概率论与数理统计-教案32课时

PAGE52第一章随机事件及其概率概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域.本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.【教学目的与要求】通过学习，使学生理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件间的关系与基本运算。理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。知道概率的公理化定义；理解古典概型的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质（特别是加法定理），会应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。掌握贝努里概型及有关事件概率的计算。【教学重点】事件的关系与运算；概率的公理化体系；古典概型的计算；概率的加法公式、乘法公式与全概率公式；条件概率与事件的独立性。贝努里概型。【教学难点】古典概率的计算；全概公式与贝叶斯公式的应用；【计划课时】8【教学内容】第一节随机事件一.随机现象从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用,但直到20世纪初,人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究.概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.二.随机现象的统计规律性由于随机现象的结果事先不能预知,初看似乎毫无规律.然而人们发现同一随机现象大量重复出现时,其每种可能的结果出现的频率具有稳定性,从而表明随机现象也有其固有的规律性.人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察,我们把对随机现象的观察称为随机试验,并简称为试验，记为.例如,观察某射手对固定目标进行射击;抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数;记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.随机试验具有下列特点:1.可重复性:试验可以在相同的条件下重复进行;2.可观察性:试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3.不确定性:每次试验出现的结果事先不能准确预知.三.样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的,但其所有可能结果是明确的,我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点,记为（或）；它们的全体称为样本空间,记为(或).基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.四.事件的集合表示按定义,样本空间是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体,故样本空间就是所有样本点构成的集合,每一个样本点是该集合的元素.一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的,所以一个事件对应于中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合,它是的一个子集.于是,任何一个事件都可以用的某一子集来表示,常用字母等表示.五.事件的关系与运算因为事件是样本空间的一个集合,故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.六.事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1例题选讲：例1在管理系学生中任选一名学生,令事件A表示选出的是男生,事件B表示选出的是三年级学生,事件C表示该生是运动员.(1)叙述事件的意义;(2)在什么条件下成立?(3)什么条件下?(4)什么条件下成立?例2考察某一位同学在一次数学考试中的成绩,分别用A,B,C,D,P,F表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):则是两两不相容事件与是互为对立事件，即有均为的子事件，且有例3甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶”：(3)“三人中只有丙未中靶”(4)“三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶”(6)“三人中至少有一人未中靶”或(7)“三人中恰有兩人中靶”(8)“三人中至少兩人中靶”(9)“三人均未中靶”(10)“三人中至多一人中靶(11)“三人中至多兩人中靶”或注：用其他事件的运算来表示一个事件,方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件,特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例4指出下列各等式命题是否成立,并说明理由:(1);(2);(3);(4);(5)如果,则(6)如果,且,则;(7)如果,那么;(8)如果,那么例5化簡下列事件：(1)(2)思考题1.设当事件与同时发生时也发生,则().(A)是的子事件;(B)或(C)是的子事件;(D)是的子事件.2.设事件{甲种产品畅销,乙种产品滞销},则的对立事件为().(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B)甲种产品滞销;(C)甲、乙两种产品均畅销;(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.第二节随机事件的概率对一个随机事件，在一次随机试验中，它是否会发生，事先不能确定.但我们可以问，在一次试验中，事件发生的可能性有多大？并希望找到一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小.为此，本节首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数概率.一.频率及其性质定义1若在相同条件下进行次试验,其中事件发生的次数为,则称为事件发生的频率.易见,频率具有下述基本性质:1.2.3.设是两两互不相容的事件,则.二.概率的统计定义定义2在相同条件下重复进行n次试验，若事件发生的频率随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数(附近摆动，则称为事件的概率，记为.频率的稳定值是概率的外在表现,并非概率的本质.据此确定某事件的概率是困难的，但当进行大量重复试验时,频率会接近稳定值,因此，在实际应用时，往往是用试验次数足够大的频率来估计概率的大小,且随着试验次数的增加,估计的精度会越来越高。三.概率的公理化定义任何一个数学概念都是对现实世界的抽象，这种抽象使得其具有广泛的适用性.概率的频率解释为概率提供了经验基础,但是不能作为一个严格的数学定义,从概率论有关问题的研究算起,经过近三个世纪的漫长探索历程,人们才真正完整地解决了概率的严格数学定义.1933年,前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫,在他的“概率论的基本概念”一书中给出了现在已被广泛接受的概率公理化体系,第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.定义3设是随机试验,是它的样本空间,对于的每一个事件赋于一个实数,记为,若满足下列三个条件:1.非负性：对每一个事件,有;2.完备性：;3.可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有则称为事件的概率.四.概率的性质性质1--性质例题选讲：频率及其性质例1圆周率是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个记录保持了1000多年!以后有人不断把它算得更精确.1873年,英国学者沈克士公布了一个的数值,它的数目在小数点后一共有707位之多!但几十年后,曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了的608位小数,得到了下表:你能说出他产生怀疑的理由吗?因为是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.概率的统计定义例2检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件检查,检查结果及次品频列入表1-21由表1看出,在抽出的n件产品中,次品数随着n的不同而取不同值,从而次品频率仅在0.05附近有微小变化.所以0.05是次品频率的稳定值.例3从某鱼池中取100条鱼,做上记号后再放入该鱼池中.现从该池中任意捉来40条鱼,发现其中两条有记号,问池内大约有多少条鱼?概率的性质例4已知,求(1);(2);(3);(4).例5观察某地区未来5天的天气情况,记为事件:“有天不下雨”,已知求下列各事件的概率:(1)天均下雨;(2)至少一天不下雨;(2)至少一天不下雨;例6某城市中发行2种报纸A,B.经调查,在这2种报纸的订户中,订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,同时订阅2种报纸A,B的有10%.求只订一种报纸的概率讲解注意：思考题1.设,求事件的逆事件的概率.2.设求.3.设都出现的概率与都不出现的概率相等,且,求.第三节古典概型与几何概型引例一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1—10.把球搅匀,蒙上眼睛从中任取一球.因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的,所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得,也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可能性均为.这样一类随机试验是一类最简单的概率模型,它曾经是概率论发展初期主要的研究对象.一、古典概型我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。1.随机试验只有有限个可能的结果;2.每一个结果发生的可能性大小相同.。因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为：在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式.设事件包含其样本空间中个基本事件,即则事件发生的概率称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题.二、计算古典概率的方法基本计数原理：1.加法原理：设完成一件事有种方式,其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，……,第种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为.2.乘法原理：设完成一件事有个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，……，第个步骤有种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为.3.排列组合方法：排列公式：(2)组合公式；(3)二项式公式.三、几何概型古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型.这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型—几何概型.（a）设样本空间是平面上某个区域,它的面积记为;（b）向区域上随机投掷一点,这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入内任何部分区域的可能性只与区域的面积成比例,而与区域的位置和形状无关.向区域上随机投掷一点,该点落在区域的的事件仍记为，则概率为,其中为常数，而，于是得，从而事件的概率为几何概率注:若样本空间为一线段或一空间立体,则向“投点”的相应概率仍可用式确定,但应理解为长度或体积.例题选讲：例1一个袋子中装有10个大小相同的球,其中3个黑球,7个白球,求从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率;从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.例2将标号为1,2,3,4的四个球随意地排成一行,求下列各事件的概率:(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的顺序;(2)第1号球排在最右边或最左边;(3)第1号球与第2号球相邻;(4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).例3将3个球随机放入4个杯子中,问杯子中球的个数最多为1,2,3的概率各是多少?例4将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级中,其中一班4名,二班5名,三班6名,求:每一个班级各分配到一名优秀生的概率;3名优秀生被分配到一个班级的概率.例5在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例6一个袋子中装有个球，其中个黑球，个白球，随意的每次从中取出一个球（不放回），求下列各事件的概率：（1）第次取到的是黑球；（2）第次才取到黑球;（3）前次中能取到黑球.几何概型例7某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时,设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.例8会面问题)甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就离开.如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达,试计算二人能够会面的概率.思考题1.设有件产品,其中有件次品,现从中任取件,求其中有件次品的概率.第四节条件概率先由一个简单的例子引入条件概率的概念.一、条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件发生的条件下,求事件发生的条件概率,记作.定义1设是两个事件,且,则称(1)为在事件发生的条件下,事件的条件概率.相应地，把称为无条件概率。一般地，.注:1.用维恩图表达(1)式.若事件已发生,则为使也发生,试验结果必须是既在中又在中的样本点,即此点必属于.因已知已发生,故成为计算条件概率新的样本空间.2.计算条件概率有两种方法:：a)在缩减的样本空间中求事件的概率，就得到；b)在样本空间中，先求事件和，再按定义计算。二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:(2)注意到,及的对称性可得到:(3)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。定理1设是一个完备事件组,且则对任一事件,有注:全概率公式可用于计算较复杂事件的概率,公式指出:在复杂情况下直接计算不易时,可根据具体情况构造一组完备事件,使事件发生的概率是各事件发生条件下引起事件发生的概率的总和.四、贝叶斯公式利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即,一事件已经发生,要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性.例如,有三个放有不同数量和颜色的球的箱子,现从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.或问:该球取自哪号箱的可能性最大?定理2设是一完备事件组,则对任一事件,,有贝叶斯公式注:公式中,和分别称为原因的验前概率和验后概率.是在没有进一步信息(不知道事件是否发生)的情况下诸事件发生的概率.当获得新的信息(知道发生),人们对诸事件发生的概率有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化.特别地,若取,并记,则,于是公式成为例题选讲：条件概率例1一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回)(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.例2袋中有5个球,其中3个红球2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球时,求第二次取得白球的概率.乘法公式例3一袋中装10个球,其中3个黑球、7个白球,先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到的均为黑球的概率.分析：这一概率,我们曾用古典概型方法计算过,这里我们使用乘法公式来计算.在本例中,问题本身提供了两步完成一个试验的结构,这恰恰与乘法公式的形式相应,合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.例4设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率.例5设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.例6)已知，试求 例7一袋中装有10个球,其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.全概率公式例8人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率.例9某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05,求:(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.例10在例7中，我们将“第二次取到的球为黑球”这一事件分解为两种情况下发生，那里利用全概率公式算得“第二次取到的球为黑球”的概率.现在的问题是,假设我们已经观察到“第二次取到的球为黑球”，但我们不知道是在第一次取到的球为黑球的情况下第二次取的是黑球的可能性大，还是在第一次取到的球为白球的情况下第二次取到的是黑球的可能性大，现求“第一次取到的是黑球”这种“情况”发生的概率.例11对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格时,机器调整得良好的概率是多少?例12设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件,(1)求取到的是次品的概率;(2)经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲厂生产的概率.例13根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有现在对自然人群进行普查,设备试验的人患有癌症的概率为0.005,即,试求思考题1.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?第五节事件的独立性一、两个事件的独立性定义若两事件,满足(1)则称,独立,或称,相互独立.注:当,时,,相互独立与,互不相容不能同时成立.但与既相互独立又互不相容(自证).定理1设,是两事件,且,若,相互独立,则.反之亦然.定理2设事件,相互独立,则下列各对事件也相互独立:与,与,与.二、有限个事件的独立性定义：为三个事件,若满足等式则称事件相互独立.对个事件的独立性,可类似写出其定义:定义设是个事件,若其中任意两个事件之间均相互独立,则称两两独立.三、相互独立性的性质性质1若事件相互独立,则其中任意个事件也相互独立;由独立性定义可直接推出.性质2若个事件相互独立,则将中任意个事件换成它们的对立事件,所得的个事件仍相互独立;对时，定理2已作证明,一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.性质3设是个随机事件，则相互独立两两独立。即相互独立性是比两两独立性更强的性质,四、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果:事件发生(记为)或事件不发生(记为),则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验.设将伯努利试验独立地重复进行次,称这一串重复的独立试验为重伯努利试验,或简称为伯努利概型.注:重伯努利试验是一种很重要的数学模型,在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件在每次试验中发生的概率均为,且不受其他各次试验中是否发生的影响.定理3（伯努利定理）设在一次试验中,事件发生的概率为则在重贝努里试验中,事件恰好发生次的概率为推论设在一次试验中,事件发生的概率为则在重贝努里试验中,事件在第次试验中的才首次发生的概率为注意到“事件第次试验才首次发生”等价于在前次试验组成的重伯努利试验中“事件在前次试验中均不发生而第次试验中事件发生”,再由伯努利定理即推得.例题选讲：两个事件的独立性例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记{抽到},{抽到的牌是黑色的},问事件、是否独立?注：从例1可见,判断事件的独立性,可利用定义或通过计算条件概率来判断.但在实际应用中,常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.相互独立性的性质例2已知甲、乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个球.今从甲、乙两袋中各取出一球,设{从甲袋中取出的是偶数号球},{从乙袋中取出的是奇数号球},{从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球},试证两两独立但不相互独立.例3加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.例4如图是一个串并联电路系统.都是电路中的元件.它们下方的数字是它们各自正常工作的概率.求电路系统的可靠性.例5甲,乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p,p≥1/2.问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.例6某种小数移栽后的成活率为90%,一居民小区移栽了20棵,求能成活18的概率.伯努利概型例7一条自动生产线上的产品,次品率为4%,求解以下两个问题:(1)从中任取10件,求至少有两件次品的概率;(2)一次取1件,无放回地抽取,求当取到第二件次品时,之前已取到8件正品的概率.例8一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四个治好则认为这种药有效,反之则认为无效.求（1）虽然新药有效，且把痊愈率提高到0.35，但通过实验却被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过实验却被认为有效的概率.例9一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次黑球的概率.例10一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第站停车的概率以及在第站不停车的条件下第站的概率，并判断“第站停车”与“第站停车”两个事件是否独立.例11某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发,(1)问:欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮?(2)现有3门炮,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机,问:每门炮的命中率应提高到多少?思考题：1.某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中:(1)都不出废品的概率;(2)至少有一天出废品的概率;(3)仅有一天出废品的概率;(4)最多有一天出废品的概率;(5)第一天出废品,其余各天不出废品的概率.第二章随机变量及其分布在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量.由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量.与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性.本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.【教学目的与要求】通过学习，使学生了解随机变量的概念；理解分布函数的概念和性质；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法；理解分布律与概率密度的概念和性质。熟练掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；会利用概率分布计算有关事件的概率。会求简单的随机变量函数的概率分布；【教学重点】离散型随机变量的分布律与连续型随机变量的概率密度的概念和性质；二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；随机变量的函数的分布。【教学难点】连续型随机变量函数的分布；【计划课时】7【教学内容】第一节随机变量的概念一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1.在有些随机试验中,试验的结果本身就由数量来表示.2.在另一些随机试验中,试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.二、随机变量的定义定义：设随机试验的样本空间为,称定义在样本空间上的实值单值函数为随机变量.随机变量与高等数学中函数的比较:(1)都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2)试验结果的出现有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同,通常分为离散型和非离散型两类.而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.例题选讲：例1在抛掷一枚硬币进行打赌时,若规定出现正面时抛掷者赢1元钱,出现反面时输1元钱,则其样本空间为{正面,反面},记赢钱数为随机变量,则作为样本空间的实值函数定义为例2在将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现情况的试验中,其样本空间记每次试验出现正面的总次数为随机变量,则作为样本空间上的函数定义为易见,使取值为的样本点构成的子集为故类似地，有例3在测试灯泡寿命的试验中,每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数,若用表示灯泡的寿命（小时），则是定义在样本空间上的函数，即，是随机变量.思考题：.一报童卖报,每份0.15元,其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报,并规定他不得把卖不出的报纸退回.设为报童每天卖出的报纸份数,试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.第二节离散型随机变量及其分布函数一、离散型随机变量及其概率分布定义设离散型随机变量的所有可能取值为,称为的概率分布或分布律,也称概率函数.常用表格形式来表示的概率分布:二、常用离散分布退化分布两点分布个点上的均匀分布二项分布几何分布超几何分布泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.三、二项分布的泊松近似定理1(泊松定理)在重伯努利试验中,事件在每次试验中发生的概率为(注意这与试验的次数有关),如果时,(为常数),则对任意给定的,有.例题选讲：离散型随机变量及其概率分布例1某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9,求他两次独立投篮投中次数的概率分布.例2设随机变量的概率分布为:.确定常数.二项分布例3已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.例4某人进行射击,每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.例5有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一由4人维护,每人负责20台;其二由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.几何分布例6某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是,求所需射击发数的概率分布.泊松分布例7某一城市每天发生火灾的次数X服从参数的泊松分布,求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.二项分布的泊松近似例8某公司生产的一种产品300件.根据历史生产记录知废品率为0.01.问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?例9一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描述,为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进某种商品多少件?例10自1875年至1955年中的某63年间,上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次,试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.思考题1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.2.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间相等.以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求的概率分布.第三节随机变量的分布函数要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率.只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量,为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.一.随机变量的分布函数定义设是一个随机变量,称为的分布函数.有时记作或.分布函数的性质：1.单调非减.若,则；2.3.右连续性.即二、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的概率分布为则的分布函数为.例题选讲：随机变量的分布函数例1等可能地在数轴上的有界区间上投点,记为落点的位置(数轴上的坐标),求随机变量的分布函数.例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数例3设求.例4具有离散均匀分布,即求的分布函数.例5设随机变量的分布函数为求的概率分布.思考题1．设随机变量的概率分布为,求的的分布函数。第四节连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数,存在非负可积函数,使得对于任意实数有则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.关于概率密度的说明：1.对一个连续型随机变量,若已知其密度函数,则根据定义,可求得其分布函数,同时,还可求得的取值落在任意区间上的概率:；2.连续型随机变量取任一指定值的概率为0；3.若在点处连续,则(1)二、常用连续型分布均匀分布定义若连续型随机变量的概率密度为则称在区间上服从均匀分布,记为.指数分布定义若随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布.简记为正态分布定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数,则称服从参数为和的正态分布.记为注:正态分布是概率中最重要的连续型分布,19世纪前叶由高斯加以推广,又称高斯分布.一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因.例如,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重,测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号噪声、农作物的产量等等,都服从或近似服从正态分布.标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布,此时,其密度函数和分布函数常用和表示:标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理设则标准正态分布表的使用：（1）表中给出了时的数值,当时,利用正态分布的对称性,易见有（2）若则（3）若,则故的分布函数例题选讲：连续型随机变量及其概率密度例1设随机变量的密度函数为求其分布函数.例2设随机变量X具有概率密度例3设随机变量X的分布函数为求(1)概率;(2)X的密度函数.常用连续型分布均匀分布例4某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.指数分布例5某元件的寿命服从指数分布,已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.正态分布例6设,求例7设某项竞赛成绩（65,100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少？例8将一温度调节器放置在内，调节器整定在℃，液体的温度（以℃计）是一个随机变量，且(1)若℃，求小于89℃的概率；(2)若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问至少为多少？例9某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人,临时工20人;报考的人数是1657人,考试满分是400分.考试后得知,考试总平均成绩,即分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,问他能否被录取?能否被聘为正式工?例10在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2.假设电源电压服从正态分布(220，25)，试求：(1)该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率.思考题1.已知，求(1)(2);(3)(4)2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布,已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%,为使其寿命在和之间的概率不小于0.9,至少为多少?第五节随机变量函数的分布一、随机变量的函数定义如果存在一个函数,使得随机变量满足,则称随机变量是随机变量的函数.注:在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时,主要研究函数关系的确定性特征,例如:导数、积分等.而在概率论中,我们主要研究是随机变量函数的随机性特征,即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律.一般地,对任意区间,令,则注:随机变量与的函数关系确定,为从的分布出发导出的分布提供了可能.二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量的概率分布为易见,的函数显然还是离散型随机变量。如何由的概率分布出发导出的概率分布?其一般方法是：先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值,然后对的每一个可能取值确定相应的从而求得的概率分布.三、连续型随机变量函数的分布一般地,连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量,但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形,此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数,而且还希望求出其概率密度函数.设已知的分布函数或概率密度函数,则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得:其中而常常可由的分布函数来表达或用其概率密度函数的积分来表达:进而可通过的分布函数,求出的密度函数.定理1设随机变量具有概率密度,又设处处可导且恒有(或恒有),则是一个连续型随机变量,其概率密度为其中是的反函数,且例题选讲：离散型随机变量函数的分布例1设随机变量具有以下的分布律,试求的分布律连续型随机变量函数的分布例2对一圆片直径进行测量,其值在[5,6]上均匀分布,求圆片面积的概率分布密度.例3设,求的概率密度.例4设,求的密度函数.例5已知随机变量的分布函数是严格单调的连续函数,证明服从上的均匀分布.例6也服从正态分布.例7设随机变量在上服从均匀分布,求的概率密度.例8(对数正态分布)随机变量称为服从参数为的对数正态分布,如果服从正态分布.试求对数正态分布的密度函数.注：在实际中,通常用对数正态分布来描述价格的分布,特别是在金融市场的理论研究中,如著名的期权定价公式（Black—Scholes公式）,以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格.设某种资产当前价格为,考虑单期投资问题,到期时该资产的价格为一个随机变量,记作,设投资于该资产的连续复合收益率为,则有从而注意到为当前价格,是已知常数,因而假设价格服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率服从正态分布.例9设随机变量服从参数为的指数分布,求的分布函数.思考题1.设X的分布列为求:(1)2X的分布列;(2)的分布列.2.设随机变量的概率密度为求的概率密度.第三章多维随机变量及其分布在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如,研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高、体重,这里,和是定义在同一个样本空间{某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量.又如,考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标和纵坐标.在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们重点讨论二维随机变量.【教学目的与要求】通过学习，使学生了解随机向量（多维随机变量）的概念；了解二维随机变量的联合分布函数、联合分布律、联合分布密度的概念和性质，并会计算有关事件的概率。掌握二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系。理解随机变量独立性的概念，并会应用随机变量的独立性进行概率计算。会求简单的二维随机变量函数的分布。【教学重点】二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系与计算；随机变量的独立性。【教学难点】条件分布；二维随机变量函数的分布；【计划课时】5【教学内容】第一节多维随机变量的分布一、二维随机变量定义1设随机试验的样本空间为,为样本点，而是定义在上的两个随机变量,称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量.二、二维随机变量的分布函数定义2设是二维随机变量,对任意实数,二元函数称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.联合分布函数的性质:（1）且对任意固定的对任意固定的(2)关于和均为单调非减函数,即对任意固定的当对任意固定的当(3)关于和均为右连续,即三、二维离散型随机变量及其概率分布定义3若二维随机变量只取有限个或可数个值,则称为二维离散型随机变量.结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量所有可能的取值为则称为二维离散型随机变量的概率分布(分布律),或的联合概率分布(分布律).与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示,并称为联合概率分布表:注：对离散型随机变量而言,联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率，即,特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数:四、二维连续型随机变量及其概率密度定义设为二维随机变量,为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数,使对任意实数,有则称为二维连续型随机变量,为的概率密度(密度函数),或的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数的性质:(3)设是平面上的区域,点落入内的概率为特别地,边缘分布函数上式表明:是连续型随机变量,且其密度函数为:同理,是连续型随机变量,且其密度函数为:,分别称和为关于和的边缘密度函数.(4)若在点连续,则有进一步,根据偏导数的定义,可推得:当很小时,有即,落在区间上的概率近似等于五、二维均匀分布设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概率密度函数则称在上服从均匀分布.六、二维正态分布若二维随机变量具有概率密度其中均为常数,且,则称服从参数为的二维正态分布.注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数，亦即对给定的，不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于和关于的边缘分布，一般来说不能确定二维随机变量的联合分布的例题选讲：二维随机变量的分布函数例1设二维随机变量的分布函数为(1)试确定常数(2)求事件的概率.二维离散型随机变量及其概率分布例2设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在1~中等可能地取一整数值，试求的分布律.例3把一枚均匀硬币抛掷三次,设为三次抛掷中正面出现的次数,而为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求的概率分布及关于的边缘分布.例4设二维随机变量的联合概率分布为YX010.30.10.110.050.2020.200.05求及二维连续型随机变量及其概率密度例5的概率分布由表3—1B给出，求 表3—1B0200.10.2010.20.050.120.1500.1例6一整数等可能地在十值中取一个值.设是能整除的正整数的个数，是能整除的素数的个数（注意1不是素数）.试写出和的联合分布律.并求分布律.例7(1)求分布函数(2)求概率例8设的概率密度是求(1)的值;(2)两个边缘密度.二维均匀分布例9设随机变量和具有联合概率密度求边缘概率密度.例10设服从单位圆域上的均匀分布,求X和Y的边缘概率密度.二维正态分布例11设二维随机变量的概率密度试求关于的边缘概率密度函数.思考题1.将两封信随意地投入3个邮筒,设,分别表示投入第1,2号邮筒中信的数目,求和的联合概率分布及边缘概率分布.2.设向量的密度函数的密度函数为求(1)参数的值；（2）的边缘密度.第二节条件分布与随机变量的独立性一、条件分布的概念设是一个随机变量,其分布函数为若另外有一事件已经发生,并且的发生可能会对事件发生的概率产生影响,则对任一给定的实数,记称为在发生的条件下,的条件分布函数.二、随机变量的独立性设是随机变量所生成的事件:,且,则有.一般地,由于随机变量之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性.在何种情况下,随机变量之间没有上述影响,而具有所谓的“独立性”,我们引入如下定义.定义设随机变量的联合分布函数为,边缘分布函数为,,若对任意实数,有即则称随机变量和相互独立.关于随机变量的独立性,有下列两个定理.定理1随机变量与相互独立的充要条件是所生成的任何事件与生成的任何事件独立,即,对任意实数集,有定理2如随机变量与相互独立,则对任意函数均有相互独立.三、离散型随机变量的条件分布与独立性设是二维离散型随机变量,其概率分布为由条件概率公式,当,有称其为在条件下随机变量的条件概率分布.对离散型随机变量,其独立性的定义等价于:若对的所有可能取值有即则称和相互独立.四、连续型随机变量的条件密度与独立性定义设二维连续型随机变量的概率密度为,边缘概率密度为,则对一切使的,定义在的条件下的条件概率密度为.对一切使的,定义在的条件下的条件密度函数为.注:关于定义表达式内涵的解释.以为例.在上式左边乘以,右边乘以即得换句话说,对很小的和,表示已知取值于和之间的条件下,取值于和之间的条件概率.对二维连续型随机变量,其独立性的定义等价于:若对任意的,有几乎处处成立,则称相互独立.注:这里“几乎处处成立”的含义是:在平面上除去面积为0的集合外,处处成立.例题选讲：条件分布的概念例1设服从上的均匀分布,求在已知的条件下的条件分布函数.随机变量的独立性例2设与的联合概率分布为YX0200.10.2010.30.050.120.1500.1(1)求时,的条件概率分布以及时,的条件概率分布;(2)判断与是否相互独立?例3设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.YX1/81/81/61例4一射手进行射击,击中目标的概率为,射击进行到击中目标两次为止.以表示首次击中目标所进行射击次数,以表示总共进行的射击次数.试求和的联合分布及条件分布.连续型随机变量的条件密度与独立性例5设的概率密度为;问和是否独立?例6设服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 求例7设(1)求和.(2)证明与相互独立的充要条件是.例8甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少?例9设数在区间均匀分布，当观察到时，数在区间上等可能随机地取值.求的概率密度.例10设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为，当日销售量为假定一天中不再上柜台上补充货物，于是.根据历史资料，的概率密度函数为即服从直角三角形区域上的均匀分布,见图3—2A.求(1)给定条件下,的条件分布.(2)假定某日开门时,件,求这天顾客买走件的概率.如果件呢?例11设随机变量的概率密度为(1)求与的边际概率密度,并判断与是否相互独立;(2)求在的条件下,的条件概率密度;(3)求概率思考题1.设的分布律如下YX12311/61/91/1821/3问为何值时,与相互独立.2.设的概率密度是求3.设，试判断与是否相互独立.第三节多维随机变量函数的分布在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用和分别表示一个人的年龄和体重，表示这个人的血压，并且已知与，的函数关系式,现希望通过的分布来确定的分布.此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:(i);(ii)和，其中与相互独立.注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.一、离散型随机变量的函数的分布设是二维离散型随机变量,是一个二元函数,则作为的函数是一个随机变量,如果的概率分布为设的所有可能取值为,则的概率分布为二、连续型随机变量的函数的分布设是二维连续型随机向量,其概率密度函数为,令为一个二元函数,则是的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布.a)求分布函数其中,b)求其概率密度函数,对几乎所有z,有定理1设是具有密度函数的连续型随机向量.(1)设是到自身的一一映射,即存在定义在该变换的值域上的逆变换:(2)假设变换和它的逆都是连续的;(3)假设偏导数存在且连续;(4)假设逆变换的雅可比行列式,即对于在变换的值域中的是不为0的.则具有联合密度定理2设相互独立，且则仍然服从正态分布，且更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即有定理3若且它们相互独立，则对任意不全为零的常数，有.三、及的分布设随机变量相互独立,其分布函数分别为和,由于不大于z等价于和都不大于z,故有类似地,可得的分布函数例题选讲：离散型随机变量的函数的分布例1设随机变量的概率分布如下表YX0120.20.150.10.320.100.10.05求二维随机变量的函数Z的分布:例2设和相互独立,求的分布.例3(若和相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明服从参数为的泊松分布.连续型随机变量的函数的分布例4设随机变量与相互独立,且同服从上的均匀分布,试求的分布函数与密度函数.例5设的密度函数为令试用表示和的联合密度函数.和的分布：设和的联合密度为,求的密度.卷积公式:当和独立时,设关于的边缘密度分别为则上述两式化为以上两个公式称为卷积公式.例6设和是两个相互独立的随机变量.它们都服从分布,其概率密度为例7设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度函数为如果各周的需要量相互独立,求两周需要量的概率密度函数.例8设与相互独立,且均在区间上服从均匀分布,求的密度函数.例9设相互独立且分别服从参数为的分布(分别记成的概率密度分别为试证明服从参数为的分布.商的分布：设二维随机向量的密度函数为,求的密度函数.例10在一简单电路中,两电阻和串联连接,设相互独立,它们的概率密度均为求总电阻的概率密度.例11设X与Y相互独立,它们都服从参数为的指数分布.求的密度函数.积的分布：设具有密度函数,则的概率密度为例12设二维随机向量在矩形上服从均匀分布,试求边长为和的矩形面积的密度函数.例13设随机变量独立,且有相同的几何分布:，求的分布.例14设系统由两个相互独立的子系统联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用（当系统损坏时，系统开始工作），如图3—3—6所示.设的寿命分别为,已知它们的概率密度分别为其中且试分别就以上三种联接方式写出寿命的概率密度.思考题1.已知的分布律为01200.100.250.1510.150.200.15求:（1）（2）（3）（4）分布律.2.若和独立,具有共同的概率密度求的概率密度.第四章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数,从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中,人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只要知道它的某些数字特征即可.例如,在评价某地区粮食产量的水平时,通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如,在评价一批棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度,平均长度较大,偏离程度小,则质量就较好.等等实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义,它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括:数学期望、方差、相关系数、矩.【教学目的与要求】通过学习，使学生理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算；会计算随机变量函数的数学期望。熟记二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。了解协方差与相关系数的概念并掌握它的性质与计算。了解矩的概念。【教学重点】数学期望、方差、协方差、相关系数的概念、性质和计算。【教学难点】相关系数【计划课时】5【教学内容】第一节数学期望一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征,它对评判事物、作出决策等具有重要作用.定义设是离散型随机变量的概率分布为如果绝对收敛,则定义的数学期望(又称均值)为二、连续型随机变量的数学期望定义设是连续型随机变量,其密度函数为,如果绝对收敛,定义的数学期望为三、随机变量函数的数学期望设是一随机变量,为一实函数,则也是一随机变量,理论上,虽然可通过的分布求出的分布,再按定义求出的数学期望.但这种求法一般比较复杂.下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1设是一个随机变量,,且存在,则（1）若为离散型随机变量,其概率分布为则的数学期望为（2）若为连续型随机变量,其概率密度为,则的数学期望为注:(i)定理的重要性在于:求时,不必知道的分布,只需知道的分布即可.这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;(ii)上述定理可推广到二维以上的情形,即定理2设是二维随机向量,,且存在,则（1）若为离散型随机向量,其概率分布为则的数学期望为（2）若为连续型随机向量,其概率密度为则的数学期望为四、数学期望的性质1.设是常数,则2．若是常数，则3.4.设独立,则;注:(i)由不一定能推出独立，例如，在例10中，已计算得，但，显故与不独立(ii)这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.例题选讲：离散型随机变量的数学期望例1甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为,它们的分布律分别为试评定他们的成绩的好坏.例2某种产品的每件表面上的疵点数服从参数的泊松分布,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵点数超过4个为废品.求(1)产品的废品率;(2)产品价值的平均值.例3按规定，某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立.其规律为8:00~9:00到站时间9:00~10:00到站时间8:109:108:309:308:509:50概率1/63/62/6一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.连续型随机变量的数学期望例4已知随机变量X的分布函数,求例5某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为(以年计),规定: 设寿命服从指数分布,概率密度为试求该商店一台电器收费的数学期望.例6设随机变量且求a与b的值,并求分布函数.例7有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命服从统一指数分布,其概率密度为,若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)的数学期望.随机变量函数的数学期望例8设的联合概率分布为，求YX01231301/83/803/8001/8例9设随机变量X在上服从均匀分布,求及例10设随机变量的概率密度求数学期望例11设某商店经营一种商品,每周的进货量X和顾客对该种商品的需求量Y是两个相互独立的随机变量,均服从[10,20]上的均匀分布.此商店每售出一个单位的商品可获利1000元,若需求量超过进货量,可从其他商店调剂供应,此时售出的每单位商品仅获利500元.求此商店经销这种商品每周获利的期望.例12设均存在，证明.例13若求数学期望的性质例14一民航送各车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).思考题1.设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏,假定游戏的规则不公正,以致两人获胜的概率不等,甲为,乙为,.为了补偿乙的不利地位,另行规定两人下的赌注不相等,甲为,乙为,.现在的问题是:究竟应比大多少,才能做到公正?2.某种新药在400名病人中进行临床试验有一半人服用，一班人未服，经过5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新药的.试用概率统计方法说明新药的疗效.3.把数字任意地排成一列,如果数字恰好出现在第个位置上,则称为一个巧合,求巧合个数的数学期望.第二节方差随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价,而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.一、方差的定义定义1设是一个随机变量,若存在,则称它为的方差,记为方差的算术平方根称为标准差或均方差,它与具有相同的度量单位,在实际应用中经常使用.方差刻划了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定义易见:(1)若的取值比较集中,则方差较小;(2)若的取值比较分散,则方差较大;(3)若方差,则随机变量以概率1取常数值,此时也就不是随机变量了.二、方差的计算若是离散型随机变量,且其概率分布为则若是连续型随机变量,且其概率密度为则利用数学期望的性质,易得计算方差的一个简化公式:.三、方差的性质1.设常数,则;2.若是随机变量,若是常数,则3.设是两个随机向量,则特别地,若相互独立,则注:对维:若相互独立,则*四、条件数学期望和条件方差简介由于随机变量之间存在相互联系,一个随机变量的取值可能会对另一随机变量的分布产生影响,这种影响会在数字特征上得到反映.下面要讨论的是：在某个随机变量取某值的条件下，求另一个与之相关的随机变量的数字特征.作为简介，我们直接给出它们的定义1.设是离散型随机向量,其概率分布为定义2(i)称（绝对收敛）为在条件下的条件数学期望.类似地，称（绝对收敛）为在条件下的条件数学期望;(ii)称（绝对收敛）为在条件下的条件方差.类似地，称（绝对收敛）为在条件下的条件方差.2．设是连续型随机向量,是在条件下的概率密度，是在条件下的概率密度.定义3(i)称（绝对收敛）为在条件下的条件数学期望;类似地，称（绝对收敛）为在条件下的条件数学期望;(ii)称（绝对收敛）为在条件下的条件方差;类似地，称（绝对收敛）为在条件下的条件方差.例题选讲:方差的计算例1设随机变量具有数学期望方差记则的数学期望为0,方差为1.称为X的标准化变量.例2设随机变量具有分布,其分布律为求例3设求例4设求例5设随机变量服从指数分布,其概率密度为其中求例6设随机变量服从几何分布,概率函数其中,求.例7设随机变量的联合点分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的期望与方差.方差的性质例8设证明当时,达到最小值.注：本例子说明了数学期望是随机变量X取值的集中位置,反映了X的平均值.例9(设,求例10设求例11设活塞的直径（以cm计）,气缸的直径相互独立,任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.例12随机变量和相互独立,证条件数学期望和条件方差简介例13设，求.思考题1.设随机变量的密度函数为 求2.设随机变量的概率分布律为试求及的期望与方差.第三节协方差及相关系数对多维随机变量,随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系.本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征.一、协方差的定义定义设为二维随机向量,若存在,则称其为随机变量和的协方差,记为,即按定义,若为离散型随机向量,其概率分布为则若为连续型随机向量,其概率分布为则.此外,利用数学期望的性质,易将协方差的计算化简.特别地,当与独立时,有二、协方差的性质1.协方差的基本性质,其中是常数;为任意常数;(6)若与相互独立时,则2.随机变量和的方差与协方差的关系特别地,若与相互独立时,则.三、相关系数的定义与性质定义设为二维随机变量,称为随机变量和的相关系数.有时也记为.特别地，当时，称与不相关.相关系数的性质1.2.若和相互独立,则.3.若,则当且仅当存在常数使,而且当时,;当时,.注:相关系数刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.的值越接近1,Y与X的线性相关程度越高;的值越近于0,Y与Y的线性相关程度越弱.当时,Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.当时,Y与X之间不是线性关系.4.设称为用来近似Y的均方误差,则有下列结论.设则使均方误差达到最小.注:可用均方误差e来衡量以近似表示Y的好坏程度,e值越小表示与Y的近似程度越好.且知最佳的线性近似为而其余均方误差.从这个侧面也能说明.越接近1,e越小.反之,越近于0,e就越大.Y与X的线性相关性越小.四、矩的概念定义设和为随机变量,为正整数,称为阶原点矩(简称阶矩阵);为阶中心矩;为阶绝对原点矩;为阶绝对中心矩;为和的阶混合矩;为和的阶混合中心矩;注:由定义可见:(1)的数学期望是的一阶原点矩;(2)的方差是的二阶中心矩;(3)协方差是和的二阶混合中心矩.五、协方差矩阵将二维随机变量的四个二阶中心矩排成矩阵的形式:（对称矩阵），称此矩阵为的协方差矩阵.类似定义维随机变量的协方差矩阵.若都存在,则称为的协方差矩阵.六、n维正态分布的概率密度七、n维正态分布的几个重要性质例题选讲：协方差的性质例1已知离散型随机向量的概率分布为，求.YX0200.10.2010.30.050.120.1500.1

例2设连续型随机变量的密度函数为求和.相关系数的性质例3设(X,Y)的分布律为XY121401/41/401/4001/41/21/21/41/41/41/41易知于是不相关.这表示不存在线性关系.但知不是相互独立的.事实上,和具有关系:的值完全可由的值所确定.例4设服从上的均匀分布,判断与是否不相关,是否独立.例5已知,且与的相关系数设求及例6设服从二维正态分布,它的概率密度为求和的相关系数.注：在上一章中我们已经得到：若服从二维正态分布,那么和相互独立的充要条件为.现在知道即为与的相关系数,故有下列结论:“若服从二维正态分布，则与相互独,立当且仅当与不相关”.n维正态分布的几个重要性质例7设随机变量和相互独立且，试求的概率密度.思考题1.对不同品牌的某种机械的两项重要指标评分,设为其所得分数(百分制).已知;现以服从正态分布的综合分来决定各参评品牌的名次.(1)试求Y的分布;(2)如果对综合分的品牌颁奖,试计算获奖者的百分比.第五章大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性.例如,大量的抛掷硬币的随机试验中,正面出现频率;在大量文字资料中,字母使用频率;工厂大量生产某种产品过程中,产品的废品率等.一般地,要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律,就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中,人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性.这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景.在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理大数定理和中心极限定理.【教学目的与要求】通过学习，使学生了解契比雪夫不等式的定义并会利用其进行概率估算，了解契比雪夫定理和伯努里定理。理解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛-拉普拉斯定理，并会利用其进行概率近似计算。【教学重点】契比雪夫不等式与中心极限定理。【教学难点】中心极限定理【计划课时】3【教学内容】一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似,在概率论中,我们要考虑随机变量序列的收敛性.定义1设是一个随机变量序列,为一个常数,若对于任意给定的正数,有则称序列依概率收敛于,记为定理1设又设函数在点连续,则.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量有期望和方差,则对于任给,有.上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i)由切比雪夫不等式可以看出,若越小,则事件的概率越大,即,随机变量集中在期望附近的可能性越大.由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii)当方差已知时,切比雪夫不等式给出了与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取则有故对任给的分布,只要期望和方差存在,则随机变量取值偏离超过的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3(切比雪夫大数定律)设是两两不相关的随