2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE第三章3.23.2.1A级基础巩固一、选择题1．设y＝e3，则y′等于(C)A．3e2 B．e2C．0 D．以上都不是[解析]∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．(2024·广西南宁高二检测)若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为(B)A．2x B．2C．3 D．4[解析]f′(x)＝2x，∴f(x)在x＝1处的导数为f′(1)＝2.3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(B)A．1条 B．2条C．3条 D．不确定[解析]∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．4．给出下列结论：①若y＝eq\f(1,x3)，则y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，则y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若y＝eq\f(1,x2)，则y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3，其中正确的个数是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]②y′＝eq\f(1,3\r(3,x2))；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正确的．5．下列结论正确的是(A)A．若y＝sinx，则y′＝cosxB．若y＝cosx，则y′＝sinxC．若y＝eq\f(1,x)，则y′＝eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(1,2)eq\r(x)[解析]∵B项中，y′＝－sinx；C项中，y′＝－eq\f(1,x2)；D项中，y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴选A．6．(2024·滁州民办中学检测)已知函数h(x)＝eq\f(4,\r(x))，则h′(4)等于(C)A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)[解析]因为h(x)＝eq\f(4,\r(x))＝4x－eq\f(1,2)，所以h′(x)＝4×(－eq\f(1,2))x－eq\f(3,2)，h′(4)＝4×(－eq\f(1,2))×4－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,4).故选C．二、填空题7．已知函数f(x)＝alnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3则a的值为__3__.[解析]f′(x)＝eq\f(a,x)，∵f′(1)＝a，又f′(1)＝3，∴a＝3.8．函数y＝sinπ，则y′＝__0__.[解析]y＝sinπ＝0，∴y′＝0.三、解答题9．求曲线y＝cosx在x＝eq\f(π,6)处的切线方程．[解析]∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.∴曲线y＝cosx在x＝eq\f(π,6)处的切线的斜率k＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2).又当x＝eq\f(π,6)时，y＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，故曲线在x＝eq\f(π,6)处的切线方程为y－eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,2)(x－eq\f(π,6))，即y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,12).B级素养提升一、选择题1．曲线y＝eq\f(1,3)x3在x＝1处切线的倾斜角为(C)A．1 B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,4) D．eq\f(5π,4)[解析]∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满意tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4).2．(2024·全国Ⅱ卷文，10)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(C)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C．3．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为(D)A．eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)[解析]∵y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形面积为eq\f(1,2)×|－e2|×1＝eq\f(e2,2)，故选D．4．(多选题)若f(x)＝x5，f′(x0)＝20，则x0的值可为(AB)A．eq\r(2) B．－eq\r(2)C．－2 D．2[解析]函数的导数f′(x)＝5x4，∵f′(x0)＝20，∴5xeq\o\al(4,0)＝20，得xeq\o\al(4,0)＝4，则x0＝±eq\r(2)，故选AB．5．(多选题)正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于eq\f(1,2)的点可以为(ABC)A．(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))C．(eq\f(5π,3)，－eq\f(\r(3),2))D．(eq\f(5π,6)，eq\f(\r(3),2))[解析]设斜率等于eq\f(1,2)的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝eq\f(1,2)，∴x0＝2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－eq\f(π,3)，∴y0＝eq\f(\r(3),2)或－eq\f(\r(3),2)，故选ABC．二、填空题6．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__(1,1)__.[解析]由于(ex)′＝ex，(eq\f(1,x))′＝－eq\f(1,x2)，故曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1，设P(x0，eq\f(1,x0))，曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)上点P处的切线斜率－eq\f(1,x\o\al(2,0))，若两直线垂直则有1×(－eq\f(1,x\o\al(2,0)))＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．7．在曲线y＝eq\f(4,x2)上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则曲线在点P处的切线方程为__x＋y－3＝0__.[解析]设P(x0，y0)，∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x2)))′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8xeq\o\al(－3,0)＝－1.∴x0＝2，y0＝1.∵切线的斜率k＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.三、解答题8．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[