新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第14~15题（原卷版）

平面向量线性运算、函数性质综合应用考点2年考题考情分析平面向量线性运算2023年天津卷第14题2022年天津卷第14题近两年高考对于平面向量的线性运算考察难度较大，主要考察平面向量基本定理以及平面向量的数量积运算，而且近两年高考对于数量积运算考察时都结合了基本不等式的内容。整体来看综合性较强，难度较大，可以预测24年高考很可能仍会结合基本不等式和数量积运算来考察。函数性质综合应用2023年天津卷第15题2022年天津卷第15题高考对于函数性质的综合考察难度较大，需要考生熟练掌握函数图像与性质，常考察分段函数，零点问题，参数范围问题，考查形式较多，并在解题过程中大多涉及数学中重要的分类讨论思想，整体综合性较强，属于填空压轴题。题型一平面向量线性运算14．（5分）（2023•天津）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示为；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．14．（5分）（2022•天津）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0为，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．一、平面向量共线定理已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线平面内一组基底SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则SKIPIF1<0（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，SKIPIF1<0；当直线AB在点O与等和线之间时，SKIPIF1<0；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.三、平面向量中的最值（范围）问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．四、极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②将两式相减可得SKIPIF1<0，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．①几何解释1（平行四边形模型）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为一组邻边构造平行四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的SKIPIF1<0”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．五.基本不等式如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．其中，SKIPIF1<0叫作SKIPIF1<0的算术平均数，SKIPIF1<0叫作SKIPIF1<0的几何平均数．即正数SKIPIF1<0的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号；基本不等式2：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），当且仅当SKIPIF1<0时取等号.注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.（1）几个重要的不等式①SKIPIF1<0②基本不等式：如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“”).特例：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0同号）.（2）其他变形：①SKIPIF1<0(沟通两和SKIPIF1<0与两平方和SKIPIF1<0的不等关系式)②SKIPIF1<0(沟通两积SKIPIF1<0与两平方和SKIPIF1<0的不等关系式)③SKIPIF1<0(沟通两积SKIPIF1<0与两和SKIPIF1<0的不等关系式)④重要不等式串：SKIPIF1<0即调和平均值SKIPIF1<0几何平均值SKIPIF1<0算数平均值SKIPIF1<0平方平均值(注意等号成立的条件).六.均值定理已知SKIPIF1<0.（1）如果SKIPIF1<0(定值)，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果SKIPIF1<0(定值)，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.1．平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．2．在平行四边形SKIPIF1<0中、SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示为；点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．3．如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．4．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设SKIPIF1<0为平面上一点，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．5．已知平行四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为；SKIPIF1<0的最小值为．6．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一个动点，则SKIPIF1<0的最大值为．7．如图所示，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一点，且SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0点，与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交两点不重合）．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．8．在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为．9．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为；若正八边形SKIPIF1<0的边长为2，SKIPIF1<0是正八边形SKIPIF1<0八条边上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为．10．在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上一动点，当SKIPIF1<0取最小值时，则SKIPIF1<0的值为．11．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若动点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为．12．已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．13．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0任作一条直线，分别交线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．14．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为；若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为．15．在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0余弦值的最小值为．题型二函数性质的综合应用16．（5分）（2023•天津）若函数SKIPIF1<0有且仅有两个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为17．（5分）（2022•天津）设SKIPIF1<0，对任意实数SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为．1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2.解决嵌套函数形如fg(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质1．函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0恰有两个不同的零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为．2．已知函数SKIPIF1<0有且仅有2个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为3．函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0恰有2个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．4．已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有三个不同的零点，则SKIPIF1<0的取值范围是．5．函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的最小者．若函数SKIPIF1<0有12个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是．6．已知函数SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有且仅有6个不同的实数根，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．7．已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的各个零点之和为若方程SKIPIF1<0恰有四个实根，则实数SKIPIF1<0的取值范围为．8．设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0内恰有3个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是．9．设SKIPIF1