湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题12模型构建专题：“手拉手”模型-共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题12模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一共顶点的等边三角形】 1【类型二共顶点的等腰直角三角形】 10【类型三共顶点的一般等腰三角形】 17【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，、交于点P，且分别与、交于点M，N，证明：

(1)；(2)；(3)．【变式训练】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，与是等边三角形，连接、，有以下结论：（）；（）；（）；（）；（）无论如何改变的度数，与始终全等．其中正确结论的序号为．2．（2023·安徽安庆·校考三模）已知和△ADE都是等边三角形，分别连接．

(1)如图1，若．①求的度数；②延长交于点F，求证：；(2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接．求证：平分．3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．

(1)将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．4．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践特例感知：如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．

(1)试判断和的数量关系，并说明理由．(2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．(3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知和均为等腰直角三角形，且(1)试说明：(2)试判断和的位置关系，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，且，与交于点，(1)求证：；(2)求证：．3．（2023春·全国·七年级专题练习）与均为等腰直角三角形，．(1)如图1，当，，在同一直线时，的延长线与交于点．求证：；(2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论；(3)如图3，当，，在同一直线时（，在点的异侧），与交于点，，求证：．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．则①___________（填>、＜或=）②连接线段和，则___________（填>、＜或=）(2)如图②，和互为“兄弟三角形”，，，若点D、点E均在外，连接、交于点M，连接，则线段还满足以上数量关系吗？请说明理由【变式训练】1．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．

(1)试说明：；(2)求的度数．2．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．

(1)如图1，当时，①、的形状是____________；②求证：．(2)若，①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．

专题12模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一共顶点的等边三角形】 1【类型二共顶点的等腰直角三角形】 10【类型三共顶点的一般等腰三角形】 17【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，、交于点P，且分别与、交于点M，N，证明：

(1)；(2)；(3)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）先证明，根据全等三角形的性质即可证明；（3）由三角形内角和定理可得，即可证明．【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，在与中，，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，，，在与中，，∴，∴；（3）∵，又∵∴．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．【变式训练】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，与是等边三角形，连接、，有以下结论：（）；（）；（）；（）；（）无论如何改变的度数，与始终全等．其中正确结论的序号为．【答案】（）（）（）【分析】根据与是等边三角形可得，，，继而得到，可证，，，，在改变的度数时，的度数也会发生变化，同时也会出现、、三点共线情况，即可得到正确结论．【详解】解：∵与是等边三角形，∴，，，∴，即；在和中，∵，，，∴，∴故（）正确；∴，，∴结论（）正确；设与相交于点，如图所示：∵，，∴；∴结论（）正确；∵当或时，、、三点共线，构不成三角形，∴无论如何改变的度数，与始终全等不成立；∴结论（）错误；∵当时，，当发生变化时，的度数也会变化，∴结论（）错误；故答案为：（）（）（）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．2．（2023·安徽安庆·校考三模）已知和△ADE都是等边三角形，分别连接．

(1)如图1，若．①求的度数；②延长交于点F，求证：；(2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接．求证：平分．【答案】(1)①为；②证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）①证明，则，根据，计算求解即可；②如图1，过点C作，交的延长线于点H，则，由，可得，则，，由，可得，，证明，进而结论得证；（2）如图2，过点A分别作于点P，于点Q，同（1）可证，则，，即，解得，由，，可得平分．【详解】（1）解：①和△ADE都是等边三角形，，，

∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴为．②证明：如图1，过点C作，交的延长线于点H，则，

由①知，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴．（2）证明：如图2，过点A分别作于点P，于点Q，

，∴，∴，，即，解得，∵，，∴平分．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，角平分线的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．

(1)将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3)当为180度时，线段的长度最大，最大值为；当为0度或360度时，线段的长度最小，最小值为．【分析】（1）先由等边三角形判断出，，再由旋转判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）当点在的延长线上时，最大，最大值为，当点在线段上时，最小，最小值为，即可得出结论．【详解】（1）解：证明：点与重合，和，和都是等边三角形，，，由旋转知，，在和中，，，，（2）解：，证明：和都是等边三角形，，，由旋转知，，在和中，，，；（3）解：当点在的延长线上时，最大，最大值为，如图，

∴当为180度时，线段的长度最大，最大值为，当点在线段上时，最小，最小值为，如图，

∴当为0度或360度时，线段的长度最小，最小值为．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．4．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践特例感知：如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．

(1)试判断和的数量关系，并说明理由．(2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．(3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．【答案】(1)，理由见解析(2)（1）中和的数量关系仍然成立，理由见解析(3)的值为【分析】（1）根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）延长，交于点，根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）利用（2）中的结论解答即可．【详解】（1）解：，理由：和都是等边三角形，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，；（2）解：仍然成立，理由：如图，延长，交于点，

，和都是等边三角形，，，，，，，同（1）可知，，，；（3）解：当时，如图，

，由（2）可知，，，，，的值为．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知和均为等腰直角三角形，且(1)试说明：(2)试判断和的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，得出，证出，即可得出（2）得出，再由，得，即可证出结论【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，∴，，，∵.，即，在和中,，，∴∴（2）延长分别交和于G和F，如图所示：∵，∴，∵，∵，∵，∴，∴【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)，(2)，，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形结合线段的和差即可得到结论；（2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∵点D，E在，上，，∴；（2），，理由如下：延长，分别交、于F、G，∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，即；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，且，与交于点，(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证；（2）设、交于，根据得出，进而根据三角形内角和定理即可得证．【详解】（1）解：在和中，，，，∴，即，∵在和中，∴，∴；（2）设、交于，∵，∴，∵，，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）与均为等腰直角三角形，．(1)如图1，当，，在同一直线时，的延长线与交于点．求证：；(2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论；(3)如图3，当，，在同一直线时（，在点的异侧），与交于点，，求证：．【答案】(1)见解析(2)∠CFA＝90°，证明见解析(3)见解析【分析】（1）证明△ABD≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠BCE，由对顶角的性质可得出答结论；（2）同理可证△ABD≌△CBE（SAS），得出∠BAD＝∠BCE，则可得出结论；（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，证出BG＝GH，证明Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），由全等三角形的性质得出BC＝CH，则得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＋∠AFE＋∠FEA＝∠BCE＋∠ABC＋∠BEC＝180°，又∵∠FEA＝∠BEC，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CFA＝90°．理由如下：同理可证△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠BCE，∵AB⊥BC，GH⊥AC，∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠AGH＝45°，∴GH＝AH，∴AH＝BG，在Rt△BCG和Rt△HCG中，∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），∴BC＝CH，∴AC＝AH＋CH＝BG＋BC＝BG＋AB．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．则①___________（填>、＜或=）②连接线段和，则___________（填>、＜或=）(2)如图②，和互为“兄弟三角形”，，，若点D、点E均在外，连接、交于点M，连接，则线段还满足以上数量关系吗？请说明理由【答案】(1)①，②(2)，见解析【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义可知两个三角形的顶角相等，利用角的和差即可得到①的结论；再结合“”即可得到≌，根据全等三角形的性质即可求解；（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到，再结合“”即可得到，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）①；∵和△ADE互为“兄弟三角形”，，，∴，∴，即；②；在和中，，∴，∴．（2）满足以上关系证明：如图②，∵和△ADE互为“兄弟三角形”，∴，∴，即，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，根据题目信息识别出来全等三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．

(1)试说明：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由“”可证，可得；（2）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理计算．【详解】（1）解：证明：，，在和中，，，；（2），，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．2．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．

(1)如图1，当时，①、的形状是____________；②求证：．(2)若，①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明，根据全等三角形的性质即可得