25.2 用列举法求概率 初中数学人教版九年级上册教案

教学设计课程类型新授课课程名称用列举法求概率编号姓名教材信息人教版九年级上册第二十五章第二节第一课时教学教学设计内容课标分析“用列举法求概率”选自人教版九年级上册第二十五章第二节，属于统计与概率板块的内容。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：能通过列表、树状图等方法列出随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》，在学业方面，明确指出：能用列表、树状图等方法求出简单随机事件所有可能的结果以及指定随机事件发生的所有可能结果，能计算简单随机事件的概率。在教学方面，明确指出：随机事件的教学，要从小学阶段的定性描述逐渐走向初中阶段的定量分析，应当通过简单易行的情境，引导学生感悟随机事件，理解概率是对随机事件发生可能性大小的度量；引导学生认识一类简单的随机事件，其所有可能发生结果的个数是有限的，每个可能结果发生的概率是相等的，再次基础上了解简单随机概率的计算方法。教材分析“用列举法求概率”选自第二十五章概率初步第二节用列举法求概率。这一节主要讲述列表、树状图法求随机事件的概率。本节课是用列举法求概率的第一课时，主要讲授用列表法求随机事件的概率。在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。当每次试验涉及两个因素时，为了更清晰、不重不漏地列举出试验的所有结果，教科书给出了以表格形式呈现的列举法（列表法）。这种方法适合列举每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多的情形。相对于直接列举，用表格列举体现了分步分析对思考较复杂问题时所起到的作用。将试验涉及的一个因素所有可能的结果写在表头的横行中，另一个因素所有可能的结果写在表头的竖列中，就形成了不重不漏地列举出这两个因素所有可能结果的表格。这种分步分析问题的方法，将在下节课树状图法和高中分步乘法计数原理的学习中进一步运用。另外，通过求概率，学生将进一步体会概率的意义，逐步培养随机观念。学情分析学生已经理解了列举法求概率的含义，但对于涉及两个因素的试验，如何正确列举出试验所有可能的结果，怎样才能做到不重不漏地列举，如何设计出一种办法解决这个较复杂问题，“分步”分析起到了重要作用.学生容易出现的问题是，没有真正理解列表法的含义，虽然能够通过模仿解决一些简单问题，但是无法灵活地使用列表法解决问题.教学目标教学目标达成标志核心素养用列举法（列表法）求简单随机事件的概率，进一步培养随机观念，感悟数学应用的普遍性。学生清晰地知道，对于结果种数有限且每种结果等可能的随机试验中的事件，可以用列举法求概率；当每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多时，相对于直接列举，采用表格的方式更有利于将试验的所有结果不重不漏地列举出来。学生能够利用列表法正确计算简单随机事件的概率，结合具体问题进一步体会概率是如何定量地刻画随机事件发生可能性大小的。数据观念感受分步分析对思考较复杂问题时起到的作用。培养重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神。学生探索、归纳列表法的过程中，学生在问题的引导下思考如何才能将涉及两个因素试验的所有可能的结果不重不漏地列举出来，体会“分步”策略对解决复杂问题所起到的重要作用。模型观念教学重难点重点：用列表法求简单随机事件的概率。强化措施：通过可能结果少的例1帮助学生初步感悟运用列表法求概率，通过例2引导学生学会运用列表法求概率。难点：列表法的运用。突破措施：通过例1的事件来引导学生初步感知列表法，再回归到教材通过例2，正式地学习列表法，循序渐进的帮助学生突破本节难点。教法与学法教法：探究-引导-交流-发现学法：探究式发现法教学过程情景导入我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率大小的问题.师生活动：教师引导学生回顾概率的求法。师生小结：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.【设计意图】复习概率的意义，点明列举法，为探究列表法作铺垫。探究新知知识点一探究、归纳列表法例1．同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：(1)两枚硬币全部正面向上；(2)两枚硬币全部反面向上；(3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上。师生活动：学生思考、交流.有些学生认为上述三个事件恰好代表了抛掷两枚硬币的所有可能的结果，故概率均为；有些学生不赞同，认为出现结果“正反”与“反正”应分别算作两种可能的结果，此外还有“正正”和“反反”两种可能的结果，故上述事件的概率分别为，和。强调，使用列举法求概率的关键，是列举出试验中各种可能的结果，并且确保每种结果出现的可能性大小相等。【设计意图】突出用列举法求概率的使用条件，即“结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等”。问题1对于抛掷两枚硬币的问题，如何才能不重不漏地列举出试验所有可能的结果，并且保证各种结果出现的可能性大小相等？师生活动：教师引导学生设计多种方法列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果.学生容易想到的方法是：将两枚硬币分别记做A,B,于是可以直接列举得到(A正、B正)、(A反、B正)、(A正、B反)、(A反、B反)四种等可能的结果，从而求得概率。【设计意图】鼓励学生思考、分析，列举出抛掷两枚硬币所产生的全部结果.追问1：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？师生活动：师生讨论，就例1的三个问题而言，“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”可以取同样的试验的所有可能结果。因此可以将同时掷两枚硬币，想象为先掷一枚，再掷一枚，分步思考：在第一枚为正面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况；同理，第一枚为反面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况.所有的结果共有4个，并且这4个结果的可能性相等教师指出：与“掷一枚硬币”不同，“掷两枚硬币”的结果涉及两个因素（第一枚硬币与第二枚硬币），可以采用“分步”的策略对两个因素逐一进行分析。【设计意图】用问题提示学生：当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析。追问2：能否设计出一种方式，将“分步”分析的所有结果更清晰地列举出来？师生活动：师生交流，可以设计出如下表格，将“分步”思考的结果表示出来，从而列举出所有等可能的结果。第二枚第一枚正反正正正反正反正反反反追问3：在设计表格时，表头的横行、竖列分别表示什么？每个格表示什么？师生活动：设计表格时，表头的横行表示掷第一枚硬币所有可能的结果，竖列表示掷第二枚硬币所有可能的结果，表格中的每个格表示掷两枚硬币的一种可能结果.可以清晰地看到，所有结果共有4个，并且这4个结果出现的可能性相等.教师点明列表法。【设计意图】用问题启发思考，让学生感受到“分步”分析对思考较复杂问题时起到的作用.学生探索、归纳得出列表法，感受到用表格更有利于不重不漏地列举出所有可能的结果，更有说服力.知识二运用列表法求概率例2同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1)两枚骰子的点数相同；(2)两枚骰子的点数和是9；(3)至少有一枚骰子的点数为2.问题2例2的试验涉及几个因素？能否直接列举出试验所有可能的结果师生活动：师生分析得出，与例1类似，例2的试验也涉及两个因素（第一枚骰子和第二枚骰子)，但这里每个因素的取值个数要比例1多（抛一枚硬币有2种可能的结果，但掷一枚骰子有6种可能的结果)，因此试验的结果数也就相应要多很多.因此，直接列举会比较繁杂，可以使用列表法.列表法适合列举每次试验涉及两个因素，并且每个因素的取值个数较多的情形.【设计意图】分析列表法在解决如例2的问题时的优势。追问1：如何列表？师生活动：学生分析，因为试验涉及两个因素（两枚骰子），可以分两步进行思考，将第1枚骰子的所有可能结果作为表头的横行，将第2枚骰子的所有可能结果作为表头的竖列，列出如下表格：1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）(2，3)（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）上述表格不重不漏地列举出了掷两枚骰子所有可能的结果，可以看出，可能的结果共有36个，并且它们发生的可能性相等【设计意图】明确列表法.追问2：如何计算上述三个事件的概率？师生活动：学生回答，根据用列举法求概率的方法，已经通过列表知道试验共有36种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，还需弄清各事件包含其中的多少种可能结果.从表格中可以看出：“两枚骰子的点数相同”（记为事件A)的结果有6个，所以P(A)=;“两枚骰子的点数和是9”（记为事件B)的结果有4个，所以P(B)=；“至少有一枚骰子的点数为2”（记为事件C)的结果有11个，所以P(C)=.【设计意图】巩固用列举法求概率。追问3：如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变化吗？师生活动：学生分析回答，就例2中的三个问题而言，“同时掷两个骰子”与“把一个骰子掷两次”可以取同样的试验的所有可能结果，因此作此改动对所得结果没有影响.教师小结，当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析.【设计意图】巩固“分步”分析问题的意识.（三）巩固新知练习1.一个不透明的布袋子里装有完全相同的四个乒乓球，上面分别标有数字1,2,3,4.小林和小华按照以下方式抽取乒乓球：先从布袋中随机抽取一个乒乓球，记下标号后放回袋内搅匀，再从布袋内随机抽取第二个乒乓球，记下标号.若两次取的乒乓球标号之和为4，小林赢；若标号之和为5，小华赢.请判断这个游戏是否公平，并说明理由.师生活动：师生分析，这是一个随机试验，要判断游戏是否公平，需考察“标号之和为4”(记为事件A)的概率与“标号之和为5”（记为事件B)的概率是否相同.学生列表、计算得出，，所以这个游戏不公平，小华获胜的可