新高考数学一轮复习 函数专项重难点突破专题09 函数的对称性(解析版)

专题09函数的对称性真题再现一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0的定义域均为R，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，联立得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，因为函数SKIPIF1<0的定义域为R，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：D二、多选题2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0及其导函数SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，故C正确；对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，由①求导，和SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，因为其定义域为R，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，从而周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误；若函数SKIPIF1<0满足题设条件，则函数SKIPIF1<0（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定SKIPIF1<0的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知SKIPIF1<0周期为2，关于SKIPIF1<0对称，故可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C正确；函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象分别关于直线SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0可导，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误；若函数SKIPIF1<0满足题设条件，则函数SKIPIF1<0（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定SKIPIF1<0的函数值，故A错误.故选：BC.三、解答题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，据此可得SKIPIF1<0，函数在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由函数的解析式可得SKIPIF1<0，函数的定义域满足SKIPIF1<0，即函数的定义域为SKIPIF1<0，定义域关于直线SKIPIF1<0对称，由题意可得SKIPIF1<0，由对称性可知SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0满足题意，故SKIPIF1<0.即存在SKIPIF1<0满足题意.考点一判断(证明)函数的对称性一、单选题1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A，SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0、坐标原点SKIPIF1<0分别成轴对称和中心对称，A正确；对于B，SKIPIF1<0为偶函数，其图象关于SKIPIF1<0轴对称，但无对称中心，B错误；对于C，SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0成中心对称，但无对称轴，C错误；对于D，SKIPIF1<0为奇函数，其图象关于坐标原点SKIPIF1<0成中心对称，但无对称轴，D错误.故选：A.2．已知角SKIPIF1<0的顶点在原点，始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，终边过点SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0图象的对称轴为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0图象的对称轴为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0图象的对称中心为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0图象的对称中心为SKIPIF1<0【解析】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的图象为中心对称图形，其对称中心为SKIPIF1<0，故选：C．3．设函数SKIPIF1<0的定义域为R，且SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0图像（

）A．关于点SKIPIF1<0中心对称 B．关于点SKIPIF1<0中心对称C．关于直线SKIPIF1<0对称 D．关于直线SKIPIF1<0对称【解析】因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0图象关于点SKIPIF1<0中心对称.故选：A.4．已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象（

）A．关于直线SKIPIF1<0对称 B．关于点SKIPIF1<0对称 C．关于直线SKIPIF1<0对称 D．关于原点对称【解析】对于A，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象不关于直线SKIPIF1<0对称，故A错误；对于B，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称．故B正确；对于C，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是偶函数，故SKIPIF1<0的图象不关于直线SKIPIF1<0对称，故C错误；对于D，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是奇函数，故SKIPIF1<0的图象不关于原点对称，故D错误；故选：B.5．已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，那么函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象之间（

）A．关于点SKIPIF1<0对称 B．关于直线SKIPIF1<0对称C．关于点SKIPIF1<0对称 D．关于直线SKIPIF1<0对称【解析】设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象上的任意一点，则SKIPIF1<0，作等量变换SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象之间关于点SKIPIF1<0对称，故选：A二、多选题6．下列函数中，哪些函数的图像关于SKIPIF1<0轴对称（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】选项A：由SKIPIF1<0知定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以该函数为偶函数，则图像关于SKIPIF1<0轴对称，所以A正确；选项B：由SKIPIF1<0知定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以该函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以B不正确；选项C：由SKIPIF1<0知定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以该函数为偶函数，则图像关于SKIPIF1<0轴对称，所以C正确；选项D：由SKIPIF1<0知定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以该函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以D不正确；故选：AC.7．已知SKIPIF1<0是定义在R上的函数，函数SKIPIF1<0图像关于y轴对称，函数SKIPIF1<0的图像关于原点对称，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立C．函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0中心对称 D．SKIPIF1<0【解析】∵函数SKIPIF1<0的图像关于y轴对称，∴函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵函数SKIPIF1<0的图像关于原点对称，∴函数SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，C选项正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B选项正确；SKIPIF1<0，D选项正确；没有条件能确定SKIPIF1<0，A选项错误.故选：BCD.8．已知函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0对称B．函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称D．函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称【解析】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0对称，故A正确；若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象上，且点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，则函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，故B正确；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，故C正确；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不恒为0；故函数SKIPIF1<0的图象不关于SKIPIF1<0对称，故D错误.故选：ABC.9．已知SKIPIF1<0是定义在R上的函数，且SKIPIF1<0，则（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称 B．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0的图象关于直线x=1对称 D．函数SKIPIF1<0是以2为周期的周期函数【解析】因为SKIPIF1<0是定义在R上的函数，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称，故A正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，故B正确，C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD.10．已知函数SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0成中心对称图形的充要条件是函数SKIPIF1<0为奇函数，函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0成轴对称图形的充要条件是函数SKIPIF1<0为偶函数，则（

）A．函数SKIPIF1<0的对称中心是SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0的对称中心是SKIPIF1<0C．函数SKIPIF1<0有对称轴D．函数SKIPIF1<0有对称轴【解析】对于A，因为函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，所以点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的对称中心，所以A正确，对于B，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是奇函数，所以点SKIPIF1<0不是函数SKIPIF1<0的对称中心，所以B错误，对于C，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0有对称轴，所以C正确，对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，所以D正确，故选：ACD三、填空题11．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象的对称中心是______.【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上奇函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为最小值的和为0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函数，图象的对称中心是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0个单位得到SKIPIF1<0，对称中心为SKIPIF1<0，再横坐标缩小为原来的一半得到SKIPIF1<0，对称中心为SKIPIF1<0，再向下平移SKIPIF1<0个单位得到SKIPIF1<0，对称中心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的对称中心是SKIPIF1<0.考点二利用对称性求函数解析式或函数值一、单选题1．已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.2．已知函数SKIPIF1<0，其中a为常数，若存在SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C．3．函数SKIPIF1<0的图像与函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，其中SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图像上，则点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选：D4．下列函数中，其图象与函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设所求函数的图象上任意一点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，由题意知点Q在SKIPIF1<0的图象上，可得SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的函数解析式为SKIPIF1<0．故选：D．5．下列函数与SKIPIF1<0的图象关于原点对称的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0关于原点对称，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C二、多选题6．已知函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，则下列一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，因为函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B正确；又因为函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D正确；可构造函数SKIPIF1<0满足题意，此时SKIPIF1<0，AC错误；故选：BD7．已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称B．SKIPIF1<0有三个零点C．点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的对称中心D．曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称【解析】对于AC选项，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0图像的对称中心坐标为SKIPIF1<0，AC均错；对于B选项，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B对；对于D选项，曲线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的曲线对应的函数解析式为SKIPIF1<0，D对.故选：BD.三、填空题8．函数SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，则SKIPIF1<0______.【解析】因为SKIPIF1<0所以该函数的对称中心为SKIPIF1<0，由已知可知该函数的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，所以有SKIPIF1<0，9．奇函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.【解析】因为函数是奇函数，所以SKIPIF1<0，因为函数关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.10．已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【解析】因为函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.11．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0___.【解析】因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.12．给出定义：设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，若方程SKIPIF1<0有实数解SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的“拐点”，经研究发现所有的三次函数SKIPIF1<0都有“拐点”，且该“拐点”也是函数SKIPIF1<0的图像的对称中心，若函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【解析】由题意因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意得对称中心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<013．若函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0___________.【解析】因为SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，14．已知SKIPIF1<0是定义在R上的函数SKIPIF1<0的对称轴，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解析式是_______．【解析】由SKIPIF1<0是定义在R上的函数SKIPIF1<0的对称轴，则SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的解析式是SKIPIF1<0．四、解答题15．函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且对任意实数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立.已知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的表达式；(2)若函数SKIPIF1<0的最大值为1，当SKIPIF1<0时，求不等式SKIPIF1<0的解集.【解析】（1）由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0对称.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故所求的表达式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数,所以SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0是以2为周期的函数.因为SKIPIF1<0,由函数SKIPIF1<0的最大值为1,知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数,可得SKIPIF1<0,所以此时满足不等式的解集为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是以2为周期的周期函数,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.16．设SKIPIF1<0同时满足条件SKIPIF1<0和对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立.（1）求SKIPIF1<0的解析式；（2）设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且在定义域内SKIPIF1<0.若函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，求SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由题意知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的图象上任意一点，它关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，依题意知点SKIPIF1<0应该在函数SKIPIF1<0的图象上，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.考点三利用对称性研究单调性一、单选题1．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0为偶函数，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】∵函数SKIPIF1<0为偶函数，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，又∵函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，在区间SKIPIF1<0上单调递减，∴函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，∴由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.2．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，若函数SKIPIF1<0为偶函数，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由函数SKIPIF1<0为偶函数，可知函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的大致图象，如下：由图可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故选：B.3．已知定义在R上的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，若函数SKIPIF1<0为偶函数，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由函数SKIPIF1<0为偶函数，知函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，作出函数的图象，如下：由图可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；所以不等式SKIPIF1<0的解集为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：C4．已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0，则使得不等式SKIPIF1<0成立的实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.5．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，满足对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得函数SKIPIF1<0图像的对称轴是直线SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以，实数a的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C．6．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0上的增函数，故函数SKIPIF1<0也为SKIPIF1<0上的增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：B.二、多选题7．已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，且图像关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．周期SKIPIF1<0C．在SKIPIF1<0单调递减 D．满足SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故A正确;由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，又图像关于SKIPIF1<0对称，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期为4，故B错误;因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又图像关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故C正确；根据周期性，SKIPIF1<0，因为关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，因为周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；结合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正确.故选:ACD.8．对于定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0是偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递减，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减【解析】令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图像关于SKIPIF1<0对称.令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图像关于直线SKIPIF1<0对称.A选项，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故A正确；B选项，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故B正确；C选项，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由图像关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0.故C错误.D选项，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，结合SKIPIF1<0图像关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.故D错误.故选：AB9．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0为偶函数 D．任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0【解析】对于A，因为函数SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，A错误；对于B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，B错误；对于C，因为SKIPIF1<0的图象向左平移一个单位即SKIPIF1<0的图象，函数SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0