高等数学（经济类）全书习题解答第7章（微分差分方程）

PAGEPAGE1第7章微分方程与差分方程习题解答习题7-11．下列方程哪些是微分方程？若是微分方程请指出它的阶：（1）；解方程中含有，故是微分方程，且为一阶微分方程。（2）；解方程中含有，故是微分方程，且为一阶微分方程。（3）；解方程中含有，故是微分方程，且为一阶微分方程。（4）；解不是微分方程。（5）；解方程中含有，故是微分方程，且为二阶微分方程。（6）；解方程中含有，故是微分方程，且为二阶微分方程。（7）；解方程中含有，故是微分方程，且为三阶微分方程。（8）。解方程中含有，故是微分方程，且为阶微分方程。2．验证是微分方程的解;并说明是通解还是特解.解因为3．验证是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解．解由可得，将及代入方程中，得，所以函数是微分方程的解．又因为方程是一阶的，而函数含有一个任意常数，且任意常数的个数等于方程的阶数，所以函数是微分方程的通解．将代入中，得所求特解．4．验证由方程所确定的隐函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解．解由可得，将及代入方程中，得，所以函数是微分方程的解．又因为方程是一阶的，而函数含有一个任意常数，且任意常数的个数等于方程的阶数，所以函数是微分方程的通解．将代入中，得所求特解．5．已知某企业的纯利润对广告费的变化率与常数和纯利润之差成正比，写出纯利润所满足的微分方程.解由题意可知，纯利润所满足的微分方程为其中为常数，且．6．设曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标平方的两倍，写出该曲线所满足的微分方程．解设所求曲线的方程为，根据导数的几何意义，由题意得．习题7-21．求下列微分方程的通解：（1）；解分离变量有,两端积分,可得通解为．（2）；解分离变量有两端积分，可得通解为．（3）；解分离变量有两端积分，可得通解为．（4）；解分离变量有两端积分，可得通解为．（5）；解分离变量有两端积分，可得通解为．（6）。解分离变量有，两端积分，可得通解为．2．求下列微分方程的通解：（1）；解令，则，，代入原方程，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为.（2）；解令，则，，代入原方程，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为.（3）；解令，则，，代入原方程，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为.（4）；解令，则，，代入原方程，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为.（5）；解令，则，，代入原方程，当时，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为，类似地，当时，可求得其解，综合的所求通解为.（6）；解令，则，，代入原方程，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为.（7）。解令，则，，代入原方程，得，分离变量后两边积分，得所求方程的通解为.3．求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）,；解分离变量有，两端积分，可得通解为，由得，故所求特解为（2）,；解分离变量有，两端积分，可得通解为，由得，故所求特解为（3）；解分离变量有，两端积分，可得通解为，由得，故所求特解为．（4）；解分离变量有，两端积分，可得通解为，由得，故所求特解为．（5），；解原方程可化为由通解公式得所求通解，再由，得故所求特解.（6）。解令，则，，代入原方程得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为，由得，故所求特解为．4．求下列微分方程的通解：（1）；解原方程变形为，这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（2）+；解此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）；解原方程变形为，这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即（4）；解此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）；解将看作自变量，看作的函数，则有，这是关于未知函数的一阶线性非齐次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解为即.（6）。解将看作自变量，看作的函数，则有，这是关于未知函数的一阶线性非齐次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解为即.5．求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）。解这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始条件，求得，故所求特解是.（2）；解这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）；解这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始条件，求得，故所求特解是.代入初始条件，求得，故所求特解是.（4），；解这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始条件，求得，故所求特解是.6．求下列微分方程的通解：（1）；解令，代入原方程，得分离变量得两边积分，得所求方程的通解为.（2）；解原方程可化为令，，即有分离变量得两边积分，将代入得故所求通解为（3）。解原方程可化为这是齐次方程，令即有分离变量得两边积分，得所求方程的通解为习题7-3求下列微分方程的通解：（1）；解对原方程积分一次，得，再积分，得原微分方程的通解为．（2）；解对原方程积分一次，得，再积分，又得，第三次积分，得原微分方程的通解为．（3）；解设，则，代入原方程，得．这是可分离变量的微分方程，分离变量得．两边积分，得，即，两边积分，得．（4）；解设，则，代入原方程，得．这是可分离变量的微分方程，分离变量得．两边积分，得，即，两边积分，得方程的通解为．（5）．解设，则，代入原方程，得．这是可分离变量的微分方程，分离变量得．两边积分，得，化简解出，两边积分，得方程的通解为．（6）；解设，则，代入原方程得，在时，约去并分离变量，得，两端积分，得，即，再分离变量，得方程的通解为．2．求方程满足初始条件的特解。解设，原方程化为这是可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得将初始条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件可得，故所求特解为.3．求方程满足初始条件的特解。解设，原方程化为这是可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得将初始条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件可得，故所求特解为.4．求方程满足初始条件的特解。解设，代入原方程得，即，这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式，得所求通解，即，代入初始条件，求得，故，积分得方程的通解为，再由条件可得，故所求特解为.5．求方程满足初始条件的特解。解设，则，代入原方程得，这是可分离变量的微分方程，分离变量得两端积分，得将初始条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件可得，故所求特解为．6．求的经过点M（0，1）且在此点与直线2y=x+2相切的积分曲线。解方程满足的初始条件为对方程积分一次，得，将初始条件代入上式，得，故再积分，得方程的通解为．再由条件可得，故所求特解为．所以的经过点且在此点与直线相切的积分曲线方程为．习题7-41.求下列微分方程的通解：（1）；解所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，．故所求通解为.(2)；解所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，．故所求通解为.(3).；解所给方程的特征方程是，特征根为两个相等的实根：．故方程的通解为.（4）；解所给方程的特征方程是.特征根是一对共轭复根：．因此所求通解是（5）；解所给方程的特征方程为，它的根是.因此所求通解为.（6）；解先求原方程对应齐次方程的通解.它的特征方程为，特征根为，所以对应齐次方程的通解为.由于属于=型，其中方程，且不是特征方程的根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得，所求通解为.（7）；解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为.由于属于=型，其中，，且是特征方程的根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得，所求通解为．（8）；解所给方程对应的齐次方程为齐次方程为其通解为，设特解，代入方程，解得，所求通解为．(9)；解所给方程对应的齐次方程为齐次方程为它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为设特解，代入方程，解得，所求通解为．（10）解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为.由于属于=型，其中，，且是特征方程的重根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得，所求通解为（11）；解所给方程对应的齐次方程为齐次方程为其通解为，设特解，代入方程，解得，所求通解为．(12)．解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中,，．由于是特征方程的根，故可设所给方程的特解为，求导得，并代入所给方程，得，所求通解为（13）；解先求原方程对应齐次方程的通解.它的特征方程为，特征根为，所以对应齐次方程的通解为.设的特解，求导得并代入所给方程，得，设的特解，求导得并代入所给方程，得，故原方程的特解为所求通解为．2．确定下列各方程的特解的形式：（1）；解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中．因为不是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（2）；解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中．因为是特征方程的重根，故所给方程的特解形式为.（3）；解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中．因为不是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（4）；解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中．因为是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（5）；解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为．方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中,，．由于是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（6）．解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中．．由于是特征方程的根，故所给方程的特解形式为．3.求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)；解所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，．故所求通解为代入初始条件，得，对求导，得．代入，得，解得，；故所求特解为.(2)；解所给方程的特征方程是，特征根是一对共轭复根：．因此所求通解是代入初始条件，得，对求导，得．代入，得；故所求特解为.（3）．解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为.由于属于=型，其中，，且是特征方程的单根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得，所给方程的通解为代入初始条件，得，对求导，代入，得；并且可解得故所求特解为．4．设二阶线性非齐次微分方程有一特解，它对应的齐次方程有一特解为，试求：（1）的表达式；解由条件可知解得（2）此方程的通解。解将代入原方程得显见有另一解，方程的通解.5．（1）若证明微分方程有一特解；若证明微分方程有一特解。（2）根据（1）的结论求满足的特解。（1）证明因为，，，代入到方程中，注意有可知是的一个特解.又因为，，，代入到方程中，注意有可知是的一个特解.（2）已知方程，即有，因为故为的一个特解，故为的一个特解，且﹑线性无关，因此为方程的通解，由，可得所求特解为习题7-51.英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了人口指数增长模型.设单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比.若已知时的人口总数为,求时间与人口总数的函数关糸.根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报,1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年的年人口平均增长率为14.8‰,若今后的年增长率保持这个数字，预报2000年我国的人口总数.解设时间为时的人口总数为,由题意得这是一个变量可分离的方程，易求出满足初始条件的解为将，，代入上式，得年我国的人口总数为（亿）2．设某商品的供给函数与需求函数分别为其中表示时间时刻的价格,且，试求均衡价格关于时间的函数。解由题意可知，在市场处于均衡价格时，有两端积分，得有，得故所求均衡价格关于时间的函数.3.假设有一个很小的相对独立的小镇,总人口1800人,并假设最初有5人患流感,且流感以每天12.8%的比率蔓延,那么10天内将有多少人被感染?经过多少时间该镇将有一半人被感染.解设是第天被感染流感的人数,由题意得4.设某商品的供给函数为，需求函数为，且有，，若在每一时刻市场均是出清的，求价格函数.解由于在每一时刻市场均是出清的，故可知习题7-61．求函数的差分.解由差分定义，得=.2．求函数的差分.解由差分定义，得=.特别,当为正整数时,=.3.设函数，求.解由差分定义，得4.设函数，求，.解由差分定义，得。5.设函数，求.解由差分定义，得。6．确定下列差分方程的阶:（1）；解由差分方程的定义，可知为一阶差分方程.（2）；解由差分方程的定义，可知为一阶差分方程.（3）；解由差分方程的定义，可知为二阶差分方程.（4）；解由差分方程的定义，可知为二阶差分方程.（5）；解由差分方程的定义，可知为三阶差分方程.（6）.解由差分方程的定义，可知为五阶差分方程.7．验证函数是差分方程的解，并求时方程的特解.解因为，所以将上三式代入到方程的右端，得，所以是差分方程的解，将代入到，得即，故所求的特解为.8．试改变差分方程的形式.解由差分定义，得将上两式代入差分方程中，得.习题7-71.求下列差分方程的通解：（1）；解因为且，故可设特解其中﹑为待定系数，将其带入原差分方程中，得(C为任意常数).（2）；解因为且，故可设特解其中﹑﹑为待定系数，将其带入原差分方程中，得(为任意常数).（3）；解原方程为所以其通解为(C为任意常数).（4）.解显然其齐次方程的通解为(C为任意常数).设其特解为,所以有,从而得b=-7.因此,原方程的通解为.2.求差分方程满足初始条件的特解解因为，故可求得方程的通解为由，得,所求特解为.3.求差分方程满足初始条件的特解.解因为，故可求得方程的通解为由，得,所求特解为.4.求差分方程满足初始条件的特解.解方程可变形为，可求得对应的齐次方程的通解为原方程的特解为故原方程的通解为将代入上式，得,所求特解为.5.求下列二阶差分方程的通解.（1）；解所给差分方程的特征方程为,特征根为，，所以所求通解为(是任意常数).（2）；解所给差分方程的特征方程为,特征根为，，所以所求通解为,(是任意常数).（3）；解所给差分方程对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为(是任意常数),原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解为(是任意常数).（4）；解所给差分方程对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为原方程有形如的特解，代入原方程求得，，故原方程的通解为（5）；解所给差分方程对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，，，对应齐次方程的通解为原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解为,(是任意常数).6.求差分方程满足初始条件，的特解.解所给差分方程对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为(是任意常数)，原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解为(是任意常数),将，代入上式，得，所求特解为。7.求差分方程满足初始条件，的特解.解所给差分方程的特征方程为,特征根为，，所以所求通解为(是任意常数).将，代入上式，得，所求特解为。8.求差分方程满足初始条件，的特解解所给差分方程对应齐次方程的特征方程为.，其特征根为，，，对应齐次方程的通解为原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解为,(是任意常数).将，代入上式，得，所求特解为。习题7-81.某家庭从现在着手,从每月工资中拿出一部分资金存入银行,用于投资子女的教育,并计算20年后开始从投资账户中每月支取1000元,直到10年后子女大学毕业并用完全部资金.要实现这个投资目标,20年内要总共筹措多少资金?每月要在银行存入多少钱?假设投资的月利率为0.5%.解设第t个月,投资账户资金为每月存资金为b元,于是20年后,关于的差分方程模型为且解此方程，得通解以及故有从现在到20年内，满足的差分方程为且解上式方程得以及从而有即要达到投资目标，20年内要筹措资金元，平均每月要存入银行元。一辆新轿车价值20万元，以后每年比上一年减少20%，问t（t为正整数）年后这辆轿车价值为多少万元？若这辆轿车价值低于1万元就要报废，这辆轿车最多能使用多少年？解依题意通解为由，得所以由得即这辆轿车最多能使用13年5个月。总习题71．选择题(1)微分方程的阶数是（）.（A）1（B）2（C）3（D）4解方程中含有，故是一阶微分方程；即选项A正确．(2)下列结论正确的是（）.（A）微分方程的通解一定包含它的所有解（B）所有微分方程都存在通解（C）用分离变量法解微分方程时，对方程变形可能会丢掉原方程的某些解（D）函数（为两个任意常数）为方程的通解解用分离变量法解微分方程时，对方程变形确实可能会丢掉原方程的某些解；即选项C正确．(3)差分方程的通解是（）.（A）（B）（C）（D）解注意到差分方程是二阶的，故其通解中应含有两个任意常数，四个选项中只有D符合；即选项D正确．(4)设函数满足关系式，则（）.（A）（B）（C）（D）解求导得，分离变量可得通解因为，即，即选项B正确．(5)设函数是微分方程的一个解，且，，则在点处（）.（A）有极大值（B）某邻域内单调增加（C）有极小值（D）某邻域内单调减少解因为在点处，，所以在点处有极大值，即选项A正确．(6)设线性无关的函数都是微分方程的解，则此方程的通解为（）.（A）（B）（C）（D）解因为是微分方程的解，所以﹑都是的线性无关的解，有解的结构定理可知，是的通解，即选项D正确．2．填空题(1)已知函数在任意点x处的增量，则.解两端同除，并求极限得分离变量可得通解由，得，即所以(2)以函数为通解的微分方程是.解由可得，，两边求导，得，即为以函数为通解的微分方程.(3)以为通解的微分方程是.解有通解可知，特征根为两个不相等的实根：，．方程的特征方程为，所以，对应的齐次方程为(4)已知微分方程的一个特解为，则该方程的通解为.解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，．故方程的通解为.(5)某公司每年的工资总额在比上一年增长的基础上再追加万元，若以表示第年的工资总额（单位：百万元），则满足的差分方程为.解由题意可知.3．求下列方程的通解或特解：(1)解原方程可化为分离变量可得通解（2）；解此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）解将原差分方程改写成标准形式：即则通解为（4）；解此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）；解将看作自变量，看作的函数，则有，这是关于未知函数的一阶线性非齐次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解为即.（6）；解原方程可化为令，代入原方程，得分离变量得两边积分，得所求方程的通解为.（7）；解原方程可化为令，代入原方程，得这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解原方程的通解为（8）解显然其齐次方程的通解为(为任意常数).设其特解为,所以有,从而得.因此,原方程的通解为.（9）；解设，原方程化为这是可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得即分离变量并两端积分，得（10）；解设，则，代入原方程得，分离变量，得，两端积分，得，由，得即再分离变量，得方程的通解为．由，得所以所求特解为（11），；解所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为