2024学年保定市清苑区高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年保定市清苑区高二数学上学期期中考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是（

）A． B． C．1 D．3．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（

）A． B．C． D．4．已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（

）A． B．C．与相交但不垂直 D．或5．若直线与圆相切，且点到直线的距离为3，则这样的直线的条数为（

）A．4 B．3 C．2 D．16．设双曲线，为其右顶点，直线与双曲线交于、两点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知圆过点，，设圆心，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．48．已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的焦距为6 B．的周长为10C．椭圆的离心率为 D．面积的最大值为10．在三棱锥中，△为边长为的正三角形，，，设二面角的大小为，，为的重心，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则与所成的角为 D．若，则11．已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．B．曲线关于直线对称C．曲线围成的封闭图形的面积不大于D．曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大三、填空题（本大题共3小题）12．若圆上存在两点关于直线对称，则的值为.13．已知点，，C1,1,0，则点到直线的距离是.14．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线，圆.(1)求与直线平行且与圆相切的直线方程；(2)设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程.16．设双曲线：，，，分别是的左、右焦点，A是左支上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为.(1)若直线的倾斜角为，求的离心率；(2)若直线在轴上的截距为2，且，求，.17．如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且．(1)证明：，，，四点共面．(2)设平面与棱的交点为，求与平面所成角的正弦值．18．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．

(1)在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离．(2)如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上．①求点到底面的距离；②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离．参考数据：，．19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点．(1)证明：当变化时，点始终在某个椭圆上运动，并求出椭圆的方程．(2)过点作直线与椭圆交于，不同的两点，再过点F1,0作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点．①证明：为定值．②求面积的取值范围．参考答案1．【答案】D【详解】由题的斜率,故倾斜角的正切值为-1,又,故故选：D2．【答案】A【详解】的渐近线为，圆的圆心为，半径为1.由对称性，到距离为1，则.故选：A3．【答案】B【详解】由题意得：，故选：B.4．【答案】D【详解】因为，，所以，则，又是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，所以或.故选：D.5．【答案】A【详解】圆可化为，圆心为，半径为1，因为直线与圆相切，当直线的斜率不存在时，则直线的方程为或，当直线的方程为时，点到直线的距离为，不满足题意；当直线的方程为时，点到直线的距离为，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则有，即，即，解得或，当时，有，解得或；当时，有，整理得，此时，即方程有两个解，且不为或；综上，的取值有四种情况，对应的也有四种取值，所以满足条件的直线一共有四条.故选：A.6．【答案】C【详解】将代入双曲线的方程可得，解得，不妨取点、，易知点Aa,0，，，因为，则，可得，所以，，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.7．【答案】B【详解】根据题意，得，又，，，所以，化简得，故，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2.故选：B.8．【答案】C【详解】因为，不妨设，则，由椭圆的定义与对称性可得，，，因为，所以，则，解得，则，故，则在中，由，得，解得，所以椭圆的离心率为.故选：C.9．【答案】BD【详解】对于A，因为椭圆，所以，所以椭圆的焦距为，故A错误；对于B，由椭圆的定义可知，所以的周长为，故B正确；对于C，椭圆的离心率为，故C错误；对于D，当点为椭圆的短轴的一个端点时，点到轴的距离最大，此时面积取得最大值，为，故D正确.故选：BD.10．【答案】ABD【详解】如图，取中点，过作且，连接，则平面.因为△为正三角形，所以，，因为，所以，所以，所以二面角的平面角为，则.以，，为基底向量，则，.对于项，若，即，所以.因为，所以，故正确；对于项，由知，所以，所以，所以，解得，所以，故正确；对于项，若，即，所以.由知，又，所以,，，设与所成的角为，则，所以与所成的角不是，故错误；对于项，若，即，所以，又，，平面，所以平面，又，所以平面，则三线两两垂直，建立如图坐标系.则，，，，则根据三角形重心坐标公式得，所以，所以，故正确.故选：.11．【答案】ABD【详解】对于A，因为曲线，所以，解得，故A正确；对于B，因为曲线，可化为，设点是曲线上任一点，则其关于对称的点为，将代入曲线方程，得，所以曲线关于直线对称，故B正确；对于CD，因为，所以，则，设点是曲线上任一点，则，点是曲线上的一点，则，则，，故，易知当时，在其定义域内单调递减，所以（当且仅当或时，等号成立），故，又在上单调递增，所以，故当增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的，又曲线围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大，即曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大，故D正确，又当时，曲线为，即其图形是半径为的圆，此时其面积为，则曲线围成的封闭图形的面积不小于，故C错误.故选：ABD.12．【答案】2【详解】圆的圆心为圆心，半径为2，圆上存在两点关于直线对称，则圆心在直线上，所以，解得.故答案为：2.13．【答案】/【详解】因为点，，C1,1,0，所以，，则，，所以点到直线的距离是.故答案为：.14．【答案】/【详解】圆的圆心，半径，由切圆于点知，，则，因此最大，当且仅当最大，设，，则，当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为.故答案为：

15．【答案】(1)或；(2)或【详解】（1）依题意，设所求直线方程为，因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为，，解得或，所求直线方程为或；（2）依题意，设直线的方程为，因为直线与圆相交于A，B两点，，圆心到直线的距离为，，解得或，直线的方程为或.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，因与轴垂直，设，代入，得，又，则；（2）设AB与y轴交点为C，则，因O为，中点，，则为中点，则由中位线定理可得.因，设，则，.由双曲线定义，.因A，B，三点共线，则，由余弦定理得，则.则或.当时，不合题意，则.则.，则.综上，.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在正方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，则，于是，即向量共面，又向量有公共点，所以，，，四点共面.（2）设，则，由点平面，得，即，则，解得，即，，而，则，设平面的法向量，则，令，得，令与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.18．【答案】(1)；(2)①；②.【详解】（1）正四棱柱的外接球直径，球半径，因此球心与点构成正三角形，弦所对球过的大圆圆心角为，弧长为，所以顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离为.（2）①在直角梯形中，，，，，，，则为正三角形，在棱锥中，平面，而平面，则，又，平面，则平面，而平面，因此，，在中，，，，所以点到底面的距离为.②取中点，则为外接圆圆心，令正的外接圆圆心为，连接，则，平面，平面，于是，，在中，，因此棱锥的外接球半径，有，球的弦所对大圆的圆心角为，，即是钝角，而，则，在大圆中所对劣弧长为，所以，两点在球上的球面距离为.

19．【答案】(1)(2)①证明见解析；②【详解】（1）解：设点，依题意可知，即，所以，即；同理可得.于是直线的斜率为，所以的直线方程为，直线的方程为，即，设直线与的交点坐标为，由可得，整理可得，所以当变