，.（1）.（2）对于函数，任取，，其中，当时，，，所以在上递减.当时，，，所以在上递增.所以在区间，.同理可证得：在上递增，在上递减，.当时，，由上述分析可知，在上递增，在上递减.且.（3），由（2）的分析可画出的大致图象如下图所示，所以，当或或时，的零点个数是0；当或时，的零点个数是1；当或时，的零点个数是2．若选条件②，当时，，由得，（1）.（2）对于函数，根据上述分析可知：在上递减，在上递增，且在区间，.对于，任取，.其中.当时，，递增；当时，，递减.所以的增区间为，减区间为.且.（3），结合上述分析画出的大致图象如下图所示，所以当时，的零点个数是0；当时，的零点个数是2．【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.题型十：利用周期性求函数值一、单选题1．（2022·江西省丰城中学高三开学考试（理））已知函数是定义在上的奇函数，满足.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期，结合函数的周期以及等量关系进行转化求解即可．【详解】为定义在上的奇函数，，令，有，所以得到，故是以4为周期的周期函数．则由，故．则．函数为定义在上的奇函数，有，由，∴．故．故选：C2．（2022·福建泉州·高三期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇函数满足，推导出，得到函数的周期为4，由，结合函数的周期性和奇偶性，得到.【详解】因为为奇函数所以，又，∴，将替换为得：，即，故，所以的周期，因为，所以，则，则故选：B．3．（2022·广东汕头·高三期中）已知定义在上的函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论一定正确的是（

）A．函数的周期为 B．函数的周期为C． D．【答案】C【分析】推导出，，可推导出函数的周期，可判断AB选项的正误；利用函数的周期性和对称性可判断CD选项的正误.【详解】因为函数为奇函数，则，令，则，所以，对任意的，，故函数的图象关于点对称，因为函数为偶函数，则，令，可得，所以，对任意的，，故函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，则，所以，函数的周期为，AB都错；对任意的，，令，可得，，的值不确定，C对D错.故选：C.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.在推导周期时，解答时要注意能够根据抽象函数的性质进行代换，从而推导出函数的周期.二、多选题4．（2022·广东实验中学高三阶段练习）设函数的定义域为，且满足，当时，.则下列说法正确的是（

）A．B．当时，的取值范围为C．为奇函数D．方程仅有4个不同实数解【答案】BCD【分析】A选项，根据，推导出，所以的周期为8，得到，A错误；B选项，根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围；C选项，根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数；D选项，画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数.【详解】因为，所以，因为，故，所以，即，所以，所以，所以的周期为8，因为，所以因为，所以，因为时，，所以，故，A错误；当，，所以，当，，，所以，综上：当时，的取值范围为，B正确；因为，所以关于中心对称，故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；画出与的图象，如下：显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数解，D正确.故选：BCD三、填空题5．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）设是上的奇函数，且，当时，，则_____________．【答案】【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，利用函数的周期性和奇偶性可求得的值.【详解】由题意可得，所以，函数为周期函数，且周期为，所以，.故答案为：.6．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知是定义在R上的奇函数且对于任意的均有，若当时，，则________．【答案】【分析】根据已知条件求出的周期，再根据已知条件求出，，，的值，进而可得的值，再根据周期性计算即可求解.【详解】解：因为，所以，又是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以的周期为，当时，所以，，，在中，令可得，所以，，，所以，因为，所以.故答案为：.7．（2023·全国·高三专题练习）设的定义域为，且满足，若，则___________.【答案】2024【分析】根据所给函数的性质，可推出函数是以4为周期的周期函数，再由函数性质可得，据此即可求解.【详解】因为，所以，由，得，有，可得，有，又由，可得，可知函数的周期为4，可得，有，因为，所以由得，所以，即，所以所以.故.故答案为：20248．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）已知为数列的前n项和，数列满足，且，是定义在R上的奇函数，且满足，则______．【答案】0【分析】利用数列通项公式与前n项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出通项公式.根据和f(x)是R上奇函数可得f(x)是周期为4的函数，且f(0)＝f(2)＝0.，将用二项式定理展开，其中能被4整除的部分在计算时即可“去掉”，由此即可求出答案.【详解】，，两式相减得，，即，，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，，.是定义在R上的奇函数，且满足，令，则，又＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(－x)]＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，即是以4为周期的周期函数.其中能被4整除，.故答案为：0．【点睛】本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前n项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考察了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.【热点、重难点真题训练】一、单选题1．（2022·全国）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A2．（2022·全国）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.3．（2021·全国）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．4．（2021·全国）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.二、多选题5．（2022·全国）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法