沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题05一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略(2)(原卷版+解析)

专题05一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略（2）【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程中盈利（亏损）问题的应用】 1【考点二一元二次方程中动态几何问题的应用】 2【考点三一元二次方程中工程问题的应用】 2【考点四一元二次方程其它应用的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一一元二次方程中营销（亏损）问题的应用】【例题1】端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为(

)A． B．C． D．【变式1】一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（）A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元【变式2】某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（）A． B．C． D．【变式3】小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【考点二一元二次方程中动态几何问题的应用】【例题2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【变式1】如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点M，N的运动时间为()A． B． C． D．【变式2】如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动秒时，的面积等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或5【变式3】如图，在中，，，，点P，Q分别从A，B两点出发沿方向向终点C匀速运动，其速度均为．设运动时间为ts，则当的面积是的面积的一半时，t的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考点三一元二次方程中工程问题的应用】【例题3】某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（

）A． B． C． D．【变式1】甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：甲说：我的工作效率比乙的工作效率少乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（

）小时．A．20 B．21 C．19 D．19【变式2】2020年3月11日，太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（

）A． B．C． D．【变式3】下面是学习分式方程的应用时，老师的板书和两名同学所列的方程．15.3分式方程甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度．佳佳：音音：根据以上信息，解答下列问题．（1）佳佳同学所列方程中的x表示，音音同学所列方程中的y表示；（2）甲队每天修路的长度是．【考点四一元二次方程其它应用的拓展提高】【例题4】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（

）A． B．C．（ D．【变式1】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（

）A．6升 B．8升 C．16升 D．18升【变式2】．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．【过关检测】一．选择题1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（）A． B．C． D．2．某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（

）A． B．C． D．3．某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（）A． B．C． D．4．电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（

）A． B．C． D．5．如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为(

)A． B．或 C． D．或6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（

）A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟二.填空题7．春节期间，某超市举办了“年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价共降低了元，则_________．8．原价为20元/盒的商品，若售价为36元/盒，则每天可卖出40盒，经市场调查发现，若每盒下调1元，平均每天就可以多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调__________元．9．春节来临之际，某童装专柜决定通过降价销售，增加收入，在销售中发现；某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装共盈利1050元，设每件童装降价元，那么可以列方程为_________．

10．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为_________．11．一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低_________元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．12．某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽量减少库存，保暖衬衫的单价应降________元．13．如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发_________秒后，的面积为．14．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过_________秒钟，使的面积等于．15．如图，在中，，，，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动点、分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为秒，当_________时，的面积等于．

三、解答题16．谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件．(1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示）；(2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；(3)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．17．温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元．(1)若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求x的值．(2)当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？18．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：，__________（用含的代数式表示）；(2)当为何值时，的长度等于？(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．19．某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作10天可完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天．37．某工程承包方指定由甲、乙两个工程队完成某项工程，若由甲工程队单独做需要40天完成，现在甲、乙两个工程队共同做20天后，由于甲工程队另有其他任务不再做该工程，剩下的工程由乙工程队再单独做了12天才完成任务．求乙工程队单独完成该工程需要多少天？

专题05一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略（2）【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程中盈利（亏损）问题的应用】 1【考点二一元二次方程中动态几何问题的应用】 2【考点三一元二次方程中工程问题的应用】 2【考点四一元二次方程其它应用的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一一元二次方程中营销（亏损）问题的应用】【例题1】端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，依题意得：．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1】一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（）A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元【答案】B【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设每件工艺品需降价元，根据题意得：，整理得：，解得：，，要使顾客尽量得到优惠，，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元，故选：B．【变式2】某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，利用每周销售该款恤获得的总利润每件的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，根据题意得：，故选：D．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式3】小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【答案】A【分析】根据题意可知：标价（折数10）－成本=利润，可以列出相应方程，然后求解即可；【详解】设每本《几何原本》的进价为元，则：由题意可得：，解得：；故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；对于本题运用到的公式：标价（折数10）－成本=利润，一定要熟记并能够在题目中合理运用．【考点二一元二次方程中动态几何问题的应用】【例题2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：当运动时间为t秒时，，，根据题意得：，即，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去，∴．∴运动时间为1秒．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1】如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点M，N的运动时间为()A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：在中，，∴．当运动时间为时，，依题意得：，即，整理得：，解得：，∴点M，N的运动时间为．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动秒时，的面积等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或5【答案】D【分析】由题意可得，，则利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：设运动的时间为，由题意得：，，，解得：，，即当或时，的面积等于．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．【变式3】如图，在中，，，，点P，Q分别从A，B两点出发沿方向向终点C匀速运动，其速度均为．设运动时间为ts，则当的面积是的面积的一半时，t的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设后，的面积是面积的一半，根据三角形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设后的面积是的面积的一半，依题意得，，解得：，（不合题意，舍去）∴．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．【考点三一元二次方程中工程问题的应用】【例题3】某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意列出方程即可．【详解】由题意得：．故答案为：C．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．【变式1】甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：甲说：我的工作效率比乙的工作效率少乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（

）小时．A．20 B．21 C．19 D．19【答案】D【分析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意，甲的工作效率是，乙的工作效率是，∵丙的工作效率是乙的工作效率的，丙的工作效率是，∴一轮的工作量为：，∴轮后剩余的工作量为：，∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，∴乙还需要工作的时间为（小时），∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）．故选：D．【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解．【变式2】2020年3月11日，太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际提前10天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天修路公里，依题意得：．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式3】下面是学习分式方程的应用时，老师的板书和两名同学所列的方程．15.3分式方程甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度．佳佳：音音：根据以上信息，解答下列问题．（1）佳佳同学所列方程中的x表示，音音同学所列方程中的y表示；（2）甲队每天修路的长度是．【答案】甲队每天修路的长度甲队修400米路所需时间/乙队修600米路所需时间【分析】（1）佳佳与音音分别根据“时间相等”与“乙队每天比甲队多修”建立方程，据此可得出未知数所表示的含义；（2）设甲队每天修路的长度是x米，据此列出佳佳所示的方程，解方程即可．【详解】（1）根据题意可得：佳佳同学所列方程中的x表示：甲队每天修路的长度；音音同学所列方程中的y表示：甲队修400米路所需时间（或乙队修600米路所需时间）．故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修400米路所需时间（或乙队修600米路所需时间）；（2）设甲队每天修路的长度是x米，根据题意可列方程：，解方程得：，经检验，是原方程的解且符合题意，故甲队每天修路的长度是．故答案为：40．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是审清题意正确列出方程．【考点四一元二次方程其它应用的拓展提高】【例题4】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（

）A． B．C．（ D．【答案】A【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可．【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文，则可列方程为：，故选：A．【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．【变式1】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（

）A．6升 B．8升 C．16升 D．18升【答案】D【分析】先把3斗换算成30升，设可以换得粝米x升，再根据50单位的粟：30单位的粝米＝30升粟：x升粝米，列分式方程，求出x即可．【详解】根据题意得：3斗＝30升，设可以换得的粝米为x升，则，

解得，经检验：是原分式方程的解，答：可以换得的粝米为18升．故选：D．【点睛】本题考查的是列分式方程解古代数学问题，弄清题意列出正确的方程是解题的关键．注意解分式方程必须要检验．【变式2】．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得，解得，米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．【过关检测】一．选择题1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利，即可得出方程．【详解】解：由题意得，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．2．某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，得到销售单价为时销量为：，再根据：利润（单价成本）数量，列出方程即可得出答案．【详解】解：售价为时的销量为：，月销售利润达8000时得：，故答案选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出数量关系列出方程是解题关键．3．某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个，根据利润=每个的利润×销售量即可列出方程．【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个，根据题意可得：；故选：A．4．电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，根据“电影院拟一日票房收入为18000元”列方程即可．【详解】解：设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，依题意得，故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出每个放映厅的人数是解题关键．5．如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为(

)A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时△BPQ的面积，设运动时间为t，则，，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可．【详解】解：∵在中，，AB=，BC=，∴，∴当四边形的面积为时，，设运动时间为t，则，，∴，解得：，，∵点P在AB上的运动时间为：，∴，∴不符合题意，即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（

）A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟【答案】B【分析】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，依题意，得：×2t•（8-t）=15，解得：t1=3，t2=5，∵2t≤6，∴t≤3，∴t=3．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二.填空题7．春节期间，某超市举办了“年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价共降低了元，则_________．【答案】【分析】根据某超市对一款原价位元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元，列方程即可得到结论．【详解】解：由题意得：，故答案为：．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．8．原价为20元/盒的商品，若售价为36元/盒，则每天可卖出40盒，经市场调查发现，若每盒下调1元，平均每天就可以多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调__________元．【答案】1或11/11或1【分析】设应将每盒的售价下调元，则每盒的利润为元，每天销售量为盒，根据每天的利润达到750元，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设应将每盒的售价下调元，则每盒的利润为元，每天销售量为盒，根据题意得：，整理得：，解得：，，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调1或11元，故答案为：1或11．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．春节来临之际，某童装专柜决定通过降价销售，增加收入，在销售中发现；某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装共盈利1050元，设每件童装降价元，那么可以列方程为．

【答案】【分析】设每件童装降价x元，根据题意列出方程．【详解】设每件童装降价元，根据题意可得，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据实际问题抽象出一元二次方程．10．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为．【答案】【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，利用超市每天售出此种粽子的利润每袋的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，∴超市每天售出此种粽子的利润．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．【答案】10【分析】设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，然后根据利润单件利润销售量，列出方程求解即可．【详解】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，由题意得，，整理得：，解得，∴当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．12．某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽量减少库存，保暖衬衫的单价应降元．【答案】20【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意得，整理得解得：，．因为尽量减少库存，，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．13．如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，秒后，的面积为．【答案】或7或【分析】当运动时间为t秒时，，根据的面积为，列出关于t的一元二次方程求解即可．【详解】解：当运动时间为t秒时，，根据题意得：，∴，∴．当时，，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）；当时，，整理得：，解得：；当时，，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），．综上所述，或7或秒后，的面积为．故答案为：或7或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过秒钟，使的面积等于．【答案】2或4/4或2【分析】设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论．【详解】解：设经过秒，的面积等于，则，，根据题意，可得：，即，解得：，，∴经过或，的面积等于，故答案为：2或4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程．15．如图，在中，，，，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动点、分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为秒，当时，的面积等于．【答案】2【分析】首先用分别表示，的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：，、，，，，当时，，故舍去，当时，的面积等于，故答案为：．【点睛】此题考查了一元二次方程、三角形的面积公式，也是一个动点问题，用分别表示，的长度是解决问题的关键．三、解答题16．谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件．(1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示）；(2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；(3)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．【答案】(1)；元；(2)当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元；(3)商家不能达到平均每天盈利元，理由见解析【分析】（1）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系即可解答；（2）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系和等量关系即可解答；（3）设每件衣服降价元，根据题意可得方程进而即可解答．【详解】（1）解：设每件衣服降价元，∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加