高等数学（第二版）上册课件：导数与微分在经济学中的应用

导数与微分在经济学中的应用

导数与微分在经济学中应用十分广泛，本节进一步讨论经济管理中的最值问题，并讨论经济学中常用的应用——弹性分析.3.6.1最值问题

在第一章中介绍了常用的成本函数、收入函数、利润函数等经济函数，在实际中，经常会遇到在一定条件下，使成本最低，收入和利润最大等问题.【例3.6.1】设某产品日产量为件时,需要付出的总成本为求(1)日产量为500件的总成本和平均成本；(2)最低平均成本及相应的产量.解:(1)日产量为500件的总成本为：平均成本为（元）（元）(2)日产量为

件的平均成本为(元)，因，故得唯一驻点为令又，故是的极小值点，即当日产量为400件时，平均成本最低，最低平均成本为（元）例3.6.2某物业公司策划出租100间写字楼,经过市场调查，当每间写字楼租金定为每月5000元时,可以全部出租；当租金每月增加100元时,就有一间写字楼租不出去.已知每租出去一间写字楼，物业公司每月需为其支付300元的物业管理费.为使收入最大，租金应定为多少才合适?解:设每间月租元，则租出去的房子有间，每月总收入为令得唯一驻点为又，故为唯一极大值点，因此每月每间写字楼租金定为7650元时，收入最高.此时，有74间写字楼可租出去，最大收入为：（元）3.6.2弹性分析

在边际分析中，所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率，而在某些实际问题中这是不够的，比如你对原价为80元的体育用品(篮球)涨价1元可能感觉不到，但原价为2元的另一体育用品(乒乓球)涨价1元你会感觉很明显，如果从边际分析看，绝对改变量都是1元，这显然不能说明问题，如果从其涨价的幅度分析会更加全面.由此可见，需要研究一个变量对另一个变量的相对变化情况，这就是弹性的概念定义3.5设函数在可导,函数的相对改变量之比与自变量的相对改变量称为函数从到两点间的弹性（或平均相对变化率）而极限称为函数在点的弹性，记为：或即【注】或表示函数的弹性函数，反映随着变化，

对

反应的强弱程度或灵敏度.表示当%相应的改变在点产生1%的改变时，函数例如的意义是：当在增加1%时函数值增加的3%；函数值减少的2%；的意义是：当在增加1%时下面通过需求对价格的弹性分析，可见弹性概念的重要性.设某产品的需求量为

，价格为P，需求函数

可导，则该产品的需求弹性为:记为

【注】由于需求量随价格的提高而减少，因此当

时,

,

故需求弹性

一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反应的灵敏度.当

很小时,有此时，需求弹性

(近似地)表示在价格为P时,价格变动1%,需求量将变化

.

在经营管理活动中，产品价格的变动将引起需求及收益的变化，现从需求弹性分析来进行讨论.即设产品价格为P，销售量(需求量)为

，则总收益

，求导数得由上式可得如下结论：(2)当

，说明需求变动的幅度大于价格变动的幅度，这时，产品价格的变动对销售量影响较大，称为高弹性.此时

,

递减.说明降价可使总收益增加，故可采取薄利多销的策略.由上式可得如下结论：(3)当

,说明需求变动的幅度等于价格变动的幅度.

,

取得最大值.(1)当

,说明需求变动的幅度小于价格变动的幅度，这时，产品价格的变动对销售量影响不大，称为低弹性.此时

，

递增，说明提价可使总收益增加，而降价会使总收益减少.例3.6.3某体育用品店中篮球的价格80元，乒乓球的价格2元，月销量分别为2000个和8000个，当两种球都提价1元时，月销量分别为1980个和2000个，请考察其收入变化情况.解：已知篮球的价格

(元)，销量

(个)，乒乓球的价格

(元)，

(个)，提价

(元)，

，

.因

，

.由

，即篮球的销量下降了1%；

即乒乓球的销量下降了75%.从而它们的需求对价格的弹性分别为由于

是低弹性，因此篮球提价可使收入增加；由于

是高弹性，因此乒乓球的提价使收入减少.例3.6.4

设某品牌的电脑价格为

(元)，需求量为

，其需求函数为

(台).解：因

，

，需求弹性为.(1)求

时的边际需求,并说明其经济意义.

时的边际需求为

.其经济意义是当价格

元时, 若涨价1元，则需求量下降20台.(2)求

时的需求弹性,并说明其经济意义.当

时，

，此时的需求弹性为

其经济意义是当价格

元时,

价格上涨1%,需求减少0.667%.【例3.6.4】设某品牌的电脑价格为

(元)，需求量为

，其需求函数为

(台).解：因

，

，需求弹性为.(3)当

时,若价格上涨1%,总收益将如何变化?是增加还是减少?由公式(3-3)又于是当

时，所以(4)当

时,若价格上涨1%,总收益的变化又如何?是增加还是减少?当

时,所以结果表明，当

时,