湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题16解题技巧专题：不等式(组)中含参数问题压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)

专题16解题技巧专题：不等式(组)中含参数问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一根据不等式的解集求参数】 1【类型二利用整数解求参数的取值范围】 3【类型三根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 5【类型四整式方程(组)与不等式(组)结合求参数】 6【类型五分式方程与不等式(组)结合求参数】 9【过关检测】 13【典型例题】【类型一根据不等式的解集求参数】例题：（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·湖南长沙·校考一模）“▲”表示一种运算符号，其意义是，例如：．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图表示，则k的取值是（）

A．4 B．2 C．0 D．﹣22．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）若不等式的解集为，则a的取值范围是．3．（2023春·辽宁营口·七年级校考期中）若不等式的解都能使不等式成立，则实数m的取值范围是．【类型二利用整数解求参数的取值范围】例题：（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）若关于x的不等式组共有2个整数解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为（

）A． B． C． D．【类型三根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围】例题：（2023春·七年级课时练习）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级阶段练习）若不等式组的解集为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市湘郡培粹实验中学校考开学考试）已知不等式组的解集为，则的值是．【类型四整式方程(组)与不等式(组)结合求参数】例题：（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是______．【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·四川成都·八年级成都市第二十中学校校考阶段练习）若方程组的解满足，则m的取值范围为_________．【类型五分式方程与不等式(组)结合求参数】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为（

）A．8 B．24 C．14 D．28【变式训练】1．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是(

)A． B．且 C． D．且2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（

）A．10 B．12 C．16 D．143．（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为．【过关检测】一、单选题1．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）如图，是关于的不等式的解集，则整数的值为（

）

A． B． C． D．2．（2022春·河北邯郸·七年级校考期末）如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023春·吉林长春·七年级校考期中）已知不等式的正整数解有3个，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023春·四川眉山·七年级校考期中）若不等式组的整数解共有8个，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）已知关于的方程的解为非负数，则的范围为．7．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）已知关于的不等式的正整数解有且只有2个，则的取值范围为．8．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是．9．（2023秋·安徽芜湖·八年级统考期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是．10．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集，则所有满足条件的整数的值之和为．三、解答题11．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）已知：x，y满足．(1)用含x的代数式表示y，结果为y＝______；(2)若y满足，求x的取值范围；(3)若x，y满足，且；求a的取值范围．12．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．(1)求k的取值范围；(2)在(1)的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的k的整数值．13．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于，的方程组的解满足为非正数，不大于．（1）求的取值范围；（2）求当为何整数时，不等式的解集为．14．（2023秋·安徽芜湖·八年级校考开学考试）对于定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：（1）已知①求的值；②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求实数的取值范围．（2）若对于任意不相等的实数都成立，求与满足的关系式．15．（2023春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”．(1)试判断方程①，②是否是不等式组的有缘方程，并说明理由；(2)若关于x的方程（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，求整数k的值；(3)若方程，都是关于x的不等式组的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围．

专题16解题技巧专题：不等式(组)中含参数问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一根据不等式的解集求参数】 1【类型二利用整数解求参数的取值范围】 3【类型三根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 5【类型四整式方程(组)与不等式(组)结合求参数】 6【类型五分式方程与不等式(组)结合求参数】 9【过关检测】 13【典型例题】【类型一根据不等式的解集求参数】例题：（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式，结合数轴上的解列等式求解即可得到答案．【详解】解：解不等式得，，由图像得，不等式的解集为：，∴，解得：，故选B；【点睛】本题考查不等式的解，解题的关键是看懂数轴得到解集．【变式训练】1．（2022·湖南长沙·校考一模）“▲”表示一种运算符号，其意义是，例如：．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图表示，则k的取值是（）

A．4 B．2 C．0 D．﹣2【答案】A【分析】根据，可得，求得不等式的解集，根据数轴得出，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，从数轴可知，解得，故选：A．【点睛】本题考查实数的运算、解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集和解一元一次方程，能正确识图是解题的关键．2．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）若不等式的解集为，则a的取值范围是．【答案】【分析】分两种情况：当，时，分别求不等式的解集，在确定与条件相符的情况即可求解．【详解】解：解不等式，当，即时，原不等式可化为，即，与已知相矛盾；当时，即时，原不等式可化为，即，符合题意；∴a的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质：在不等式两边同时除以一个负数时，要改变不等号的方向是解题的关键．3．（2023春·辽宁营口·七年级校考期中）若不等式的解都能使不等式成立，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】解不等式，得，据此知都能使不等式成立得到，从而得解．【详解】解不等式，得，都能使不等式成立，，∴实数m的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．【类型二利用整数解求参数的取值范围】例题：（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）若关于x的不等式组共有2个整数解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式，得，结合不等式组的整数解的情况，得出关于m的不等式组，求解即可．【详解】解不等式，得，∵关于x的不等式组共有2个整数解，∴这两个整数解为，∴，解得，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，得出关于m的不等式组．【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式求得不等式的解集，再根据不等式只有三个正整数解，可得到一个关于a的不等式，最后求得a的取值范围即可．【详解】解：解不等式，解得：，不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，根据题意得：，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式的整数解，正确求解不等式得到解集是解答本题的关键．2．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可先用表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于的不等组，可求得的取值范围．【详解】，解①得：，解②得：，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为：，∵不等式组恰有四个整数解，∴整数解为：0、1、2、3，∴，故选：C【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．【类型三根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围】例题：（2023春·七年级课时练习）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____．【答案】【分析】先对原不等式组解答，再根据关于x的不等式组无解，从而可以得到a的取值范围，本题得以解决．【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∵关于x的不等式组无解，∴，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级阶段练习）若不等式组的解集为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式解集判断口诀同大取大可知：．【详解】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知．故选：D．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市湘郡培粹实验中学校考开学考试）已知不等式组的解集为，则的值是．【答案】【分析】把a和b当做已知数，分别求解两个不等式，根据不等式组的解集，得出，求出a和b的值，最后将a和b的值代入即可求解．【详解】解：，由①可得：，由②可得：，∵不等式组解集为，∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．【类型四整式方程(组)与不等式(组)结合求参数】例题：（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是______．【答案】【分析】由已知方程组得出且，根据得出关于的不等式组，解之即可得出答案．【详解】解：，，得：，∴，，得：，∵，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据方程组和不等式组得出关于m的不等式组．【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先解不等式组，求出a的范围，再根据的解为正整数，确定a的值，从而求出答案．【详解】解不等式①得：解不等式②得：∵关于的不等式组有解，∴∴解∵关于的方程的解为正整数∴当时，，∴∴当时，，∴当时，，∴应舍去当时，，不符合条件，∴满足条件的所有整数的个数是2个故选B．【点睛】本题考查解一元一次不等式组及一元一次方程中字母的值，解题的关键是明确如何讨论a的个数．2．（2023春·四川成都·八年级成都市第二十中学校校考阶段练习）若方程组的解满足，则m的取值范围为_________．【答案】【分析】先将两个方程相加，得到x+y的值，然后求解即可．【详解】解：解方程组：①＋②得，x+y=m+2，∵，∴m+2>5，解得：．故答案为：．【点睛】题目主要考查解方程组及不等式，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．【类型五分式方程与不等式(组)结合求参数】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为（

）A．8 B．24 C．14 D．28【答案】A【分析】利用不等式组的解为，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相乘即可得出结论．【详解】解：，解不等式①得，，解得，解不等式②得，解得，∵关于的一元一次不等式组的解集为，∴，∴，关于的分式方程的解为，∵是原分式方程的增根，∴，∴，∵关于的分式方程的解为正整数，∴为正整数，∴，∵，∴，∴所有满足条件的整数的积为，故选：A．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，注意解分式方程可能产生增根是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是(

)A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】先解关于x的方程得到用m的代数式表达的x的值，再根据原方程的解为正数，列出关于m的不等式组，解此不等式组即可求得m的取值范围．【详解】解：由题意可知解关于x的方程得：，∵关于x的方程的解为正数，∴，解得：且．故选：B．【点睛】本题考查分式方程的根，解不等式组，解题的关键是理解m的取值需同时满足以下两个条件：（1）解关于x的方程所得的不能是增根，即；（2）．2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（

）A．10 B．12 C．16 D．14【答案】B【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且，即可求得满足条件的所有整数的值．【详解】解不等式，得．解不等式，得．因为关于的不等式组无解，可得．解得．解关于的分式方程，得．∵为整数，，,∴或或．∴满足条件的所有整数的和．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．3．（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为．【答案】1【分析】由题意，求得不等式组的解集为；由不等式有且只有四个整数解，则，解得，；解分式方程得，；由方程的解为非负数，可得，解得，；综上，且，的值为；然后求和即可．【详解】解：，解①得，；解②得，，∴不等式组的解集为；∵不等式有且只有四个整数解，∴，解得，；，解分式方程得，；∵方程的解为非负数，∴，解得，；综上，且，∵a是整数，∴的值为；∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解分式方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【过关检测】一、单选题1．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）如图，是关于的不等式的解集，则整数的值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的解集，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解不等式得：，∵由图可得不等式的解集为，∴，∴．故选：．【点睛】此题考查了不等式的解集，解题关键是当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据数轴上的解集进行判断，求得另一个字母的值．2．（2022春·河北邯郸·七年级校考期末）如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变可得，从而可得答案．【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，∴，解得：，故选D【点睛】本题考查的是不等式的性质，不等式解法，熟记不等式的性质是解本题的关键．3．（2023春·吉林长春·七年级校考期中）已知不等式的正整数解有3个，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的正整数解有3个，求出a的取值范围即可．【详解】解：∵，∴，∵不等式的正整数解有3个，即为：，∴；故选B．【点睛】本题考查根据一元一次不等式的解集情况求参数的取值范围，正确的求出不等式的解集，是解题的关键．4．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得m的范围．【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，∵不等式组的解集为，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．5．（2023春·四川眉山·七年级校考期中）若不等式组的整数解共有8个，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将当成已知数，求得不等式组的解集，再根据有8个整数解，确定的取值范围，即可．【详解】解：解不等式可得：解不等式可得：则不等式组的解集为：∵不等式组的整数解共有8个∴解得故选：B【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解集求解参数，解题的关键是正确求得不等式组的解集．二、填空题6．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）已知关于的方程的解为非负数，则的范围为．【答案】/【分析】先求出关于的方程的解，然后根据题意可列不等式组进行求解即可．【详解】解：，，∴，∵方程的解为非负数，∴，解得．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法及一元一次不等式组的解法，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．7．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）已知关于的不等式的正整数解有且只有2个，则的取值范围为．【答案】【分析】先解不等式，再根据题意列出不等式组求解．【详解】解：解关于的不等式得：，由题意得：不等式的正整数解为：1，2，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解不等式的方法是解题的关键．8．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是．【答案】【分析】解不等式组，根据该不等式组无解，可得答案．【详解】解：解不等式①得：解不等式②得：∵不等式组无解，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．9．（2023秋·安徽芜湖·八年级统考期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是．【答案】且【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．【详解】解：，去分母得，，整理得，，解得，，∵分式方程的解为正数，∴且，∴且．故答案为：且．【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式．解分式方程时注意分母不能为零．10．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集，则所有满足条件的整数的值之和为．【答案】11【分析】先解分式方程，得出，根据解为正数，得出；分别求解两个不等式，根据解集，得出，即可得出满足条件的整数的值，即可求解．【详解】解：，去分母，得：，移项，得：，合并同类项，得：，化系数为1，得：，∵分式方程的解为正数，∴，解得：；，由①可得：，由②可得：，∵不等式组的解集为，∴，解得：，∴，则满足条件的整数的值为：，∴满足条件的整数的值之和为，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了解分式方程和解不等式组，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．三、解答题11．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）已知：x，y满足．(1)用含x的代数式表示y，结果为y＝______；(2)若y满足，求x的取值范围；(3)若x，y满足，且；求a的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由已知可得；（2）由已知可得，即可求的取值范围；（3）由已知可得，再由，可求，即可求的取值范围．【详解】（1）解：，，，故答案为：；（2），，，，，，，即的取值范围是；（3），，，，解得：①，，，解得：②，由①和②可得，．【点睛】本题考查二元一次方程和不等式的性质，熟练掌握二元一次方程的解法和不等式的基本性质是解题的关键．12．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．(1)求k的取值范围；(2)在(1)的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的k的整数值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）观察方程两式相见即可得到，再根据代入求解即可得到答案；（2）分类解出不等式的解集，再根据求解即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，得，，∵，∴，解得；（2）解：不等式移项可得，当时，，不符合题意舍去；时，，解得，由（1）得，∴符合的k值有，．【点睛】本题考查含参方程组的解的问题及不等式含参解的问题，解题关键是正确解方程组及不等式．13．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于，的方程组的解满足为非正数，不大于．（1）求的取值范围；（2）求当为何整数时，不等式的解集为．【答案】（1）；（2），【分析】（1）解方程组得，，；根据x为非正数，y为负数得，，解之可得答案；（2）由不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1知2m+1＜0，解之得出m，再从中找到符合此条件的整数m的值即可．【详解】（1）解方程组得，，；，．．．，．．．．（2）的解集为∴，．．为整数，，．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．（2023秋·安徽芜湖·八年级校考开学考试）对于定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右