新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第19题 圆锥曲线解答题（解析版）

圆锥曲线解答题核心考点考情统计考向预测备考策略椭圆方程，直线斜率2023·北京卷T19可以预测2024年新高考命题方向将继续以椭圆为背景展开命题．圆锥曲线大题难度较难，纵观近几年的新高考试题，主要以椭圆为背景考查斜率及面积问题、方程求解及探究问题、证明问题、范围问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。椭圆方程，证明问题2022·北京卷T19椭圆方程，范围问题2021·北京卷T201.（2023·北京卷T19）已知椭圆SKIPIF1<0的一个顶点为SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0．(1)求椭圆E的方程；(2)过点SKIPIF1<0作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当SKIPIF1<0时，求k的值．【解】（1）解：依题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0；（2）解：依题意过点SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<02.（2022·北京卷T19）．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是SKIPIF1<0的左、右顶点，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为第一象限内E上的动点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【解】（1）依题意，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0分别为椭圆上下顶点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）因为椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为第一象限SKIPIF1<0上的动点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

易得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，显然，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合，所以SKIPIF1<0.3.（2021·北京卷T20）已知椭圆SKIPIF1<0一个顶点SKIPIF1<0，以椭圆SKIPIF1<0的四个顶点为顶点的四边形面积为SKIPIF1<0．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交SKIPIF1<0交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．【解】（1）因为椭圆过SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为四个顶点围成的四边形的面积为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故椭圆的标准方程为：SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0的斜率存在，故SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：（1）设直线方程，设交点坐标为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的一元二次方程，必要时计算SKIPIF1<0；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）的形式；（5）代入韦达定理求解2.若直线SKIPIF1<0与圆雉曲线相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）则：SKIPIF1<0则：弦长SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为SKIPIF1<0），（2）利用条件找到SKIPIF1<0与过定点的曲线SKIPIF1<0的联系，得到有关SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点SKIPIF1<0，使得无论SKIPIF1<0的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等式进行变形，直至找到SKIPIF1<0，①若等式的形式为整式，则考虑将含SKIPIF1<0的式子归为一组，变形为“SKIPIF1<0”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去SKIPIF1<0变为常数.处理定值问题的思路：联立方程，用韦达定理得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）的形式，代入方程和原式化简即可.1．已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，上、下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程及离心率；(2)SKIPIF1<0是椭圆上一点，且在第一象限内，SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点．过SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0轴的直线交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，再过SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0轴的直线交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的大小．【解】（1）因为直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0（2）依题意，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0是椭圆上一点，可得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的倾斜角是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．已知椭圆SKIPIF1<0的一个顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为原点．直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0不是椭圆的顶点），SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【解】（1）由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）由题意可知直线SKIPIF1<0的斜率存在，设其方程为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0．.3．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的上、下顶点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的左、右顶点．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为第二象限内SKIPIF1<0上的动点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解】（1）由题设，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）因为椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，化简并整理得，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由韦达定理有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0

得SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0

得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设过点SKIPIF1<0且不与坐标轴垂直的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为点SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.【解】（1）由题可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0；故椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，根据题意，作图如下：由题可知，直线SKIPIF1<0的斜率存在，又过点SKIPIF1<0，故设其方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，显然其SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0两点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0都垂直于SKIPIF1<0轴，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0方程可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，也即直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在定直线SKIPIF1<0上.5．已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0分别交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面积的最大值.【解】（1）SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在椭圆上

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0.所以，椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）由已知直线SKIPIF1<0的斜率存在.设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0又中点在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0，将之代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．6．椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点.求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列.【解】（1）由题意可得c=1，e=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得a=2，b=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则椭圆C的方程为SKIPIF1<0；（2）

证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得直线MN的方程为SKIPIF1<0，代入椭圆方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，则kPM+kPN=2kPF，则直线PM，PF，PN的斜率成等差数列.7．椭圆E：SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0，且过点(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，(1)求椭圆E的标准方程和离心率，(2)椭圆右顶点A，过(0,2)的直线交椭圆E于P，Q，其中P，Q不与顶点重合，直线AP，AQ分别与SKIPIF1<0交于C，D，SKIPIF1<0与x轴交点为B，当SKIPIF1<0时，求直线PQ斜率．【解】（1）由题设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故椭圆E的标准方程SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0.（2）由题意，直线SKIPIF1<0斜率一定存在且不为0，设直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，由于P，Q不与顶点重合，则SKIPIF1<0，联立椭圆并整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0无解；综上，SKIPIF1<0.8．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0不同的两点，直线SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)求证：以SKIPIF1<0为直径的圆恒过定点．【解】（1）由题可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由题可知SKIPIF1<0，

联立SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直径的圆方程为，SKIPIF1<0，由坐标表示可猜测得顶点坐标在直线SKIPIF1<0上，猜测定点SKIPIF1<0，验证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，SKIPIF1<0因此以SKIPIF1<0为直径的圆，恒过定点SKIPIF1<0．9．已知椭圆SKIPIF1<0上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点（不与SKIPIF1<0重合），直线SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，N.当点SKIPIF1<0运动时，求证：以SKIPIF1<0为直径的圆截SKIPIF1<0轴所得的弦长为定值.【解】（1）由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，直线分别与SKIPIF1<0相交，可得SKIPIF1<0，设以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在椭圆上可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入上式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0轴上的定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为直径的圆截SKIPIF1<0轴所得的弦长SKIPIF1<0为定值.10．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是坐标原点，且由于SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0