人教版高中数学精讲精练必修一1.1 集合的概念及特征（精练）（含答案及解析）

1.1集合的概念及特征（精练）1．（2023·高一课时练习）下列语句中，正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·高一课时练习）设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．A．1个 B．2个C．3个 D．4个3（2023·四川绵阳）已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．方程的解集是B．方程的解集为{(-2，3)}C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2}5．（2023·安徽）若关于的方程的解集为单元素集合，则（

）A． B．C．或 D．且6．（2023春·河北）下面四个命题正确的个数是（

）.①集合中最小的数是1；②若，则；③若，则的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．37．（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．28．（2023·云南）已知集合，若，则实数的值为（

）A．-1 B．-3 C．-3或-1 D．无解9（2023·山西）已知其，则由的值构成的集合是（

）A． B． C． D．10．（2023·陕西）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}11．（2023春·河南焦作）已知集合，且，则取值构成的集合为（

）A． B． C． D．12．（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（

）A．2 B． C． D．不存在13．（2023·高一课时练习）方程组的解集可以表示为（

）A． B． C． D．14．（2023春·江苏泰州）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（

）A．0 B．1 C．－1 D．15．（2023·河南周口）（多选）下列说法中不正确的是（

）A．与表示同一个集合B．集合＝与＝表示同一个集合C．方程＝的所有解的集合可表示为D．集合不能用列举法表示16．（2023·高一单元测试）（多选）设集合，且，则x的值可以为（

）A．3 B． C．5 D．17．（2023·高一课时练习）下列语句中：（1）和表示同一集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；（3）方程的所有解组成的集合是；（4）区间是有限集，其中正确的是__________.（填入所有正确的语句序号）18．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是________________①与集合相等②方程的所有实数根组成的集合可记为③全体偶数组成的集合为④集合表示一条过原点的直线19．（2023·高一单元测试）已知集合，则集合中元素的个数是______.20．（2023·高一课时练习）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______.21．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________.22．（2023·山东）设集合，，已知且，则的取值集合为________.23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．24．（2023·海南）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.25．（2023·西藏）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______________.26．（2023·高一课时练习）用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.1．（2023春·河南·高一校联考开学考试）（多选）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．2．（2023·河北）（多选）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则3（2023·江西）设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（2023·辽宁锦州）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．55．（2023·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.(1)若A是空集，求a的范围；(2)若A是单元素集合，求a的范围：(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.6．（2023·黑龙江）已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.7．（2023·河南）已知集合满足以下条件：①；②若，则.(1)求证：集合至少有3个元素；(2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由.8．（2023·高一课时练习）已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则（1）判断是否正确，说明理由（2）证明：若则（3）证明：若则9．（2023·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：(1)A中至少有几个元素？(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.10．（2023·辽宁）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．11．（2023·北京）已知实数集，定义．(1)若，求；(2)若，求集合A；(3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．12．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，则中至少还有几个元素？（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．

1.1集合的概念及特征（精练）1．（2023·高一课时练习）下列语句中，正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】是自然数，故，（1）正确；是无理数，故，（2）错误；由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误；数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；方程的解为，可以构成集合，（5）正确；故选：A2．（2023·高一课时练习）设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】D【解析】表示实数集

，则①正确表示有理数集

，则②正确表示自然数集

，则③正确是集合的一个元素

，则④正确本题正确选项：3（2023·四川绵阳）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，即集合B的可能元素，则有：由，则，可得；由，且，可得，且；由，且，可得，且；由，且，可得；综上所述：.故选：D.4．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．方程的解集是B．方程的解集为{(-2，3)}C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2}【答案】D【解析】对于A，方程的解集是，故A错误；对于B，方程的解集为，故B错误；对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误；对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确.故选：D.5．（2023·安徽）若关于的方程的解集为单元素集合，则（

）A． B．C．或 D．且【答案】C【解析】时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件；时，原方程为一元二次方程，当判别式时，方程有一个解，此时，，解得所以当原方程的解集为单元素集合时，或，选项C正确.故选：C.6．（2023春·河北）下面四个命题正确的个数是（

）.①集合中最小的数是1；②若，则；③若，则的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当时，，但，故②错误；若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C7．（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，故，即，即a可取2，即A，B，C错误，D正确，故选：D8．（2023·云南）已知集合，若，则实数的值为（

）A．-1 B．-3 C．-3或-1 D．无解【答案】B【解析】若，可得当时，解得，此时，不满足集合的互异性，故（舍去），当，解得（舍去）或，此时，满足题意，故实数的值为-3.故选：B9（2023·山西）已知其，则由的值构成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，当，即时，，集合中有相同元素，舍去；当，即（舍）或时，，符合，故由的值构成的集合是.故选：D10．（2023·陕西）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}【答案】D【解析】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x即有且只有一个实数解,∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出p＝－3，q＝4.则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；则x－1＝0或x－1＝4，计算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故选：.11．（2023春·河南焦作）已知集合，且，则取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，且，所以或.当时，解得：或.而，不符合元素的互异性，故或.故选：B12．（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】C【解析】因为关于x的方程的解集只有一个元素，所以，解得.故选：C13．（2023·高一课时练习）方程组的解集可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，所以方程组的解集可以表示为，故选：C14．（2023春·江苏泰州）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（

）A．0 B．1 C．－1 D．【答案】C【解析】根据条件分别令，解得，又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故选：C．15．（2023·河南周口）（多选）下列说法中不正确的是（

）A．与表示同一个集合B．集合＝与＝表示同一个集合C．方程＝的所有解的集合可表示为D．集合不能用列举法表示【答案】ABC【解析】对于A中，是一个元素（数），而是一个集合，可得，所以A不正确；对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，所以B不正确；对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC.16．（2023·高一单元测试）（多选）设集合，且，则x的值可以为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】BC【解析】∵，则有：若，则，此时，不符合题意，故舍去；若，则或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；综上所述：或.故选：BC.17．（2023·高一课时练习）下列语句中：（1）和表示同一集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；（3）方程的所有解组成的集合是；（4）区间是有限集，其中正确的是__________.（填入所有正确的语句序号）【答案】（2）（3）【解析】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合；对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或；对于（3），方程的所有解组成的集合是；对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集，故答案为：（2）（3）18．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是________________①与集合相等②方程的所有实数根组成的集合可记为③全体偶数组成的集合为④集合表示一条过原点的直线【答案】④【解析】解方程化简集合，可判断①错；讨论的取值，可判断②错；用集合表示偶数集，可判断③错；根据点集的集合表示，可判断④正确.①由得或，因此与集合不相等；即①错；②当时，方程的解为，方程的所有实数根组成的集合为，不能表示为；即②错；③全体偶数组成的集合为；即③错；④集合表示直线上的所有点，即集合表示一条过原点的直线；即④正确.故答案为：④.19．（2023·高一单元测试）已知集合，则集合中元素的个数是______.【答案】5【解析】当或或时，

当，或时，或

，当，或时，或

，当，或时，或

，综上所述：，共个元素故答案为：20．（2023·高一课时练习）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______.【答案】2或4【解析】若，则，符合题意；若，则，符合题意；若，则，不符合题意.故答案为:2或4.21．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________.【答案】1【解析】因为，所以，所以，解得或，显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．故答案为：22．（2023·山东）设集合，，已知且，则的取值集合为________.【答案】【解析】因为，即，所以或，若，则或；若，即，则或.由与互异，得，故或，又，即，所以，解得且，综上所述，的取值集合为.故答案为：23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．【答案】3【解析】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.答案：324．（2023·海南）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.【答案】或【解析】由题意知：中元素，即为的解，∴或，可知：或∴当时，；当时，，∴或，故答案为：或25．（2023·西藏）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______________.【答案】【解析】要使得有意义，则，由集合，故可得，此时，故只需或，若，则集合不满足互异性，故舍去.则只能为.则.故答案为：.26．（2023·高一课时练习）用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）；（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.【解析】（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：，解得，因此该方程的解集为{（﹣，2）}.（3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.1．（2023春·河南·高一校联考开学考试）（多选）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合，由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD2．（2023·河北）（多选）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ACD【解析】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；（2）由（1）可知，故B错误；（3）由①知，，，，，即，故C正确；（4），则，由③可得，，，即，，即，；由（3）可知当，，，当，可得，，故D正确．故答案为：ACD3（2023·江西）设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】对于（1），由，得，一一对应，则对于（2），由，得，一一对应，则对于（3），由，得，一一对应，则对于（4），，但方程无解，则与不相同故选：B4．（2023·辽宁锦州）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．5【答案】ABD【解析】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，此时的解为，满足题意；②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；综上所述：或或.故选：ABD5．（2023·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.(1)若A是空集，求a的范围；(2)若A是单元素集合，求a的范围：(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)或；(3)或.【解析】（1）若A是空集，则方程无解，当时，方程有解，不符合题意；当时，，得.综上所述：.（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，当时，方程有唯一解，符合题意；当时，，得.综上所述：或.（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，当方程无解时，由（1）知，；方程有唯一实根时，由（2）知，或.综上所述：或.6．（2023·黑龙江）已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）且；（2）或【解析】（1）由于中有两个元素，∴关于的方程有两个不等的实数根，∴，且，即，且.故实数的取值范围是且（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.综上可知，实数的取值范围是或7．（2023·河南）已知集合满足以下条件：①；②若，则.(1)求证：集合至少有3个元素；(2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析【解析】（1）证明：由，得，则，则，周而复始，故由题意易得集合至少有3个元素.（2）当时，无意义，故；令，解得，即当时，，故.故属于集合的两个元素是.8．（2023·高一课时练习）已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则（1）判断是否正确，说明理由（2）证明：若则（3）证明：若则【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）正确.证明如下：由①知由②可得由③得（2）证明：由①知由题知，由②可得又，即（3）证明：，由②可得，再由③可得即，即，即当由（2）可知，当当，可得9．（2023·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：(1)A中至少有几个元素？(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.【答案】(1)3；(2)；(3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一）【解析】（1）因为，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少有3个元素.（2）因为，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少含有的元素是.（3）令，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少含有的其它元素是.10．（2023·辽宁）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．【答案】(1)，，2.(2)不是；当时，A中的元素是3，，，．(3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．【解析】（1）由题意，可知，则，，，，所以A中其他所有元素为，，2．（2）假设，则，而当时，不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．取，则，，