2025中考数学专项复习：最值问题之瓜豆原理模型（含答案）

最值问题之瓜豆原理模型2025中考数学专项复

习

最值问题之瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在

直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型总结：

条件:主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

如图，点。为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且ZPCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？

结论：

①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；

②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；

③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

如图，P是圆。上一个动点，4为定点，连接AP,Q为AP中点.

考虑：当点P在圆。上运动时，Q点轨迹是？

分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接40,取4。中点M■，则M■点即为Q点轨迹圆圆心，半径儿@是0P一半，任

意时刻，均有4AMQ-AAOP,QM：PO=AQ-.AP=l-.2.

Q

结论:确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由4Q、P始终共线可得：A、河、。三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=\I2AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关

系分析圆心的相对位置关系;根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

结论:主动点、从动点到定点的距离之比是定量

【模型证明】

如图，P是圆。上一个动点，4为定点，连接AP,作AQ,4P且AQ=AP.

考虑：当点P在圆。上运动时，Q点轨迹是？

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得“，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下

来确定圆心与半径.考虑“，可得Q点轨迹圆圆心”满足考虑AP=AQ,可得Q点轨迹

圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆河位置，任意时刻均有△APO^^AQM.

如图，aARQ是直角三角形，/P4Q=90°且4P=2AQ,当P在圆。运动时，Q点轨迹是？

分析考忠4P，4Q,可得Q点轨证圄II心M满足AMI.AO;考虑APzAQ=2:1,可得Q点■!■心”满

足4O:4kf=2:L即可确定园Af位量,任奇时刻均有△APOsMQM,且相叔比为2.

模型总结

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.此类问题的必要条件:两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定式（NR4Q是定值）；

主动点、从动点到定点的踞高之比走定量（4PXQ是定值）.

结论：

（1）主、从动点与定点连线的关角等于两国心与定点连线的失角：NB4Q=NCMM;

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两国心到定点的距离之比：AP/Q=AChAi%也等于两国半径之

比.

按以上两点即可确定从动点轨迹BLQ与P的关系相当于族林+伸编.

古人云:种瓜得瓜，种豆得豆."种"圆得画,"种”线得线，请之"M®原理

【题型演练】

一、单领

1.如图，在矩形纸片4BCD中，Ab=2,40=3,点七是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将

△4EF沿EF所在直线翻折，得到△4ER,则4。的长的最小值是（）

A.B.3C.V13-1D.V10-1

2.如图，在Rt/\ABC中，/ABC=90°,AACB=30°,BC=2V3,△ADC与△ABC关于AC对称，点

E、F分别是边。C、BC上的任意一点，且。E=。斤，8石、。干相交于点P,则CP的最小值为（）

•••

D

A.1B.V3C.yD.2

3.如图，等腰①△ABC中，斜边AB的长为2,。为AB的中点，P为AC边上的动点，OQLOP交BC

于点Q,M为PQ的中点，当点P从点A运动到点。时,点V所经过的路线长为（

4.如图,在平面直角坐标系中，Q是直线y=-yT+2上的一个动点,将Q绕点P（1,0）顺时针旋转90°,

得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为（）

B.V5C.D,

535

二、填空题

5.如图，正方形ABC©的边长为4,E为上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接即，以

石尸为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为

6.如图，等边三角形ABC中，AB=4,高线AH=2四，。是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边

三角形也龙,当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM,则线段CM的长为

，当点。运动到点H,此时线段BE的长为.

£

7.如图，在平面内，线段AB=6,P为线段上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段

垂直相交于点P,且满足PC=上4.若点P沿方向从点人运动到点B,则点E运动的路径长

为.

8.如图，在电△ABC中，ZACB=90°,ABAC=3Q°,BC=2,线段BC绕点口旋转到RD,连ADE为

AD的中点，连接CE,则CE的最大值是.

9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,相交于点0,48=4,ADAC=60°,点尸沿线段40从点A

至点O运动，连接DF,以DF为边作等边三角形DFE,点E和点A分别位于。斤两侧，连接OE.现

给出以下结论：

①ZBDE=/EFC；②ED=EC；③直线OE_LCD；④点、E运动的路程是乐.

其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号）

10.如图，已知4。=240=8,平面内点。到点0的距离为2,连接/。,若/4?汨=60°且80=子”,

连接4B,BC,则线段8C的最小值为.

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，A（a,0）、B（b,0）,且a,b满足a2—6a+9+|fe+3|=0,C、。两点分别是沙轴正

半轴、工轴负半轴上的两个动点；

⑴如图1,若。（0,4）,求△ABC的面积；

（2）如图1,若。（0,4）,BC=5,皿=4瓦且/CBA=/CDE,求。点的坐标；

（3）如图2,若NCBA=60°,以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE,连接OE,当OE最短时，求4

E两点之间的距离.

12.如图所示，在电ZVIBC中，48=反7=2,点。是AC上一点，以BD为一边向右下方作等边△BDE,

当。由点A运动到点C时，求点E运动的路径长.

13.如图，等边三角形ABC的边长为4,点。是直线AB上一点.将线段CD绕点。顺时针旋转60°得到

线段Z2E,连结8E.

（1）若点。在边上（不与A,B重合）请依题意补全图并证明AO=BE；

（2）连接当AE的长最小时，求CD的长.

14.如图①，在A4BC中，4B=AC=3,/R4C=100°,。是的中点.

图②图③

小明对图①进行了如下探究:在线段人。上任取一点P,连接PR,将线段绕点P按逆时针方向旋

转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到ABPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，

点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点E在直线AO上时,如图②所示.

①NBEP=；②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

（2）请在图③中画出ABPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关

系，并说明理由.

（3）当点P在线段4D上运动时，求AE的最小值.

15.如图，过抛物线夕=十d一上一点A作工轴的平行线，交抛物线于另一点8,交“轴于•点CM,已知点

A的横坐标为一2.

(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；

(2)在上任取一点P,连结OP,作点。关于直线OP的对称点。；

①连结BD,求BD的最小值；

②当点。落在抛物线的对称轴上,且在®轴上方时,求直线PD的函数表达式.

16.如图所示,在等腰Rt/\ABC中，AC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中

点，当点P沿半圆从点A运动至点8时，求点河运动的路径长.

17.如图所示，点P(3,4),©P的半径为2,4(2.8,0),3(5.6,0)，点河是◎P上的动点，点。是MB的中

点，求AC的最小值.

18.如图所示，A4BO为等腰直角三角形，4(—4,0),直角顶点8在第二象限，点C在,轴上移动，以8C

为斜边向上作等腰直角△BCD,我们发现直角顶点O点随着。点的移动也在一条直线上移动,求这条

直线的函数解析式.

19.如图1,在△ABC中，乙4cB=90°,AC=2,2通，以点B为圆心，四为半径作圆.点尸为。B

上的动点，连接PC,作P'C±PC,使点P'落在直线BC的上方,且满足P'C-.PC=1：V3,连接BP,

AP'.

(1)求/R4C的度数，并证明ZVIPC〜△BPC；

(2)如图2,若点P在4b上时，连接求8P的长；

(3)点P在运动过程中，8P是否有最大值或最小值？若有，请求出当口户取得最大值或最小值时，

NPBC的度数;若没有，请说明理由.

20.如图所示，在扇形中，OA=3,NAOB=120°,点。是短上的动点，以为边作正方形

BCDE,当点、C从点、A移动至点B时，求点。经过的路径长.

21.如图所示,在矩形ABCD中，40=4,4D=2,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF的中点,

连接尸B,求P8的最小值.

22.如图,在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接BD,将AABD绕点。顺时针旋转,记旋转后的三角形

为,旋转角为a(O°<a<360,且a¥180°).

B'

(1)在旋转过程中，当H落在线段上时,求A'B的长；

(2)连接AA、A'B,当ZBAB'=90°时,求tanZA'AD；

(3)在旋转过程中，若△DAA的重心为G,则CG的最小值=.

23.在菱形ABCD中,ABAD=120°,E是对角线上的一点，连接AE.

⑴当E在AB的中垂线上时,把射线EA绕点E顺时针旋转90°后交CD于F,连接BF.如图①，若

48=4,求EF的长.

(2)在⑴的条件下,连接8斤，把ABEF绕点B顺时针旋转得到ABHR如图②,连接CH,点、N为CH

的中点，连接/N,求AN的最大值.

24.如图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABe是矩形点4。分别在宓轴和沙轴的正半轴上,

连结AC,OA=3,tan/OAC=¥，。是的中点.

O

(1)求OC的长和点。的坐标；

⑵如图2,河是线段OC上的点，O朋';等。。,点P是线段(W上的一个动点，经过P,。,口三点的抛

物线交c轴的正半轴于点瓦连结DE交AB于点、F

①将^DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上,求此时BF的长和点E的坐标；

②以线段。F为边,在。斤所在直线的右上方作等边^DFG,当动点P从点O运动到点河时，点G也

随之运动,请直接写出点G运动路径的长.

y

最值问题之瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在

直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型总结：

条件:主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

如图，点。为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？

结论：

①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；

②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；

③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

如图，P是圆。上一个动点，4为定点，连接AP,Q为AP中点.

考虑：当点P在圆。上运动时，Q点轨迹是？

分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接40,取4。中点M■，则M■点即为Q点轨迹圆圆心，半径儿@是0P一半，任

意时刻，均有4AMQ-AAOP,QM：PO=AQ-.AP=l-.2.

Q

结论:确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由4Q、P始终共线可得：A、河、。三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=\I2AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关

系分析圆心的相对位置关系;根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

结论:主动点、从动点到定点的距离之比是定量

【模型证明】

如图，P是圆。上一个动点，4为定点，连接AP,作AQ,4P且AQ=AP.

考虑：当点P在圆。上运动时，Q点轨迹是？

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得“，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下

来确定圆心与半径.考虑“，可得Q点轨迹圆圆心”满足考虑AP=AQ,可得Q点轨迹

圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆河位置，任意时刻均有△APO^^AQM.

如图，aARQ是直角三角形，/P4Q=90°且4P=2AQ,当P在圆。运动时，Q点轨迹是？

分析考忠4P，4Q,可得Q点轨证圄II心M满足AMI.AO;考虑APzAQ=2:1,可得Q点■!■心”满

足4O:4kf=2:L即可确定园Af位量,任奇时刻均有△APOsMQM,且相叔比为2.

模型总结

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.此类问题的必要条件:两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定式（NR4Q是定值）；

主动点、从动点到定点的踞高之比走定量（4PXQ是定值）.

结论：

（1）主、从动点与定点连线的关角等于两国心与定点连线的失角：NB4Q=NCMM;

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两国心到定点的距离之比：AP/Q=AChAi%也等于两国半径之

比.

按以上两点即可确定从动点轨迹BLQ与P的关系相当于族林+伸编.

古人云:种瓜得瓜，种豆得豆."种"圆得画,"种”线得线，请之"M®原理

【题型演练】

一、单领

1.如图，在矩形纸片4BCD中，Ab=2,40=3,点七是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将

△4EF沿EF所在直线翻折，得到△4ER,则4。的长的最小值是（）

A.B.3C.V13-1D.V10-1

【答案】。

【详解】以点E为圆心，AB长度为半径作圆，连接CE,当点4在线段CE上时，4。的长取最小值，如图所

示，•M

D

根据折叠可知：4E=AE=/AB=1.

在RtABCE中，BE=^AB=1,BC=3,ZB=90°,

CE=y/BE2+BC2=V10,

4。的最小值=。£—4E=〃m-L

故选D

2.如图，在Rt/\ABC中,ZABC=90°,AACB=30°,BC=2四,/\ADC与△ABC关于AC对称，点

E、F分别是边。C、BC上的任意一点，且。斤相交于点P,则CP的最小值为（）

【答案】。

【详解】解:连接AD,因为/ACB=30°,所以ABCD=60°,

因为CB=CD,所以△CBD是等边三角形，

所以BD=DC

因为DE=CF,4EDB=NFCD=60°,

所以LEDB空AFGD,所以4EBD=4FDC,

因为NFDC+ABDF=60°,

所以AEBD+NBDF=60°，所以ZBPD=120°,

所以点P在以4为圆心，AD为半径的弧BD上，

直角△ABC中，NACB=30°,BC=273，所以AB=2,AC=4,

所以4P=2

当点力，P,。在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故选D

3.如图，等腰电中，斜边AB的长为2,。为的中点，。为AC边上的动点，OQLOP交

于点Q,河为PQ的中点，当点P从点A运动到点。时，点河所经过的路线长为（）

A.0兀B.冬兀C.1D.2

42

【答案】。

【详解】连接OC,作PE_L于AB于QF_LAB于F,如图，

△ACS为等腰直角三角形，

:.AC=BC=^AB=®,/A=/B=45。，

：O为AB的中点，

OC±AB,OC平分/ACS,OC=OA=OB=1,

/.ZOCB=45°,

ZPOQ=90°,ACOA=90°,

NAOP=NCOQ,

在Rt^AOP和/\COQ中

(ZA=/OCQ

[AO=CO,

[AAOP^ACOQ

:.Rt4AOP法4COQ,

：.AP=CQ,

易得AAPE和/\BFQ都为等腰直角三角形，

:.PE=%AP=%CQ,。尸=夸BQ,

PE+QF=^(CQ+BQ)=^BC=^-xV2=l,

点为PQ的中点，

A为梯形PEFQ的中位线，

：.MH=^{PE+QF)=^,

即点初到AB的距离为。，而CO=1,

.♦.点M■的运动路线为△ABC的中位线，

当点P从点4运动到点。时，点河所经过的路线长=/AB=1,

故选C.

4.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y+2上的一个动点,将Q绕点P(l,0)顺时针旋转90°,

得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为()

【答案】B

【详解】解：作QW_Lc轴于点河，QW_Lc轴于N,

设Q(m,—■1-m+2),则PM=m—1,QM=—■+2,

•/ZPMQ=/LPNQ'=ZQPQ'=90°,

AQPM+4NPQ，=APQ'N+/.NPQ',

：.ZQPM=APQ'N,

在APQM和AQ'PN中，

\AQPM=APQ'N,

[PQ=Q'P

APQM^4Q'PN(AAS),•M

:.PN=QM=--^-m+2,Q'N=PM=m—1,

/.ON=1+PN=3-|-m,

Qf(3—1—m),

OQ'2=(3-pm)+(1—m)2=5m+10=-1-(m-2)2+5,

当馆=2时，OQ'2有最小值为5,

.•.O(7的最小值为，

故选：B.

二、填空题

5.如图，正方形ABCD的边长为4,E为上一点，且皿=1,9为A6边上的一个动点，连接即，以

EF为边向右侧作等边AEFG，连接CG,则CG的最小值为.

【答案居

【详解】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将AEFB绕点、E旋转60°,使EF与EG重合,得到^EFB=AEHG,

从而可知AEBH为等边三角形，点G在垂直于KE的直线HN上,

作CM_LHN,则CM即为CG的最小值，

作EP_LCM,可知四边形HEPM为矩形，

则CM^MP+CP^HE+^EC=l+^-=-^-.

故答案为年.

6.如图，等边三角形ABC中，AB=4,高线2g,。是线段A8上一动点，以BD为边向下作等边

三角形瓦加,当点。从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM,则线段W的长为

,当点。运动到点此时线段BE的长为.

【答案】2瓜2

【详解】解:如图，连接EC

1/l\ABC,都是等边三角形，

/.BA=BC,BD=BE,NABC=ADBE=60°,

：.AABD=ACBE,

在△ABD和△CBE中，

(BA=BC

〈NABDjCBE,

、BD=BE

：.△ABD2△CBE(SAS),

:.AD=EC,

•.•点。从点A运动到点H,

.•.点E的运动路径的长为CM=AH=2用,

当重合，而(即△跳㈤)为等边三角形,

：.BE=BH,

■：AB=4,AH=2V3,AH±BC,

BH=742-(2V3)2=2,

/.BE=2,

故答案为：2遍,2.

7.如图，在平面内，线段AB=6,P为线段上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段

垂直相交于点P,且满足PC=P4.若点P沿48方向从点人运动到点则点E运动的路径长

为.

•M

【答案】6®.

【详解】解:如图，由题意可知点。运动的路径为线段，点E运动的路径为E0,由平移的性质可知

=EE，，在Rt^ABC中，易知AB==6,4ABe=90°，,EE'=AC=V62+62=6V2,故答案为

6V2.

8.如图，在Rt/\ABC中，AACB=90°,ABAC=30°,=2,线段8。绕点口旋转到BD,连AD,E为

AD的中点,连接CE,则CE的最大值是______.

【答案】3

【详解】解：•••BC=2,线段BC绕点B旋转到,

:.BD—2,

由题意可知，。在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动,

E为AD的中点,

.•.E在以B4中点为圆心，长为半径的圆上运动,

CE的最大值即C到BA中点的距离加上—D长.

•../ACB=90°,ABAC=30°,=2,

到R4中点的距离即^48=2,

又己BD=1,

CE的最大值即yAB+-j-BL>=2+1=3.

故答案为3.

9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,口。相交于点O,AB=4,ADAC=60°,点F沿线段40从点入

至点。运动，连接。尸，以。尸为边作等边三角形OFE,点E和点人分别位于。尸两侧，连接OE.现

给出以下结论：

①ABDE=/EFC；②即=EC；③直线OELCD；④点E运动的路程是2展.

其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②③

【详解】解:①ZZMC=60°,OD=OA,

：.△04。为等边三角形，

ADOA=ADAO=NODA=60°,AD=OD,

•••△DFE为等边三角形，

NEDF=AEFD=ZDEF=60°,DF=DE,

•：ABDE+AFDO=AADF+AFDO=60°,

NBDE=AADF,

■：AADF+ZAFD+ADAF^180°,

AADF+AAFD=180°—NDAF=120°,

AEFC+NAFD+NDFE=180°,

AEFC+AAFD=180°-ADFE=120°,

NADF=AEFC,

：.NBDE=AEFC,

故结论①正确；

②如图，连接OE,

在ADAF和ADOE中，

(AD=OD

{NADF=NODE,

[DF=DF

：.△DA*△DOE(SAS),

：./。0石=/。”=60°,

4cOD=180°-AAOD=120°,

4cOE=ACOD-ZDOE=120°-60°=60°,

AZCOE=NDOE,

在△ODE和中，

(OD=OC

l/LDOE=ACOE,

[OE^OE

/XODEZ4OCE（SAS）,

ED=EC,ZOCE=NODE,

故结论②正确；

③；/ODE=NADF,

：.NADF=/OCE,即NADF=NECF,

故结论③正确；

④如图，延长OE至厅,使。&=8,连接DE，,

•/ADAF空4DOE,NDOE=60°,

.•.点F在线段4O上从点A至点O运动时，点E从点。沿线段OE，运动到E',

OE'=OD=AD=AB-tanAABD=4-tan30°=,

o

.•.点E运动的路程是冬£,

o

故结论④错误.

故答案为①②③.

10.如图，已知人。=240=8,平面内点。到点0的距离为2,连接入「,若/4?33=60°且8「=2入。,

连接AB,BC,则线段的最小值为.

【详解】解:如图所示，延长PB到。使得PB=,

•：BP=^-AP,

:.AP=PD=2PB,

又ZAPS=60°,

△APD是等边三角形，

•.•B为PD的中点，

/.AB±DP,即ZABP=90°,

/B4P=30°,

以AO为斜边在AC下方作Rt/\AMO,使得AMAO=30°,连接CM,过点M作_LAC于H,

：.COsAOAM=^-=^~,

JT.Cz/

同理可得笔=岑，

・・,ZOAM=30°=4PAB,

・・.ABAM=APAO,

胃,,AM_AB_V3

•~AO~~AP~~2~,

：./\AMB-/\AOP,

D•••

.BM_ABV3

"~OP~^P'

•.•点P到点。的距离为2,即。P=2,

.•.点B在以M为圆心，以，^为半径的圆上，

连接aw交圆w（半径为J3）于m,

当M、B、。三点共线时，即点B在点®的位置时，BC有最小值,

•/AC=2AO=8,

：.AO=4,

AM—AO,cosZ.OAM=2V3,

AH=AM-cosAMAH=3,HM=AM-sinZMAH=V3,

：.CH=5,

：.CM=JHM2+CIP=2V7,

B'C=CM-MB'=2V7—V3,

B。的最小值为2々一g,

故答案为：2，7—四.

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(b,0),且a,b满足a?—6a+9十—+3|=0,C、。两点分别是4轴正

半轴、力轴负半轴上的两个动点；

图1图2

(1)如图1,若。(0,4),求△ABC的面积；

⑵如图1,若。(0,4),BC=5,B0=AE,且NCBA=NCD£；,求。点的坐标；

⑶如图2,若NCSA=60°,以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE,连接OE,当OE最短时，求4

E两点之间的距离.

【答案】⑴△ABC的面积为12;⑵。点的坐标为(-2,0);(3)4E两点之间的距离为年

【详解】解：⑴•••a2-6a+9+|b+3|=0,

(a—3)2+|b+3|=0,

由非负性可知，仁：=:，解得：9=3

16+3=016=—3

・•・A(3,0),B(-3,0),AB=3—(-3)=6,

AOC=4,

.••5•=十人历。0=*6X4=12;

(2)由(1)知A(3,0),B(—3,0),

:.OA=OB,

・・•OCVAB,

：./AOC=/BOC=90°,

在△AOC和△BO。中，

(OA=OB

bAOC=ABOC

[oc=oc

：.A4O。卫△BOC(SAS),

・•・/CBO=/CAO,

・・・/CDA=/CDE+AADE=ABCD+ACBA,/CBA=/CDE,

：./ADE=/BCD,

在△BCD和△4DE中，

(ZBCD=ZADE

bcBD=ZDAE

[BD=AE

：.ABCDn△4DE(44S),

:・CB=AD,

・・・B(—3,0),0(0,4),

OB=3,OC=4,

：.BC=y/OB2+OC2=5,

：.AD—BC—5,

vA(3,0),

・・・D(—2,0);

(3)由⑵可知CB=CA,

vZCBA=60°,

•••△48。为等边三角形，/6。4=60°,ZDBC=120°,

・・・△CDE为等边三角形，

：.CD=CE,znce=60°,

・・・ZDCE=ADCB+/BCE,ABCA=/BCE+AECA,

・•.ADCB=AECA,

在△OB和△ECA中，

(CD=CE

1/DCB=/ECA

(CB=CA

：.ADCBn/\ECA(SAS),

・・・/DEC=/EAC=120°,

・・・ZEAC+AACB=120°+60°=180°,

：.AE//BC,

即:随着。点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动,

­.•要使得OE最短，

如图所示，当OE_LPQ时，满足。E最短,此时NOEA=90°,

ZDBC=NEAC=120°,ZCAB=60°,

ZOAE=ZEAC-ZCAB=60°,NAOE=30°,

OA—3,

：.AE=^-OA=j-,

：.当OE最短时，4,E两点之间的距离为9.

12.如图所示,在RtAABC中，AB=BC=2,点。是人。上一点，以BD为一边向右下方作等边4BDE,

当。由点/运动到点。时，求点E运动的路径长.

【答案】点E运动的路径长为20

【详解•点B为定点,

BE可以看作是BD绕点B顺时针旋转60°而来，

.•.点E运动的路径长等于点。运动的路径长，即为的长，

；AB=BC=2,90°,

AC=20

.•.点E运动的路径长为2

13.如图，等边三角形ABC的边长为4,点。是直线A8上一点.将线段CD绕点O顺时针旋转60°得到

线段0E,连结BE.

（1）若点。在AB边上（不与A,B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；

（2）连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）277

【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下:

•/ZvlBC是等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZA=ZB=60°,

由旋转的性质得：NACB=NDCE=6Q°,CD=CE,

：.NACD=4BCE,

：.AACD法△BCE（SAS）,

/.AD=BE.

（2）如图2,过点A作4F_LEB交EB延长线于点F.

•：AACD^ABCE,

：.ACBE=AA=60°,

.•.点E的运动轨迹是直线BE,

根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，

此时CD=CE=CF,

/ACB=/CBE=60°,

AC//EF,

■：AF±BE,

：.AF±AC,

在Rt^ACF中,

CF=^AC2+AF2=V42+（2V3）2=277,

:.CD=CF=25.

14.如图①，在A4BC中，4B=AC=3,/R4C=100°,。是BC的中点.

小明对图①进行了如下探究:在线段/。上任取一点P,连接PB,将线段P8绕点P按逆•时针M方向旋

转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到ABPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，

点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线AO上时,如图②所示.

①NBEP=；②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

(2)请在图③中画出ABPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关

系，并说明理由.

（3）当点P在线段4D上运动时，求AE的最小值.

【答案】（1）①50°;②EC7/AB;（2）AB//EC-,（3）AE的最小值3.

【详解】⑴①如图②中，

•/NJ3PE=80°,PB=PE,

NPEB=NPBE=50°,

②结论：ABIIEC.

理由：•••AB=4。，BD=DC,

：.AD±BC,

：.NBDE=90",

：./EBD=90°-50°=40°,

•.•AE垂直平分线段BC,

：.EB=EC,

：.ZECB=4EBC=4G,

•：AB^AC,ABAC=100°,

A/ABC=乙4cB=40°,

AZABC=NECB,

：.ABIIEC.

故答案为50,ABIIEC.

（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作。P.

AD垂直平分线段BC,

:.PB=PC,

：.NBCE=yNBPE=40°,•M

/ABC=40°,

AABIIEC.

（3）如图④中，作4H_LCE于H,

•.•点E在射线CE上运动，点P在线段上运动，

当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3.

15.如图，过抛物线夕=十4―2］上一点A作立轴的平行线，交抛物线于另一点_B,交y轴于点C,已知点

A的横坐标为一2.

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在上任取一点P,连结。尸，作点。关于直线OP的对称点。；

①连结BD,求BD的最小值；

②当点O落在抛物线的对称轴上，且在比轴上方时,求直线PD的函数表达式.

【答案】⑴立=4;73（10,5）.（2）©5V5—5.②y=—■—x+.

OO

【详解】试题分析：（1）确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；

（2）①由题意点。在以O为圆心OC为半径的圆上,推出当。、。、B共线时，的最小值=OB—OD;

②当点。在对称轴上时,在Rt^OD=OC=5,OE=4,可得DE=y/OD2-OE2=V52-42=3,求出P、。

的坐标即可解决问题.

试题解析：（1）由题意2,5）,对称轴/=----=4,

•「A、关于对称轴对称,

・•・5（10,5）.•••

⑵①如图1中，

由题意点。在以O为圆心OC为半径的圆上，

当。、。、5共线时，5。的最小值=OB—。口=后下乖一5=50一5.

当点D在对称轴上时，在AtZXODE中，OD=OC=5,OE=4,

：.DE=Von2-OS2=-52-42=3,

.•.点。的坐标为(4,3).

设PC=PD=a;,在_R"\PDK中，d=(4-re)?+22,

.'.x=^,

・•・呜，5)，

直线PD的解析式为y=~^x+孕.

oo

考点:抛物线与a;轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.

16.如图所示，在等腰放ZVIBC中，47=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中

点，当点P沿半圆从点A运动至点8时，求点河运动的路径长.

p

【答案】点河运动的路径长为兀.

【详解】解:如图所示，取AB的中点O,AC的中点E,BC的中点F,连接OC、OP、OM、OE、OF、EF,

•.•在等腰Rt/\ABC中，AC=BC=2V2,

AB=V2BC=4.

：.OC=OP=/AB=2.

为PC的中点,

:.OM±PC.

.•.ZCMO=90°.

.♦.点M■在以OC为直径的圆上，

当点P与点A重合时，点M与点、E重合：当点P与点B重合时，点M■与点F重合，易得四边形CEOF为正

方形，EF=OC=2,

.♦.点Af运动的路径为以EF为直径的半圆.

.♦.点河运动的路径长为y-27fl=7t.

17.如图所示，点P(3,4),©P的半径为2,4(2.8,0),6(5.6,0),点河是。P上的动点，点。是MB的中

点，求人。的最小值.

【答案】AC的最小值为日.

【详解】解:如图所示,连接OP交©P于点、M，,连接OM,BM',

•.•F(3,4),

由勾股定理得：OP=V32+42=5,

■：OA=AB,CM=CB,

：.AC^^-OM.

：.当O“最小时，AC最小

当M■运动到M'时，0Al最小.

此时AC的最小值为^OM'=y(OP-PM')=-1-X(5—2)=卷.

18.如图所示，△ABO为等腰直角三角形，A(—4,0),直角顶点8在第二象限，点。在y轴上移动，以8C

为斜边向上作等腰直角△BCD,我们发现直角顶点。点随着。点的移动也在一条直线上移动,求这条

直线的函数解析式.

【答案】直线的函数解析式为y=—c+2.

【详解】如图所示.当BC与劣轴平行时，过点B作BE，，轴于点E,过点。作。F，2轴于点F,交BC于

点G,

•/△ABO是等腰直角三角形，点A的坐标是(一4,0),

AO=4,

：.BC=BE=AE=EO=GF=^-OA=2,

又•••△BDC是等腰直角三角形，

：.OF=DG=BG=CG=TBC=1,DF=DG+GF=3,

.•.点。的坐标为(-1,3).

当。与原点O重合时，。在沙轴上，

此时OD=BE=2,即。(0,2),

设所求直线解析式为：V=kc+b(%W0),

将(—1,3)、(0,2)代入得

(-k+b=3,解性=一1,

U=2,解K=2,

直线的函数解析式为y--x+2.

19.如图1,在△ABC中，/ACB=90°,4。=2,8。=2燃，以点B为圆心为半径作圆.点P为。B

上的动点，连接PC,作P'C±PC,使点P,落在直线的上方,且满足P'C-.PC=1：V3,连接BP,

AP'.

（1）求/R4C的度数，并证明ZVIPC〜△BPC；

⑵如图2,若点P在43上时，连接BP,求8P的长；

（3）点P在运动过程中，8P是否有最大值或最小值？若有，请求出当口户取得最大值或最小值时，

/P8C的度数;若没有，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）BP=〃I7;（3）有.①当BP取得最大值时，/PBC=120°;②当取得最小值

时，ZFBC=60°.

【详解】（1）在R