2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE课时作业16空间向量的正交分解及其坐标表示|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，肯定有a，b，c为非零向量．因此pD⇒/q，q⇒p.答案：B2．已知A(1,2，－1)关于平面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则eq\o(BC,\s\up13(→))＝()A．(0,4,2)B．(0,4,0)C．(0，－4，－2)D．(2,0，－2)解析：易知B(1,2,1)，C(1，－2，－1)，所以eq\o(BC,\s\up13(→))＝(0，－4，－2)．答案：C3．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()A．2aB．2C．2a＋3bD．2a解析：由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，在四个选项中，只有选项D与p，q不共面，因此，2a＋5c与p，答案：D4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则eq\o(OG,\s\up13(→))等于()A.eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up13(→))B.eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))C.eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))D.eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up13(→))解析：如图，eq\o(OG,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up13(→))＋eq\o(ON,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OM,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))．答案：B5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,10,12)D．(4,2,3)解析：设点A对应的向量为eq\o(OA,\s\up13(→))，则eq\o(OA,\s\up13(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)7．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up13(→))＝c，则eq\o(DE,\s\up13(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：取BC中点为F，连EF，AF，则EF綊eq\f(1,2)BB1，又AD綊eq\f(1,2)BB1，所以EF綊AD，所以四边形ADEF为平行四边形，所以DE綊AF，所以eq\o(DE,\s\up13(→))＝eq\o(AF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up13(→))＋λeq\o(A1D,\s\up13(→))＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A1C1，C1D则E在A1C1上，F在C1D易知EF綊eq\f(1,2)A1D，∴eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up13(→))，即eq\o(EF,\s\up13(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up13(→))＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．试写出正方体顶点A1，B1，C1，D1解析：设i，j，k分别是与x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位基向量．因为底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝eq\r(2).由于点B在x轴的正半轴上，所以eq\o(OB,\s\up13(→))＝eq\r(2)i，即点B的坐标为(eq\r(2)，0,0)．同理可得C(0，eq\r(2)，0)，D(－eq\r(2)，0,0)，A(0，－eq\r(2)，0)．又eq\o(OB1,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(BB1,\s\up13(→))＝eq\r(2)i＋2k，所以eq\o(OB1,\s\up13(→))＝(eq\r(2)，0,2)．即点B1的坐标为(eq\r(2)，0,2)．同理可得C1(0，eq\r(2)，2)，D1(－eq\r(2)，0,2)，A1(0，－eq\r(2)，2)．10．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up13(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up13(→))，eq\o(EF,\s\up13(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up13(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．解析：(1)如图，eq\o(D1B,\s\up13(→))＝eq\o(D1D,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝－eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(EA,\s\up13(→))＋eq\o(AF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up13(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)eq\o(D1F,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up13(→))＋eq\o(D1B,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\o(D1B,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.|实力提升|(20分钟，40分)11．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，3))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,2)，\f(3,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，3))解析：依题意，p＝a＋2b＋3c设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，,z＝3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝3，))即向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3)).故选B.答案：B12．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a＝eq\o(AB,\s\up13(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up13(→))，c＝eq\o(AD,\s\up13(→))，则x＝eq\o(AB1,\s\up13(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up13(→))，z＝eq\o(AC,\s\up13(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up13(→)).由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．答案：313．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且AB＝AP＝1，分别以eq\o(DA,\s\up13(→))，eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AP,\s\up13(→))为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求eq\o(MN,\s\up13(→))，eq\o(DC,\s\up13(→))的坐标．解析：设eq\o(DA,\s\up13(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up13(→))＝e2，eq\o(AP,\s\up13(→))＝e3，则eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＝e2，eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AP,\s\up13(→))＋eq\o(PN,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AP,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AP,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→)))＝－eq\f(1,2)e2＋e3＋eq\f(1,2)(－e3－e1＋e2)＝－eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2，∴eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DA,\s\up13(→))＝(0,1,0)．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点