《自动控制原理》课件第四章

第四章线性系统的根轨迹分析法

4.1根轨迹法的基本概念4.2绘制根轨迹的基本法则4.3广义根轨迹4.4利用Matlab绘制根轨迹4.5利用根轨迹分析系统性能

4.1根轨迹法的基本概念

4.1.1根轨迹的概念

为了说明根轨迹的基本概念，首先通过求解闭环特征方程的根，得到一个二阶系统的根轨迹，然后讨论一般情况。

例如，图4-1所示的二阶系统。其开环传递函数为

它有两个开环极点p1＝0，p2＝-2，没有开环零点，根轨迹增益K*＝2K。其闭环传递函数为图4-1二阶系统于是，闭环特征方程为

D(s)=s2+2s+K*=0

由求根公式容易得到该系统的闭环特征根为可见，当K*(或K)由零到无穷大变化时，闭环特征根在s平面上的位置也随之改变。当0≤K*＜1时，闭环特征根s1,2为介于0和－2之间的互异实数；当K*＝1时，s1，2为位于－1处的重实根；当K*＞1时，s1，2成为一对共轭复数根，其实部均为-1，虚部随着K*值的增大而增大。这样，可以绘出此二阶系统闭环特征根随着开环增益K的变化在s平面上移动的轨迹，如图4-2所示。图4-2二阶系统的根轨迹4.1.2根轨迹与系统性能的关系

依据根轨迹图(如图4-2所示)，就能分析系统性能随参数(如K)变化的规律。

1．稳定性

开环增益从零变到无穷大时，图4-2所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此，当K＞0时，图4-1所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则在相应K值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。

2．稳态性能

由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就等于静态误差系数Kv。当r(t)＝1(t)时，ess＝0；当r(t)＝t时，ess＝1/K=2/K*。

3．动态性能

由图4-2可见，当0＜K＜0.5时，闭环特征根为互异实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃响应为单调上升过程；当

K＝0.5时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，此时的阻尼比ζ＝1，阶跃响应仍为单调过程；当K＞0.5时，闭环特征根为一对共轭复数根，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程，且K越大，阻尼系数ζ就越小，阶跃响应的超调量越大，振荡越剧烈。4.1.3闭环零、极点与开环零、极点之间的关系

为了更好地利用根轨迹来分析系统，有必要了解闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。设反馈控制系统的方框图如图4-3所示，其闭环传递函数为

(4-1)式中，G(s)是前向通道传递函数;H(s)是反馈通道传递函数；G(s)H(s)为开环传递函数，并将它们分别表示为(4-2)图4-3反馈控制系统的方框图式中，KG为前向通道增益，K*G为前向通道根轨迹增益，它们之间有如下关系:(4-3)(4-4)式中，K*H为反馈通道的根轨迹增益。将式(4-2)和式(4-4)代入开环传递函数表示式中，则(4-5)如果开环传递函数有n个极点和m个零点，且n≥m，则有关系式mG＋mH=mnG＋nH=n把式(4-2)和式(4-5)代入式(4-1)中，则

(4-6)4.1.4根轨迹方程

由图4-3所示反馈控制系统的传递函数式(4-1)，可得到闭环特征方程式为

D(s)=1+G(s)H(s)=0

(4-7)

闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。若求开环传递函数中某个参数从零变到无穷时所有的闭环极点，显然，就要求解方程式(4-7)，因此它就是根轨迹方程，通常将其写成

G(s)H(s)＝－1

(4-8)

式中，G(s)H(s)是系统的开环传递函数。上式已明确展示出开环传递函数与闭环极点的关系。设开环传递函数有m个零点、n个极点，并假定n＞m，这时式(4-8)又可写为

(4-9)式中，K*是开环根轨迹增益；zi、pj分别为开环零、极点。不难看出式(4-9)是关于s的复数方程，等式两边幅值和相角应分别相等，即幅值条件：(4-10)相角条件：(4-11)

式中，k＝0，1，2，…。如果在复平面上某点s是闭环极点，即是根轨迹上的点，那么它必然要同时满足上述两个条件。

4.2绘制根轨迹的基本法则

法则1

根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点个数m少于开环极点个数n，则有n—m条根轨迹终止于无穷远处。

根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益K*＝0和K*→∞时的根轨迹点。将幅值条件式(4-10)改写为(4-12)

法则2

根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环极点数n相等，根轨迹连续并且对称于实轴。

根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷大时闭环极点在s平面上的变化轨迹，因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有n＞m。一般地，根轨迹分支数就等于开环极点数。

实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数，因此根轨迹必然对称于实轴。由对称性，在画根轨迹时只须画出s平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。特征方程中的某些系数是根轨迹增益K*的函数，K*从零连续变到无穷大时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。

法则3

实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右侧开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明设系统开环零、极点分布如图4-4所示，其中“×”表示开环极点，“○”表示开环零点(以后根轨迹图同样)。图中s0是实轴上的点，φi(i＝1，2，3，4)是开环零点zi到s0点矢量s0－zi的相角，θj(j＝1，2，3，4，5)是开环极点pj到s0矢量s0－pj的相角。由图4-4可见，实轴上任意一点(包括s0点)到一对共轭复数极点(或者一对共轭复数零点)的矢量之相角和为2π。因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。在图4-4中，s0点左侧的开环实数零、极点到s0点矢量之相角均为零，而s0点右侧开环实数零、极点到s0点矢量之相角均为π，故只有落在s0点右侧实轴上的开环实数零、极点才有可能对s0点的相角条件造成影响，且这些开环零、极点提供的相角均为π。那么，当s＝s0时，有

即相角条件成立，s0点位于根轨迹上。图4-4实轴上的根轨迹

一般地，设s0点之右的开环实数零点有p个、开环实数极点有q个，则s0点位于根轨迹上的充分必要条件是即上式中p＋q为奇数。于是法则3得证。根据法则3可知，在图4-4所示的实轴上，区间［p1，z1］、［z4，p4］和(－∞，p5］都是实轴上的根轨迹。

法则4

根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时，有n－m条轨迹分支沿着与实轴夹角为φa、交点为σa的一组渐近线趋向于无穷远处，且有证明渐近线就是s→∞时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式的形式，得式中

当s→∞时，上式可近似为由G(s)H(s)＝-1得或

将用泰勒级数在(1/s)→0处展开，并取近似线性项，有例4-1

单位反馈系统开环传递函数为

,试根据已知的基本法则绘制根轨迹的渐近线。

解

(1)在复平面上画出开环极点p1＝0、p2＝－1＋j、

p3＝－1－j、p4＝－4及开环零点z1＝－1，如图4-5所示。

(2)根据法则3，实轴上的根轨迹区段：［－∞，－4］和［－1，0］。

(3)根据法则4，系统有4条根轨迹分支，有n－m＝3条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线与实轴的交点及夹角分别为三条渐近线如图4-5中虚线所示。图4-5例4-1开环零、极点及渐近线图

法则5

根轨迹的分离点与分离角：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分离的点称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d是方程的解。证明由根轨迹方程式(4-9)有所以闭环特征方程为或(4-13)根轨迹在s平面相遇，说明闭环特征方程出现重根。设重根为d，根据代数方程的重根条件，有或(4-14)将式(4-14)、式(4-13)等号两端对应相除，得

这里不加证明地指出：当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由(2k＋1)π/l决定，其中k＝0，1，…，l-1。需要说明的是，分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。显然，当l＝2时，分离角必为直角。

例4-2

控制系统开环传递函数为

，试概略绘制系统根轨迹。

解将系统开环零、极点标于s平面，如图4-6所示。

根据法则2和法则4，系统有3条根轨迹分支，且有n－m＝2条根轨迹趋于无穷远处。图4-6例4-2根轨迹图绘制根轨迹的步骤如下：

(1)在复平面上画出开环极点p1＝0、p2＝－1、p3＝－4以及开环零点z1＝－2。

(2)实轴上的根轨迹：根据法则3，实轴上的根轨迹区段：［－4，－2］和［－1，0］。

(3)渐近线：根据法则4，根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角为

(4)分离点：根据法则5，计算分离点坐标，解经整理得

(d＋4)(d2＋4d＋2)＝0解得d1＝－4，d2＝－3.414，d3＝－0.586，显然，分离点位于实轴上［－1，0］区间，故取d＝－0.586，而分离角等于90°。根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图4-6所示。法则6

根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根。故可在闭环特征方程中令s＝jω，然后分别令方程的实部和虚部为零，从中求得交点的坐标值及其相应的K*值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应K*值时处于临界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据求出交点的坐标值及其相应的K*值。此处的根轨迹增益称为临界根轨迹增益。

例4-3

某单位反馈系统开环传递函数为

,试概略绘制系统根轨迹。

解绘制根轨迹的步骤如下：

(1)在复平面上画出开环极点p1＝0，p2＝－1，p3＝－5。

(2)实轴上的根轨迹：(－∞，－5］和［－1，0］。

(3)渐近线：

(4)分离点：经整理得

3d2＋12d＋5＝0解得d1＝－3.5，d2＝－0.47。分离点应位于实轴上［－1，0］区间，故取d＝－0.47，分离角等于90°。

(5)与虚轴交点：

方法一：系统闭环特征方程为

D(s)＝s3＋6s2＋5s＋K*＝0

令s＝jω，则

D(jω)＝(jω)3＋6(jω)2＋5(jω)＋K*＝－jω3－6ω2＋j5ω＋K*＝0

令实部、虚部分别为零，有

K*－6ω2＝0

5ω－ω3＝0

解得方法二：用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。列劳斯表：当K*＝30时，s1行元素全为零，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求得s＝±j为根轨迹与虚轴的交点。根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图4-7所示。图4-7例4-3根轨迹图法则7

根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角，以表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角，以

表示。

起始角、终止角的计算公式可利用相角条件得出。

例4-4

设系统开环传递函数为

,试概略绘制系统根轨迹。

解绘制根轨迹的步骤如下：

(1)在复平面上画出开环极点p1＝0、p2＝－0.5＋j1.5、p3＝－0.5－j1.5、p4＝－2.5以及开环零点z1＝－1.5、z2＝－2＋j、z3＝－2－j。

(2)实轴上的根轨迹：［－1.5，0］和(－∞，－2.5］。

(3)起始角和终止角：先求起始角。设s1是由p2出发的根轨迹分支对应于K*＝ε(ε→0)时的一点，s1到p2的距离无限小，则矢量p2s1的相角即为起始角。作各开环零、极点到s1的矢量，除p2之外，其余开环零、极点指向s1的矢量与指向p2的矢量等价，根据开环零、极点坐标可以算出各矢量的相角。由相角条件式(4-11)得参见图4-8(a)。因为p3与p2为共轭复数，所以θp3=－79°。图4-8例4-4根轨迹的起始角和终止角同理，作各开环零、极点到复数零点－2＋j的矢量，可算出复数零点－2＋j处的终止角

＝149.5°(参见图4-8(b))。作出系统的根轨迹如图4-9所示。

通过该例可得起始角、终止角的计算公式为式中，k＝0，1，2，…。图4-9例4-4根轨迹图法则8根之和：当系统开环传递函数G(s)H(s)的分子、分母阶数之差n－m≥2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。

，n－m≥2式中，λ1，λ2，…，λn为系统的闭环极点(特征根)；p1，p2，…，pn为系统的开环极点。

证明设系统开环传递函数为

式中闭环特征方程为设λj为闭环特征根(闭环极点)，则式中当n－m≥2时，dn－1与K*无关，即系统n个闭环极点之和等于n个开环极点之和，即在开环极点确定的情况下，这是一个常数。所以，随着K*的增大，若—部分闭环极点在s平面上总体上向右移动，则另一部分极点必然总体上向左移动，且左、右移动的距离增量之和为零。利用根之和法则可以确定闭环极点的位置，判定分离点所在范围。例4-5

某单位反馈系统开环传递函数为G(s)=[K＊/s(s+1)(s+2)]，试概略绘制系统根轨迹，并求临界根轨

迹增益及该增益对应的三个闭环极点。

解系统有3条根轨迹分支，且有n－m＝3条根轨迹趋于无穷远处。绘制根轨迹的步骤如下：

(1)在复平面上画出开环极点p1＝0，p2＝－1，p3＝－2。

(2)实轴上的根轨迹：(－∞，－2］和［－1，0］。

(3)渐近线：

(4)分离点：

经整理得

3d2＋6d＋2＝0

故d1＝－1.577，d2＝－0.423，分离点应位于实轴上［－1，0］区间，故取d＝-0.423，而分离角等于90°。

由于满足n－m≥2，闭环根之和为常数，当K*增大时，两支根轨迹向左移动的速度低于一支根轨迹向右移动的速度，因此分离点|d|＜0.5是合理的。

(5)与虚轴交点：系统闭环特征方程为

D(s)＝s3＋3s2＋2s＋K*＝0

令s＝jω，则

D(jω)＝(jω)3＋3(jω)2＋2(jω)＋K*＝－jω3－3ω2＋j2ω＋K*＝0令实部、虚部分别为零，有

K*－3ω2＝0

2ω－ω3＝0

解得显然，第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为λ1,2＝±－j

，对应的根轨迹增益K*＝6。因为当0＜K*＜6时系统稳定，故K*＝6为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为对应的两个闭环极点，第三个闭环极点可由法则8求得：j＋(－j

)＋λ3＝0＋(－1)＋(－2)

λ3＝－3系统根轨迹如图4-10所示。图4-10例4-5根轨迹图综上所述，在已知系统开环零、极点的情况下，利用上述各条绘制根轨迹的基本法则即可方便地绘制出系统的概略根轨迹。具体绘制某一系统根轨迹时，这八条基本法则并不一定全部用到，要根据具体情况确定应选用的法则。为了便于查阅，将这些基本法则统一归纳在表4-1中。若需得到更准确的根轨迹，还可根据相角条件采用试探法准确地确定轨迹上若干点的位置(尤其是在虚轴附近或原点附近的重要部位上)，在作相应的修改后，就能得到比较精确的根轨迹。

图4-11给出了几种常见的开环极点、零点分布及其相应的根轨迹概略图，以供读者参考。图4-11开环零、极点分布及相应的根轨迹图

4.3广义根轨迹

4.3.1参数根轨迹

以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，以区别于以开环增益K为可变参数的常规根轨迹。

绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的基本法则完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效开环传递函数的概念，则常规根轨迹的所有绘制法则均适用于参数根轨迹的绘制。为此，需要对闭环特征方程

1＋G(s)H(s)＝0

进行等效变换。假设系统除K*外的任意变化参数为A，则需要用闭环特征方程中不含有A的各项去除该方程，使原特征方程变为1＋G*(s)H*(s)＝0

式中，G*(s)H*(s)为系统的等效开环传递函数。它有如下形式：

G*(s)H*(s)＝A(P(s)/Q(s))

式中，P(s)和Q(s)为两个与A无关的首一化多项式。显然，参变量A所处的位置与常规根轨迹开环传递函数中的K*所处位置完全相同。经过上述处理后，就可以按照G*(s)H*(s)的零、极点来绘制以A为参变量的根轨迹。这一处理方法和结论，对于绘制开环零、极点变化时的根轨迹同样适用。例4-6

已知双闭环控制系统框图如图4-12所示，试绘制以a为参变量的根轨迹。图4-12双闭环控制系统方框图解系统的开环传递函数为由于a为参变量，因而不能根据G(s)H(s)的极点来绘制根轨迹。写出闭环系统特征方程:s2＋(1＋2a)s＋4＝0该方程的两边同除以s2＋s＋4，则变为等效开环传递函数为其中a*＝2a。等效开环传递函数的极点为

，零点为z1＝0，于是可利用常规根轨迹的绘制法则画出根轨迹，如图4-13所示。图4-13例4-6所示系统的根轨迹另外，在某些场合需要研究几个参量同时变化时对系统性能的影响，此时就需要绘制几个参量同时变化时的根轨迹。以两个参量同时变化为例，在绘制根轨迹时，一般是先将其中一个参量在0→∞内取一组常数，然后针对每一个常数绘制以另一个参量为变量的根轨迹，最终得到一组曲线，称为根轨迹簇。4.3.2零度根轨迹

如果系统的根轨迹方程的右侧不是“－1”而是“+1”，这时根轨迹方程的幅值方程不变，而相角方程右侧不再是180°＋2kπ，而是0°＋2kπ，因此这种根轨迹称为零度(0°)根轨迹。

一般来说，零度根轨迹的来源有两个方面：一是系统中包含s最高次幂的系数为负的因子；二是控制系统中包含有正反馈内回路。前者是由被控对象，如飞机、导弹等自身特性所产生的，或者是在系统结构图变换过程中产生的；后者是由于某种性能指标要求，使得在复杂的控制系统设计中必须包含正反馈内回路所致。零度根轨迹的绘制法则与常规根轨迹绘制的基本法则略有不同。以正反馈系统为例，设某个复杂控制系统如图4-14所示，其中内回路采用正反馈，这种系统通常由外回路加以稳定。

为了分析整个控制系统的性能，首先要确定内回路的零、极点。当用根轨迹法确定内回路的零、极点时，就相当于绘制正反馈系统的根轨迹。在图4-14中，正反馈内回路的闭环传递函数为

图4-14复杂控制系统可得到正反馈系统的根轨迹方程为

G(s)H(s)＝1

即

幅值条件:相角条件:修改和调整后的法则如下：法则3*

实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右侧开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。

法则4*

根轨迹的n－m条渐近线与实轴的夹角和交点为法则7*根轨迹的起始角和终止角：起始角终止角除上述三个法则外，其他法则不变。为了便于使用，表4-2列出了绘制0°根轨迹的基本法则。例4-7

设正反馈系统结构图如图4-14中的内回路所示，其中试绘制该系统的根轨迹图。解系统为正反馈，根轨迹方程为应绘制0°根轨迹。绘制根轨迹的步骤如下：

(1)在复平面上画出开环极点p1＝－1＋j、p2＝－1－j、p3＝－3以及开环零点z1＝－2。

(2)实轴上的根轨迹：(－∞，－3］和［－2，∞)。

(3)渐近线：(4)分离点：经整理得

(d＋0.8)(d2＋4.7d＋6.24)＝0

显然，分离点位于实轴上，故取d＝－0.8，而分离角等于90°。

(5)起始角：根据绘制0°根轨迹的法则7*，对应复数极点p1的根轨迹的起始角为

根据对称性，对应复数极点p2的根轨迹的起始角为

。系统的概略0°根轨迹如图4-15所示。图4-15例4-7根轨迹图

(6)临界开环增益：由图4-15可见，坐标原点对应的根轨迹增益为临界值，可由幅值条件求得由于K＝K*/3，于是临界开环增益Kc＝1，因此为了使该正反馈系统稳定，开环增益应小于1。例4-8

飞机纵向控制系统结构图如图4-16(a)所示，设开环传递函数为试绘出飞机纵向运动的根轨迹图。图4-16例4-8图解系统的闭环特征方程为可见，虽然系统是负反馈的，但因传递函数分子多项式中s最高次幂系数为负，从而使系统具有正反馈性质。根轨迹方程为可见，应该画0°根轨迹。绘制根轨迹的步骤如下：

(1)在复平面上画出开环极点p1=0、p2=－1.5＋j3.357、p3＝－1.5－j3.357以及开环零点z1＝－2.5、z2＝0.5。

(2)实轴上的根轨迹：［－2.5，0］和［0.5，∞)

(3)分离点与分离角：经整理得显然，分离点位于实轴上［0.5，∞)区间，故取d＝2.7，而分离角等于90°。

(4)与虚轴交点：系统特征方程为

D(s)=s3+(3－K)s2+(15－2K)s+1.25K=0令联立解出根轨迹与虚轴交点为(0，±j3.112)。

(5)起始角：根据绘制0°根轨迹的法则7*，对应复数极点p2的根轨迹的起始角为根据对称性，对应复数极点p3的根轨迹的起始角为θp3＝9.18°。系统的概略0°根轨迹如图4-16(b)所示。

4.4利用Matlab绘制根轨迹

利用Matlab绘制根轨迹非常简单，但需要将闭环特征方程写成如下形式:

1+K[(P(s)/Q(s)]=0

Matlab提供了rlocus()函数来绘制给定系统的根轨迹，该函数的调用格式为

rlocus(sys)

式中，sys为多项式P(s)/Q(s)的Matlab模型。利用该命令可以在图形窗口中绘制系统的根轨迹图，增益矢量K自动确定。若要得到更加精确的根轨迹曲线，可自行定义增益矢量K的取值范围及步长，使其步长尽可能地小，此时该函数的调用格式为rlocus(sys，K)。

若要在同一个图上绘制出多个系统的根轨迹，该调用格式为rlocus(sys1，sys2，…)。还可以通过指定颜色、线型和标志来区分各系统的根轨迹，例如rlocus(sys1，′r′，sys2，′y:′，sys3，′gx′)。采用函数rIocus(sys)也可以绘制系统根轨迹的渐近线。

设系统开环传递函数的极点为pi(i＝1，2，…，n)，零点为zj(j＝1，2，…，m)，则根据绘制根轨迹的基本规则可求得系统根轨迹渐近线与实轴的交点。构造多项式，输入Matlab命令rlocus(G)，即可绘制出系统根轨迹的渐近线。

在Matlab中，还提供了一个rlocfind()函数，该函数用来求根轨迹上指定点处的增益值K，并显示该增益下系统所有的闭环极点。rlocfind()函数的调用格式为

(1)［K，poles］＝rlocfind(sys)

在Matlab命令窗口运行该函数后，在根轨迹图形窗口上出现要求用户使用鼠标定位的提示，用户用鼠标左键点击所关注的根轨迹图上的点后，函数将返回一个K变量表示与所选点对应的增益值，并同时返回一个poles矢量表示在该增益下所有闭环极点的位置。另外,该函数还会自动地将该增益下所有的闭环极点直接在根轨迹曲线上标注出来。

(2)［K，poles］＝rlocfind(sys，p)

在Matlab命令窗口运行该函数后，函数将返回一个K变量表示与所选根轨迹图上点对应的增益值，并同时返回一个poles变量表示在该增益下所有闭环极点的位置。

例4-9

已知负反馈系统的开环传递函数G(s)=[K/s(s+1

)(0.5s+1)]，绘制闭环系统的根轨迹及其渐近线，并求取根轨迹与虚轴的交点。

解闭环特征方程为由多项式[1/s(s+1)(0.5s+1)]知，三条根轨迹都趋向于无穷远处，这三条趋向无穷远的根轨迹的渐近线与实轴的交点σa＝(0－1－2)/3＝－1。输入以下Matlab命令，绘制根轨迹的渐近线如图4-17中虚线所示。

>>num1=1；den1=conv(conv([1，1]，[1，1])，[1，1])；sys1=tf(num1，den1)；

>>rlocus(sys1，′r--′)图4-17例4-9图输入以下Matlab命令，在上述根轨迹图上绘制系统的根轨迹曲线，如图4-17中实线所示。

>>num2=1；den2=conv(conv([1，0]，[1，1])，[0.5，1])；sys2=tf(num2，den2)；

>>holdon；

>>rlocus(sys2，′b′)

>>axis([-3.5，1.5，-3，3])

说明：holdon语句的作用是使系统根轨迹曲线与根轨迹渐近线绘于同一图形上；axis([Xmin，Xmax，Ymin，Ymax])函数的作用是为图形设定坐标范围。

使用rlocfind()函数确定根轨迹曲线与虚轴交点处的增益值及其对应的闭环极点(如图4-17中“+”所示)。

>>[K，poles]=rlocfind(sys2)

Selectapointinthegraphicswindow

selected_point=

-0.0000+1.4092i

K=

2.9786

poles=

-2.9961

-0.0020+1.4101i

-0.0020-1.4101i

从运行结果可以看出，根轨迹曲线与虚轴交点处的增益值K=2.9786，对应的闭环极点为-2.9961和-0.0020±j1.4101。例4-10

已知正反馈系统的开环传递函数

，绘制闭环系统的根轨迹及其渐近线，并求取根轨迹与虚轴的交点。

解闭环特征方程为由多项式知，根轨迹有三条渐近线，这三条渐近线与实轴的交点σa＝[(－3－3－1＋j1－1－j1)－(－2)]/(4－1)＝-2。输入以下Matlab命令，绘制根轨迹的渐近线如图4-18中虚线所示。

>>num1=-1；den1=conv(conv([1，2]，[1，2])，[1，2])；sys1=tf(num1，den1)；

>>rlocus(sys1，′r--′)图4-18例4-10图输入以下Matlab命令，在上述根轨迹图上绘制系统根轨迹，如图4-18中实线所示。

>>num2=[-1,-2]；den2=conv(conv([1,3]，[1,3])，[1,2,2])；

>>sys2=tf(num2，den2)；

>>holdon；rlocus(sys2，′b′)

使用rlocfind()函数确定根轨迹曲线与虚轴交点处的增益值及其对应的闭环极点(如图4-18中“+”所示)。

>>[K，poles]=rlocfind(sys2)

Selectapointinthegraphicswindow

selected_point=

0+1.7764e-015i

K=

9.0000

poles=

0

-3.1378+1.5273i

-3.1378-1.5273i

-1.7243

可见，根轨迹曲线与虚轴交点处的增益值K=9，对应的闭环极点为0、－3.1378±j1.5273和－1.7243。

若需要在根轨迹图上画等ζ线和等ωn圆，则可以用sgrid命令。例4-11

已知负反馈系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹，确定阻尼比ζ为0.5的闭环极点，并求该点上的增益值K。

解闭环特征方程为输入以下Matlab命令，绘制系统根轨迹和ζ＝0.5直线如图4-19所示。

>>num=1；den=conv([1，0]，[1，4，5])；

>>sys=tf(num，den)；

>>rlocus(sys，[0：0.001：100])

>>sgrid(0.5，[])使用rlocfind()函数确定根轨迹曲线与ζ＝0.5直线的交点处的增益值及其对应的闭环极点(如图4-19中“+”所示)。

>>[K，poles]=rlocfind(sys)

Selectapointinthegraphicswindow

selected_point=

-0.6250+1.0825i

K=

4.2969

poles=

-2.7500

-0.6250+1.0825i

-0.6250-1.0825i

可见，根轨迹曲线与ζ＝0.5直线交点处的增益值K＝4.2969，对应的闭环极点为－0.6250±j1.0825和－2.75。

图4-19例4-11图

4.5利用根轨迹分析系统性能

利用根轨迹可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递函数。

本节将讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响。

4.5.1闭环零、极点的分布对系统动态响应的影响

利用根轨迹得到闭环零、极点在s平面上的分布情况，就可以写出系统的闭环传递函数，进行系统性能的分析。下面以系统的单位阶跃响应为例，考察闭环零、极点的分布对系统性能影响的一般规律。

设n阶系统的闭环传递函数为

式中，zj、λi和K*Φ分别为系统的闭环零点、极点和根轨迹增益。单位阶跃输入作用下系统输出的像函数为设闭环系统无重根，对上式进行部分分式展开，有即A0、Ai取决于系统闭环零、极点的分布。经拉普拉斯反变换，可求出系统的单位阶跃响应为4.5.2利用闭环主导极点估算系统的动态性能指标

如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，那么就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似地估算系统性能指标。

例4-12

系统闭环传递函数为试近似计算系统的动态性能指标σ%和ts。解该系统有三个闭环极点：s1＝－1.4925，s2，3＝－4±j9.1652，其零、极点分布如图4-20所示。极点s1离虚轴最近，所以系统的主导极点为实数极点s1，而极点s2，3可忽略不计，这时可将系统近似看成一阶系统，则

时间常数T＝0.67s。由一阶系统时域分析可知，系统超调量σ%＝0，调节时间ts＝3T＝2

s。图4-20例4-12闭环零极点分布图例4-13

系统闭环传递函数为试近似计算系统的动态性能指标σ%和ts。解该系统有三个闭环极点：s1＝－1.4925，s2，3＝－4±j9.1652；有一个闭环零点：z1＝－1.6949。其零、极点分布如图4-21所示。极点s1与零点z1构成偶极子，故主导极点不是s1，而是s2，3，则系统可近似为二阶系统，有系统的阻尼比ζ＝0.4，无阻尼自然振荡角频率ωn＝30rad/s。由二阶系统时域分析可知，σ%＝25%，ts＝(3.5/ζωn)＝0.88s。图4-21例4-13闭环零极点分布图例4-14

系统开环传递函数为用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比ζ＝0.5时的动态性能指标σ%和ts。解

(1)绘制根轨迹图:①起点：p1＝0，p2＝－1，p3＝－2；终点：均趋于无穷远。②实轴上的根轨迹区段：[0，－1]和[－2，-∞)。③渐近线与实轴的夹角与交点：④分离点坐标：解得d1＝－0.4226，d2＝－1.5774。舍去d2。⑤与虚轴的交点坐标：令s＝jω代入系统特征方程，得

D(jω)=(jω)3+3(jω)2+2(jω)+K*=0即图4-22例4-14根轨迹图

(2)分析系统稳定性。当系统开环增益K≥3时，根轨迹有两个分支进入右半s平面，系统不稳定，所以使系统稳定的开环增益范围是0＜K＜3。

(3)根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点s1，2的位置。首先，在s平面上画出ζ＝0.5时的等阻尼线，使其与实轴负方向的夹角β＝cos－1ζ＝cos－10.5＝60°，等阻尼线与根轨迹相交点的坐标设为s1，则从根轨迹图上可得s1＝

－0.33＋j0.58，与s1共轭的极点s2＝－0.33－j0.58。

利用幅值条件方程可求s1点对应的开环增益K。因为

K*=|s1||s1+1||s1+2|=0.667×0.886×1.77=1.04

故K＝0.525。根据根之和法则(法则8)确定第三个极点的位置s3：

s3＝[p1＋p2＋p3]－[s1＋s2]

＝[0＋(－1)＋(－2)]－[(－0.33＋j0.58)＋(-0.33－j0.58)]

＝－2.34

s3与虚轴的距离是s1，2离虚轴距离的7倍，可认为s1，2是主导极点。

这样，可根据闭环主导极点s1，2来估算系统的性能指标。闭环系统近似为二阶系统系统的阻尼比ζ＝0.5，无阻尼自然振荡角频率ωn＝0.667rad/s。系统的动态性能指标为σ%＝16.3%，ts＝10.5s。4.5.3系统的稳态性能分析

对于典型输入信号，系统的稳态误差与开环增益K和系统的型别v有关。在根轨迹图上，位于原点处的根轨迹起点数就对应于系统的型别v，而根轨迹增益K*与开环增益K仅相差一个比例常数。具体说明如下：式中4.5.4附加开环零、极点的作用

1.附加开环极点的影响

设反馈控制系统开环传递函数为式中，p3为附加的开环实数极点，其值可在s左半平面内任意选择。令p3为不同数值，对应于式(4-17)的闭环系统根轨迹如图4-23所示。从图4-23中可以看出，增加一个开环极点使系统的根轨迹向右偏移，这样就降低了系统的稳定度，不利于改善系统的动态性能，而且开环负实极点离虚轴越近，这种作用