2024-2025学年高中数学第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5

PAGE§4数列在日常经济生活中的应用内容标准学科素养1.驾驭单利、复利的概念和区分及它们本利和的计算公式.2.驾驭零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型的本质特点，并学会应用.抽象数学模型提升数学运算完善解答规范授课提示：对应学生用书第29页[基础相识]学问点一单利和复利预习教材P32－35，思索并完成以下问题1．在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果恒久也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又是采纳怎样的计息方式呢？提示：“驴打滚”问题事实上是利滚利问题，本利越滚越多，所以恒久还不上，与银行中的复利问题相像．2．若本金为P，存期为n，利率为r，单利和复利计息方式在每一次计息时，本金上有什么区分？提示：单利计息时，不管哪一次计算利息，本金恒久是P；而复利计息时，本金每一期都不同，1个存期过后，计息时本金是P(1＋r)，2个存期过后，重新计息时本金是P(1＋r)2，3个存期过后，再计息时本金是P(1＋r)3，…，n个存期过后，再重新计息时本金为P(1＋r)n.3．若本金为1000，存期为1年，月利率为0.3%，分别按单利和复利计息方式，到期时的本利和各是多少？提示：单利到期时，本利和为1000(1＋12×0.3%)；复利到期时，本利和为1000(1＋0.3%)12.学问梳理1.单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)．2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式是S＝P(1＋r)n．学问点二三种数列模型的应用思索并完成以下问题1．某高校张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)．若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初起先归还，则每年应还多少元．提示：设每年还款x元，需10年还清，那么各年还款利息状况如下：第10年付款x元，这次还款后欠款全部还清；第9年付款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元；第8年付款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元；…第1年付款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元．依题意得：x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20000(1＋10%)10.解得x＝eq\f(20000×1.110×0.1,1.110－1)≈3255(元)．2．“零存整取型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成什么数列？到期后，每一次存款的本利和构成什么数列？提示：每一次存款到期后的利息构成等差数列，每一次存款的本利和也构成等差数列．3．“定期自动转存模型”，到期后，每一次存款的本利和构成什么数列？提示：到期后每一次存款的本利和构成等比数列．4．通过对分期付款模型的应用，你能说出“分期付款模型”中的利息计算是单利还是复利吗？提示：在分期付款中，每还一次款，“没有还清的钱”都依据复利重新计算利息．学问梳理1.零存整取零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到约定日期后S＝P(1＋nr)．2．定期自动转存假如储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存．n年后，本利和为S＝P(1＋r)n．3．分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款金额为eq\f(ar（1＋r）m,（1＋r）m－1)．[自我检测]1．按活期存入银行1000元，年利率是0.72%，那么依据单利，第5年末的本利和是()A．1036元 B．1028元C．1043元 D．1026元解析：第五年末的本利和是1000＋1000×0.72%×5＝1000＋36＝1036.答案：A2．按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4%，则3年后支取可获得利息为()A．(5×0.04)3万元 B．5(1＋0.04)3万元C．3×(5×0.04)万元 D．[5(1＋0.04)3－5]万元解析：3年后的本利和为5×(1＋0.04)3万元，利息为[5×(1＋0.04)3－5]万元．答案：D3．某人从2024年起，每年7月1日到银行新存入a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2024年7月1日，将全部的存款及利息全部取回，他可取回的总金额是________元．解析：这是“定期自动转存模型”，从2024年(作为第一年)起，每一年存款的本利和构成等比数列：a(1＋r)7，a(1＋r)6，a(1＋r)3，…，a(1＋r)，所以他可取回的总金额是a(1＋r)7＋a(1＋r)6＋a(1＋r)5＋…＋a(1＋r)＝eq\f(a（1＋r）8－a（1＋r）,r).答案：eq\f(a（1＋r）8－a（1＋r）,r)授课提示：对应学生用书第30页探究一等差等比数列模型[阅读教材P32－33例1例2及解答]题型：等差、等比数列模型方法步骤：①确定数列类型；②明确数列基本量；③进行数列运算；④回来还原到实际问题．[例1]在美国广为流传的一道教学题目是：老板给你两种嘉奖的方案，一是每年末在上一次嘉奖的基础上再加1000元；二是每半年结束时在上一次嘉奖的基础上再加300元，请你选择一种，一般不擅长数学的，很简洁选择前者．依据以上材料，解答下列问题：(1)假如在公司连续工作10年，问选择哪一种方案获得的嘉奖多？多多少元？(2)假如其次种方案中的每半年再加300元改成每半年再加a元，问a取何值时选择其次种方案总是比第一种方案多获得嘉奖？[解题指南]把实际问题转化为数学模型，解答本题(1)可分别依据两种方案计算出嘉奖的数量，进而比较得出结果．(2)据条件列出不等式，化简后，再转化为函数的最值(或恒成立)问题，求解可得．[解析](1)第10年的年末，依第一种方案构成首项为1000，公差为1000的等差数列，故可得1000×(1＋2＋…＋10)＝1000×eq\f(10（10＋1）,2)＝55000(元)．依其次种方案，则构成首项为300，公差为300的等差数列，可得300×(1＋2＋…＋20)＝300×eq\f(20（20＋1）,2)＝63000(元)．因为63000－55000＝8000(元)，所以在该公司干10年，选择其次种方案比第一种方案获得的嘉奖多，多8000元．(2)第n年年末，依第一种方案，可得1000×(1＋2＋…＋n)＝1000·eq\f(n（n＋1）,2)＝500n(n＋1)．依其次种方案，可得a·(1＋2＋3＋…＋2n)＝a·eq\f(2n（2n＋1）,2)＝an(2n＋1)．据题意，an(2n＋1)＞500n(n＋1)对全部正整数n恒成立，即a＞eq\f(500（n＋1）,2n＋1)＝250＋eq\f(250,2n＋1)对全部正整数n恒成立，只需a＞250＋eq\f(250,3)＝eq\f(1000,3).所以，当a＞eq\f(1000,3)时，选择其次种方案总是比第一种方案多获得嘉奖．方法技巧等差数列和等比数列模型的应用(1)在解以数列为数学模型的应用题时，要选择好探讨对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简洁的问题可干脆找寻“项”与“项数”的关系，对较困难的问题可先探讨前后项之间的关系(即数列的递推关系)，然后再求通项．(2)解决数列应用问题首先要把实际问题抽象为数列问题，然后应用数列学问来分析、求解，最终回到实际问题中去作答．其中第一步是解题的关键，通常从以下角度分析：①哪些量具备数列特征．②把要求解的量一步一步分析，得到这些量构成数列的性质．③用通项公式或递推公式描述这些量的改变规律．(3)解数列应用题的思路方法如图所示．跟踪探究1.某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案；每年贷款1万元，每一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的运用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的货款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(取1.0510＝1.629，1.310＝13.786，1.510＝57.665)．解析：方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9.所以S10＝eq\f(1.310－1,1.3－1)≈42.62(万元)．又贷款本息总数为10(1＋5%)10＝10×1.0510≈16.29(万元)，甲方案净获利42．62－16.29≈26.34(万元)．乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为eq\f(1,2)，前10项和为T10＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2×\f(1,2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9×\f(1,2)))＝eq\f(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)＋1)),2)＝32.50(万元)，而贷款本息总数为1．1×[1＋(1＋5%)＋…＋(1＋5%)9]＝1.1×eq\f(1.0510－1,1.05－1)≈13.21(万元)，乙方案净获利32．50－13.21≈19.29(万元)．比较两方案可得甲方案获利较多．探究二复利计算的应用[例2]某家庭准备10年以后新买一套住房，确定以一年定期的方式存款，安排从2012年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2024年初将全部存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？[解题指南]从2012年年初起，到2024年初取出为止，每一年求存款的本利和构成数列{an}，这是求数列{an}的前8项和．[解析]设从2012年年初到2024年年初的本利和组成数列{an}，到2024年为止，把2012年末存款的本利和看作a1，则2024年末存款的本利和为an，则a1＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…，an＝a(1＋p)n＋a(1＋p)n－1＋…＋a(1＋p)＝eq\f(1,p)a(1＋p)n＋1－eq\f(1,p)a(1＋p)(1≤n≤8)，所以这个家庭应取出的钱数为S8＝a(1＋p)＋[a(1＋p)2＋a(1＋p)]＋…＋[a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)]＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,p)a（1＋p）2－\f(1,p)a（1＋p）))＋eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)a（1＋p）3－))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,p)a（1＋p）))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,p)a（1＋p）9－\f(1,p)a（1＋p）))＝eq\f(\f(1,p)a（1＋p）2[1－（1＋p）8],1－（1＋p）)－eq\f(8,p)a(1＋p)＝eq\f(1,p2)a(1＋p)10－eq\f(a,p2)(1＋p)2－eq\f(8,p)a(1＋p)．方法技巧复利计算的关键复利计算利息时，每一次求解，本金都在改变，抓住关键：上一年存款的利息作为本金在下一年要计算利息，每一年的本利和组成等比数列，依据等比数列前n项和公式求出最终的本利和．跟踪探究2.某煤矿从起先建设到出煤共需5年，每年国家投资100万元，假如按年利率为10%来考虑，那么到出煤时，国家实际投资总额是________万元(精确到0.001)．解析：第五年投资本利和是100(1＋10%)万元，第四年投资的本利和是100(1＋10%)2万元，……第一年投资的本利和是100(1＋10%)5万元，所以{an}是以a1＝100(1＋10%)为首项，q＝1＋10%为公比的等比数列，到出煤时，国家实际投资总额是：S8＝100×1.1×eq\f(1.15－1,1.1－1)＝671.561(万元)．答案：671.561探究三分期付款问题[阅读教材P34例3及解答]题型：分期付款模型方法步骤：①设每期还款x元．②计算第k个月末还款后的本利欠款数Ak元．③还清时A12＝0.计算出x.④回答实际问题．[例3]已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房须要拆除．当地有关部门确定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和其次年末的实际住房面积的表达式．(2)假如第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)[解题指南](1)由题意，设第n年末实际住房面积为an，则an＝1.1an－1－b且a1＝1.1a－b(m2(2)由an＝1.1an－1－b求出a5，结合题意建立方程即可解得．[解析]设第n年末实际住房面积为an(n∈N＋)．(1)由题意，得a1＝1.1a－b(m3a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12ba4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b，a5＝1.1a4－b＝1.1(1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－＝1.15a－1.14b－1.13b－1.12b－1.1b－b＝1.6a－eq\f(b（1－1.15）,1－1.1)＝1.6a－6b，由题意1.6a－6b＝1.3a，解得b＝eq\f(a,20)，所以每年拆除的旧住房面积为eq\f(a,20)m2.延长探究本例中，条件不变，求“第n年末的实际住房面积的表达式”．解析：由以上分析知：第n年末的实际住房面积an＝1.1na－1.1n－1b－1.1n－2b－…－1.1b－b＝1.1na－eq\f(b（1－1.1n）,1－1.1)＝1.1na－10b(1.1n－1)．方法技巧常见的分期付款问题的计算方法方法一：以“商品购买后n年贷款全部付清时，其商品售价增值多少和所付贷款增值多少”两条线列式计算．方法二：干脆以“顾客所欠贷款”为主线，求出每期应付款多少，总共应付款多少．跟踪探究3.用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，假如购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解析：购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款组成数列{an}；则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)．…an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(n－1,5)))(万元)(n＝1，2，…，10)．因而数列{an}是首项为4，公差为－eq\f(1,5)的等差数列，a5＝4－eq\f(5－1,5)＝3.2(万元)．S10＝10×4＋eq\f(10×（10－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))),2)＝31(万元)．因此，第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元.授课提示：对应学生用书第31页[课后小结]数列应用要留意的两个问题(1)数列应用问题的常见模型①一般地，假如增加(或削减)的量是一个固定的详细量时，那么该模型是等差模型，增加(或削减)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d为常数)．②假如增加(或削减)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．③假如简洁找到该数列随意一项an＋1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的学问求解问题．(2)数列综合应用