新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第28讲 平面向量的概念与线性运算（原卷版）

第28讲平面向量的概念与线性运算【基础知识网络图】平面向量平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理平面向量的线性运算【基础知识全通关】向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段SKIPIF1<0表示，其中A为起点，B为终点.向量SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4.与SKIPIF1<0长度相等，方向相反的向量叫做SKIPIF1<0的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.【微点拨】①有向线段的起、终点决定向量的方向，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0表示不同方向的向量；②有向线段的长度决定向量的大小，用SKIPIF1<0表示，SKIPIF1<0.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法、减法1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中（如图），向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的和为SKIPIF1<0,记作:SKIPIF1<0.（起点相同）2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:SKIPIF1<0，即在ΔSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量SKIPIF1<0的和等于SKIPIF1<0.3.向量的减法向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0叫做相反向量.记作:SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.【微点拨】①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”.三、实数与向量的积1．定义：一般地，实数SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的积是一个向量,记作SKIPIF1<0，它的长与方向规定如下：（1）SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0>0时，SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相同；当SKIPIF1<0<0时，SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相反；当SKIPIF1<0=0时，SKIPIF1<0；2．运算律设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数，则（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<03．向量共线的充要条件已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是两个非零共线向量，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同或相反.向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，当且仅当有唯一一个实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.【微点拨】①向量数乘的特殊情况：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，也有SKIPIF1<0；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量.四、平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量SKIPIF1<0表示成SKIPIF1<0的形式，由于SKIPIF1<0与数对（x,y）是一一对应的，因此把（x,y）叫做向量SKIPIF1<0的坐标表示.2．平面向量的坐标运算已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<03．平行向量的坐标表示已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【微点拨】①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的充要条件不能表示成SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0有可能等于0，所以应表示为SKIPIF1<0；同时SKIPIF1<0的充要条件也不能错记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等.②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.【考点研习一点通】考点一平面向量的有关概念例1、给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()②③ B.①② C.③④ D.②④【变式1-1】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【变式1-2】如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．（1）与SKIPIF1<0相等的向量有；（2）与SKIPIF1<0相等的向量有；（3）与SKIPIF1<0共线的向量有．考点二向量的线性运算例2、(1)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b(2)(一题多解)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16eq\o(OA,\s\up7(→))－12eq\o(OB,\s\up7(→))－3eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，则()A.eq\o(OA,\s\up7(→))＝12eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(OA,\s\up7(→))＝12eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\o(OA,\s\up7(→))＝－12eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→)) D.eq\o(OA,\s\up7(→))＝－12eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))【变式2-1】1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))【变式2-2】如图所示，四边形SKIPIF1<0为梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则下列结论正确的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点三共线定理的应用例3、如图，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.试用a和b表示eq\o(OM,\s\up6(→)).【变式3-1】设两个非零向量a与b不共线．(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【考点易错】1.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上投影为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F且SKIPIF1<0，则下列说法正确的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.已知两个非零向量a与b不共线.（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a−b),求证:A,B,D三点共线;（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【巩固提升】1、在△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－12.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的中线，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且SKIPIF1<0，F为AE的中点，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．下列说法正确的是A．向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0是共线向量，则点SKIPIF1<0必在同一条直线上B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C．长度相等的向量叫做相等向量D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同6．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量SKIPIF1<0平行的向量为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．设SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0的对角线的交点，SKIPIF1<0为任意一点（且不与SKIPIF1<0重合），SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．设D为SKIPIF1<0所在平面内一点，SKIPIF1<0，则A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知SKIPIF1<0为非零不共线向量，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．810．已知SKIPIF1<0为两非零向量，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的大小是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知非零向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则一定共线的三点是A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D12．如图，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的内部，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积的比值为A．3 B．4C．5 D．613．已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0的值为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．已知等边三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015、在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\f(1,|\o(BA,\s\up6(→))|)·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,|\o(BC,\s\up6(→))|)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),|\o(BD,\s\up6(→))|)·eq\o(BD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的面积为________.16.设向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.17.如图，在四边形SKIPIF1<0