2024-2025学年北京市房山区良乡中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市房山区良乡中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1,2,B=x∣1≤2xA.−1,0,1 B.0,1,2 C.0,1 D.1,22.下列函数值中，在区间0,+∞上不是单调函数的是(

)A.y=x B.y=x2 C.y=x+3.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点−33,A.−33 B.33 4.已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则a⋅b=A.−4 B.42 C.−5.不等式1x>1成立的一个充分不必要条件是(

)A.0<x<12 B.x>1 C.0<x<1 6.函数fx=lnA.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)7.若a=2，b=2且a−b⊥aA.π6 B.π4 C.π38.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB=AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A、B、D′三点共线，AD′=40cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是(

)

A.−1725 B.−4219.已知函数f(x)=x−4+9x+1，x∈(0,4)，当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=a|A. B.

C. D.10.若∀a,b,c∈D，ga,gb,gc可以作为一个三角形的三条边长，则称函数gx是区间D上的“稳定函数”.已知函数fx=A.2e+1e,+∞ B.2e2+11.函数f(x)=lnxx−2的定义域为

12.已知tanα−π4=2，则tanα=13.已知向量a=1,1，b=x,tx+2.若存在实数x，使得a与b的方向相反，则t14.函数fx=sin2x+π4的最小正周期为

;若函数fx在区间0,α15.已知函数fx=ax−1,x≤1①若a≠2，则函数fx的零点是0②若函数fx无最小值，则a的取值范围为0,1③若a>2，则fx在区间−∞,0上单调递减，在区间0,+∞④若关于x的方程fx=a−2恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3其中，所有正确结论的序号是

．16.已知函数fx=2co(1)求fπ(2)求函数fx在区间π217.已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，▵PAD是正三角形，CD⊥平面PAD,E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求平面EFG与平面ABCD所夹角的大小；18.某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望EX(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．19.在▵ABC中，a=6,sinA=(1)求b；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一确定，并求▵ABC的面积．条件①：∠B=2π条件②：BC边上中线的长为17条件③：sinB=注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.已知函数f(x)=ax+1e(1)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值；(2)当a≥1时，求证：f(x)≤(a−1)x+1；21.已知函数fx=(Ⅰ)求证：1是函数fx(Ⅱ)设gx是函数fx的导函数，求证：gx>−1．参考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.A

6.B

7.B

8.A

9.A

10.D

11.(0,2)∪(2,+∞)．

12.−3

13.2(答案不唯一，大于1的实数均可)

14.π

；

；

；

；

；

；π15.①④

16.(1)函数f化简可得f(x)=∴f((2)∵π2≤x≤π∴−1≤sin(2x+即2x+π6=3π2时sin(2x+π当2x+π6=13π6时sin(2x+π

17.(1)证明：因为▵PAD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD．又因为CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥CD．AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ABCD，所以PO⊥面ABCD．(2)如图，以O点为原点分别以OA､OG､OP所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系．则O0,0,0，A2,0,0，B2,4,0，C−2,4,0，D−2,0,0，G0,4,0，P0,0,2设平面EFG的法向量为m=所以{EF⇀令z=1，则m=又平面ABCD的法向量n=所以cosm所以平面EFG与平面ABCD所成角为π3

18.(1)解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字”为事件A，则PA=1C8(2)解：依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10；则PX=0PX=5PX=10所以X的分布列为：X0510P18161所以E(3)解：记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y=X−3，所以EY所以我不愿意再次参加该项抽奖活动；

19.(1)因为sinA=在△ABC中，由正弦定理asinA=又因为a=6，所以b=4．(2)选择条件①；由∠B=2π3，b=4，a=6以及余弦定理得cos选择条件②设BC边上的中线为AD，则AD=17，在△ACD中，由余弦定理得：cosC=因为cosC=13，C∈所以△ABC的面积为S=1选择条件③方法1：由题设，因为sin2A=2sinA因为sinA=3因为B∈0,π，所以sinB≠0，所以由余弦定理a2=b整理得3c2−8c−60=0，解得c=6或−因为cosA=13，A∈所以△ABC的面积为S=1方法2：由题设，因为sin2A=2sinA因为sinA=3在△ABC中，因为b<a，所以B<A，即B∈0,π2所以cosA=因为cosA=13，A∈所以sinB=所以cosB=因为A+B+C=π，所以sinC=所以△ABC的面积为S=1方法3：因为sinB=sin2A且所以B+2A=π或B=2A，因为b<a，所以B+2A=π，又因为A+B+C=π，所以A=C即a=c=6，所以△ABC为等腰三角形，设AC边上的高为BD，则AD=2，由勾股定理BD=所以△ABC的面积为S=1

20.(1)当a=1时，fx=x+1令f′(x)=0，即x=0，所以当x<0时，f′x>0，f(x)单调递增；当x>0时，f′(x)<0，因此f(x)在x=0处取得极大值，f0所以f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，单调递减区间为(0,+∞)，在x=0处取得极大值，且极大值为1；(2)要证f(x)≤(a−1)x+1，即证ax+1e因此设gx=ax+1令mx=a−ax−1−a−1因为a≥1，所以m′x因此m(x)单调递减，且m0所以x∈(−∞,0)时，m(x)>0；当x∈(0,+∞)时，m(x)<0；即x∈(−∞,0)时，g′(x)>0；当x∈(0,+∞)时，g′(x)<0；所以g(x)在x∈(−∞,0)上单调递增，在x∈(0,+∞)上单调递减，所以g(x)在x=0处取得极大值也是最大值，