数学课堂导学：平面向量的坐标

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。向量的坐标运算【例1】已知A（1，-2)、B（2，1)、C(3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示++.思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量、、、、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式++=m+n，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出系数m、n。解：=（1,3），=(2，4)，=（-3,5），=（-4，2），=（-5，1)，∴++=（-3，5）+（-4,2）+（-5，1）=(—12，8）。根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得++=m+n,∴（—12，8)=m（1，3）+n（2，4).也就是(—12，8)=（m+2n，3m+4n）。可得。∴++=32-22。各个击破类题演练1已知向量a=（3，—2),b=(—2，1）,c=（7,—4)，试用a和b来表示c。解:设c=ma+nb。即(7，-4）=m（3,—2）+n(—2，1)=(3m-2n，—2m+n)，于是有所以c=a—2b。变式提升1已知A（1，—2），B（2，1），C（3，2)和D（-2，3)，以、为一组基底来表示.解析：=（1,3），=（2，4)，=（-3，5）.设=m+n,即（-3，5)=m（1，3)+n（2，4)=(m+2n,3m+4n)于是有∴=11-7.2.共线向量的坐标表示【例2】已知点A、B的坐标分别为（2,-2)、（4，3），向量p的坐标为（2k-1，7）,且p∥，则k的值是()A.B.C。D.思路分析：欲求k的值，只需建立k的方程,由共线向量定理的坐标表示，利用p∥，得到k的方程，然后求解。解：∵A(2,—2），B(4，3),∴=（2，5）。又p∥，∴14—5(2k—1）=0,即k=。答案：B友情提示一般求字母的值时，往往将条件化为关于该字母的方程，然后通过解方程求得字母的值，所以解决这类问题的关键是从题目中找出等量关系。类题演练2已知四边形ABCD是平行四边形，其顶点A、B、C的坐标分别是A（-2,1)、B（-1,3）、C（3,4），求D点的坐标。解析：设D点坐标为（x，y）,由题意可知,=（1，2），=（3—x，4—y）。∵四边形为平行四边形，∴=,即∴D的坐标为（2，2）变式提升2已知：A（—2,—3），B（2，1），C（1，4)，D（—7，-4），判断与是否共线？解析：=(2，1）—（—2，—3）=（4，4）,=（-7，—4）-（1,4）=（—8，—8）。∵4×（-8）-4×(—8)=0，∴∥。即与共线，或=—2.∥.∴与共线。3.向量坐标形式的灵活应用【例3】用坐标法证明++=0。思路分析：本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算.解:设A(a1，a2），B（b1,b2）,C(c1,c2),则=（b1—a1,b2-a2),=（c1-b1,c2-b2),=（a1-c1，a2—c2)，∴++=(b1—a1，b2—a2）+(c1—b1，c2—b2)+（a1—c1,a2-c2)=（b1-a1+c1—b1+a1—c1,b2—a2+c2—b2+a2—c2）=(0，0)=0。∴++=0.友情提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无需考虑三个点A、B、C是否共线。同时,对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：=0.类题演练3已知平面内三个点A（1，—2)，B（7，0），C（—5，6），求,，+,2+。解析：∵A（1，—2），B(7,0)，C（—5，6)，∴=(7—1,0+2）=(6，2）,=(—5-1,6+2）=(-6，8），+=（6—6，2+8)=（0,10),2+=2(6，2）+(—6,8)=（12，4）+（—3,4）=(9，8）。变式提升3若点O（0，0）、A(1，2）、B(-1，3)，且=2，=3，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为________,向量的坐标为_________.解析:∵O(0，0），A（1,2），B(—1,3），∴=（1，2),=(—1，3），=2×(1,2)=(2，4)，=3×（—1,3）=（-3,9)。∴A′（2，4)，B′(—3,9),=(—3—2,9—4)=（-5，5）.答案:（2，4）（—3，9）（—5,5）【例4】如右图，已知A（-1，2），B(3，4）连结A、B并延长至P，使｜AP|=3｜BP｜，求P点坐标。思路分析:由、同向共线，得=3。这样就可建立方程组,求出点P的坐标.解：设P点坐标为(x，y）,则=（x+1,y—2），=(x—3,y-4).由、同向共线，得=3，即(x+1，y—2)=3（x—3，y—4）.于是,解得因此，P点的坐标为(5,5）.友情提示一般地，A、B、P三点中选哪一个点作起点，分点或终点都可以，但一经确定两点。第三点也随之确定.虽然对各种情况的系数不同，但计算结果都一样，可根据题目条件恰当选择起点、分点和终点，确定相应的系数λ的值，优化解题过程。而此类题目最大的弊病是分不清起点与终点,致使公式用错。类题演练4已知A（-2，1），B（1，3），求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标.解析：因为==（1，3）—（-2，1）=（3，2）.所以=(+）=（—，2).=+=（-1,)。=+=（0，)。因此M(-，2），P（-1，)，Q(0，）.变式提升4在△ABC中，已知A（4，1）、B（7,5）、C（-4,7）