自动控制原理-第2章数学模型

第二章控制系统的数学模型本章内容2.1控制系统的时域数学模型2.2控制系统的复数域数学模型2.3控制系统的结构图/方框图2.4梅森公式与信号流图系统的数学模型数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。

静态数学模型:在静态条件下（变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程称为静态数学模型

动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态数学模型建模方法解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。数学模型时域数学模型：

微分方程、差分方程、状态方程复数域数学模型：

传递函数、结构图频域数学模型：

频率特性本节主要研究描述

线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的建立和求解方法2.1线性系统的时域数学模型线性元件的微分方程一．微分方程：给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出的一种系统描述方法单变量线性定常系统微分方程输出量在左，输入量在右，降阶排列。二．列写线性系统微分方程的主要步骤：分析系统工作原理，明确输入量、输出量列写各元件的运动方程式消除中间变量，只保留输入与输出量及导数化为标准形式三．线性元件微分方程的建立例2-1下图为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。U1R1R2U2C1C2RC四端网络解：设回路电流i1、i2，由基尔霍夫定律可列写方程组如下：(5)(4)(3)(2)(1)这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。例2-2弹簧—阻尼器系统,求xi与xo的关系。设弹簧的弹性系数为分别为K1,K2（N/m)，阻尼器的阻尼系数为f（N·s/m);取中间变量xm,分别对A、B两点受力分析例2-3求图2-2(a)、(b)所示机、电系统的微分方程并证明它们是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)

图(a)输入为Xr，输出为Xc，B1，B2为粘性阻尼系数，K1,K2为弹性系数根据力平衡，列出其运动方程式，得对电气网络(b)，列写电路方程得相同的数学模型！

相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统提供了方便。一般来说，电或电子的系统更容易，通过试验进行研究。微分方程求解方法微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难：

1）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量大。

2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。在控制工程中，一般并不需要精确地求系统微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。叠加原理：可叠加性和齐次性线性系统的基本特性当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)；当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)；如果f(t)=f1(t)+f2(t),方程的解为x(t)=x1(t)+x2(t),这就是叠加性当f(t)=Af1(t)时，上述方程的解为x1(t)=Ax1(t),这就是齐次性绝对的线性元件和线性系统不存在非线性微分方程的线性化实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件都具有不同程度的非线性。建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线性方程。线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于工作点仅有微小的偏离。

小偏差线性法/切线法/微偏法:若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。线性化的方法:设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图所示，相应的数学表达式为

在给定工作点附近，将上式展开泰勒级数：若在工作点附近增量的变化很小，则可略去式中项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：或写为

即：线性化方程式中，严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只是近似地表征系统的运动情况。实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过程，所以线性化方法是很有实际意义的。一．传递函数１．线性定常系统的传递函数定义为：2.2控制系统的复数域数学模型(传递函数)零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初始条件零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即输入作用是t＝0后才加于系统的，因此，输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。二．传递函数的基本性质

（1）传递函数可通过微分方程在初始条件为零时，用拉氏变换求得传递函数:

适用于线性定常系统，

传递函数是系统以复变量s为自变量的复数域描述。微分方程是系统以时间t为自变量的时域描述。实际系统的传递函数是复变量S的有理真分式函数传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入无关。传递函数不提供任何该系统的物理结构。不同的物理系统可以具有完全相同的传递函数。传递函数的基本性质传递函数的基本性质一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系。对于多输入—多输出的系统，用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出间的关系。传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(t).传递函数的特征方程N(s)=0系统的特征方程，

特征根 特征方程决定着系统的动态特性。

N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。当s=0时，系统的放大系数或增益

电气网络的运算阻抗与传递函数电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节(nominal(typical)element)。比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节串联纯微分环节典型环节比例环节的传递函数为：kR(S)C(S)方框图为：齿轮传动Proportionalelement(link)典型环节积分环节的传递函数为：方框图为：1/sR(s)C(s)CUc(t)RUr(t)i1i2AIntegralloop(link)典型环节惯性环节的传递函数为：RC惯性环节Inertialloop(link)]

典型环节微分环节的传递函数为：RC微分环节derivativeloop(link)典型环节二阶振荡环节的传递函数为：R-L-C电路传递函数微分方程oscillatoryloop(link)典型环节滞后环节的传递函数为：lag/delayloop(link)水箱进水管的延滞典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节(nominal(typical)element)。常见的几种环节的传递函数为：比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节串联纯微分环节

控制系统方框图（结构图）简称框图，它能够非常清楚地表示出输入信号在系统各部分传递过程，又可以方便地求出复杂系统的传递函数，也是系统数学模型的一种。

2.3控制系统的方框图方框图

blockdiagram;blockplan;fundamentaldiagram一、方框图组成（1）方框（BlockDiagram）:表示输入到输出单向传输的函数关系（2）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向在信号线旁标注该信号的时间函数或是其拉式变换框图包括函数方框、信号线、相加点、分支点等图形符号。（3）相加点（比较点、综合点）SummingPoint

两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略。+＋注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。(4)分支点（引出点）BranchPoint表示信号测量或引出的位置传递函数？二方框图的简化——等效变换

在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方框经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。方框图等效变换equivalenttransformofblockdiagram方框图的基本连接形式串联并联反馈特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量

（1）串联连接n为相串联的环节数

串联环节的等效传递函数等于

所有传递函数的乘积

并联连接的特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和。

（2）并联连接

n为相并联的环节数

并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和反馈连接

（3）反馈连接

上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的信号相加点和信号分支点的等效变换

对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点或信号分支点作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

相加点移动？

？等效变换，要求变换前后的输出信号保持不变相加点之间的移动多个相邻的相加点可以随意交换位置R(s)C(s)

Y(s)X(s)

R(s)C(s)

Y(s)X(s)

分支点移动

？？等效变换，要求变换前后的输出信号保持不变分支点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质ABR(s)BAR(s)负号的移动负号可以在信号线上越过方框移动，但不能越过比较点和引出点等效单位反馈？G2H1G1G3相加点移动向同类移动G1G2G3H1G1例R(s)C(s)C(s)C(s)R(s)分支点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1例R(s)C(s)方框图化简注意事项若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。尽量避免相加点和分支点之间的移动。输入信号所对应的相加点尽量不要移动；例

方框图简化，求系统传递函数方框图的简化过程G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1例R(s)C(s)用方框图的等效法，求下图所示系统传递函数C(s)/R(s)

例-思考题：求系统传递函数C(s)/R(s)

R(s)C(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)三几个基本概念及传递函数扰动N(S)=0,输入信号为R(S)时:(1)前向通道传递函数C(S)/E(S)(2)反馈通道传递函数B(S)/C(S)(3)开环传递函数B(S)/E(S)(4)闭环传递函数C(S)/R(S)(5)偏差传递函数E(S)/R(S)R(S)=0,输入信号为N(S)时:(1)输出对扰动的传递函数C(S)/N(S)(2)偏差对扰动的传递函数E(S)/N(S)(1)N(s)=0时，前向通道传递函数C(S)/E(S)(2)N(s)=0时，反馈通道传递函数B(S)/C(S)(3)N(s)=0时，开环传递函数B(S)/E(S)即前向通道传函与反馈通道传函之积注意：求传递函数时，先断开等效输入信号与系统的连接，再根据定义求解(4)N(s)=0时，闭环传递函数C(S)/R(S)对于闭环系统，当输出点和输入点变化时，只要找准输入、输出点，前向通道，反馈通道，并可利用上式得出闭环传递函数(5)N(s)=0时，偏差传递函数E(S)/R(S)输出对扰动的结构图(6)

R(s)=0时,输出对扰动的传递函数C(S)/N(S)（7）R(s)=0时,偏差对扰动的传递函数E(S)/N(S)

误差对扰动的结构图

H(s)＋-1E(S)N(S)G1(S)G2(S)线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，R(s),N(s)均不为零时系统的总输出系统的输出等于他们单独作用时之和系统的误差等于他们单独作用时之和四、方框图的绘制

绘制方框图的根据是系统各环节的微分方程式及其拉式变换。

对于单输入单输出系统，系统输入位于框图最左侧，输出位于最右侧。方程的乘除用串联环节、加减用相加点表示。一阶RC网络解：利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：例

画出下列RC电路的方框图

将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方框图。（b）（c）I(s))(sUo（d）（d）（d）－－－Ui(s)Uo(s)Uo(s)I(s)Ui(s)Uo(s)1）找出系统输入、输出量，列出系统方程，写出对应的拉氏变换，或直接利用运算阻抗列方程；2）根据方程绘制框图。对于单输入单输出系统，系统输入位于框图最左侧，输出位于最右侧。方程的乘除用串联环节、加减用相加点表示。3）从包含输入量的方程开始绘制框图，依次找出上个方程所用到的新的中间变量作为输入量的方程，直到用到包含系统输出量的方程；4）根据信号的流向将各方框依次连接，相同名称的信号用分支点连接到一起（包括中间变量）。绘制框图步骤：例

画出下列R-C网络的方框图

2.4梅森公式与信号流图

方框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时。利用梅森公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。梅森增益公式G1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)

G1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)梅森（mason）增益公式

系统的输出信号和输入信号之间的传递函数

Δk——将框图中与第k条前向通道相接触的所有部分去除后，所余下的部分求取Δ，称余子式Δk。mason公式传递函数R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2(1-G1H1)R(s)[]N(s)mason公式求C(s)(1-G1H1)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)mason公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)mason公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2P1=1△1=1+G2H2(1+G2H2)P1△1=?+mason公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)mason公式求E(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H3△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[

]

E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+mason公式求E(s)E(s)=1-G1