《电路基础 》课件第5章

5.1换路定律及初始值的确定

5.2RC电路的暂态过程

5.3RL电路的暂态过程

5.4RC一阶电路在脉冲信号作用下的暂态过程

5.5本章实训RC一阶电路响应仿真测试第5章电路的暂态过程5.1.1电路的过渡过程

直流电路及周期电流电路中，所有响应或是恒稳不变，或是按周期规律变动。电路的这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。但是，在含有储能元件——电容、电感的电路中，当电路的结构或元件的参数发生改变时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态需要有一个动态变化的中间过程，称为电路的动态过程或过渡过程。动态电路分析就是研究电路在过渡过程中电压与电流随时间变化的规律。

这里做一个实验，电路如图5.1所示，R、L、C元件分别串联一只同样的灯泡，并连接在直流电压源上。5.1换路定律及初始值的确定图5.1实验电路当开关S闭合时，可看到以下三种现象：

(1)电阻支路的灯泡LR会立即亮，而且亮度始终不变；

(2)电感支路的灯泡LL由不亮逐渐变亮，最后亮度达到稳定；

(3)电容支路的灯泡LC由亮变暗，最后熄灭。

三条支路的现象不同是因为R、L、C三个元件上电流与电压变化时所遵循的规律不同。5.1.2换路定律

在换路瞬间，如果流过电容元件的电流为有限值，其电压uC不能跃变；如果电感元件两端的电压为有限值，其电流iL不能跃变。这一结论称为换路定律。如把换路发生的时刻取为计时起点，记为t=0，则t=0－表示换路前的一瞬间，t=0+表示换路后的一瞬间。由此换路定律可表示为

(5-1)

5.1.3初始值的计算

换路定律只能确定换路瞬间的电容的电压值和电感的电流值，而电容的电流、电感的电压以及电路中其他元件的电流、电压初值是可以发生跃变的。将uC(0+)和iL(0+)称为独立的初始条件，把除电容的电压和电感的电流外的在t=0+时刻的其他响应值称为非独立初始值。独立的初始值和非独立的初始值统称为暂态电路的初始值，即t=0+时电路中电压、电流的瞬态值。

由换路定律确定了独立的初始值后，电路中非独立初始值可按下列原则确定：

(1)换路前的瞬间，将电路视为一稳态，即电容开路、电感短路。

(2)换路后瞬间，电容元件被看做恒压源。如果uC(0－)

=0，那么uC(0+)=0，换路时，电容器相当短路。

(3)换路后瞬间，电感元件可看做恒流源。当iL(0－)=0时，iL(0+)=0，电感元件在换路瞬间相当于开路。

(4)运用直流电路分析方法，计算换路瞬间元件的电压、电流值。

例5-1

确定图5.2(a)所示电路在换路后各储能元件的电流与电压的初始值，设开关闭合前电路处于稳态。

解

(1)求独立的初始值uC(0+)和iL(0+)。

开关闭合前电路处于稳态，电容相当于开路，电感相当于短路，由图5.2(a)并根据换路定律可知

图5.2例5-1图

(2)由换路后t=0+时的等效电路图5.2(b)得非独立初始值为

例5-2

电路如图5.3(a)所示。开关闭合前，电路已处于稳定状态。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。

解

(1)开关闭合前电路已处于稳定状态，电容可看做开路，所以iC(0－)=0，uC(0－)=12V。图5.3例5-2图

(2)根据换路定律，有

uC(0+)=uC(0－)=12V

用电压等于uC(0+)=12V的电压源代替电容元件，画出换路瞬间等效电路如图5.3(b)所示，由图5.3(b)可知

5.2.1RC一阶电路零输入响应

动态电路的响应分为零输入响应和零状态响应两部分。零输入响应是电路在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应。RC电路的零输入响应是指输入信号为零，即激励为零，由电容元件的初始状态uC(0+)所产生的电流和电压。

如图5.4所示的RC动态电路，开关处于位置1时，电路已处于稳定状态，uC(0－)=Us。当开关由位置1扳到位置3，即换路瞬间，根据换路定律，uC(0+)=uC(0－)=Us，此时(t=0+)，电容通过电阻R放电，电容器储存的电能被逐渐释放出来，电容电压和电流逐渐减小，直至变为零。下面对电容器的放电过程进行分析。5.2RC电路的暂态过图5.4RC零输入响应电路根据图5.4所示电路，并由KVL得

Ri(t)－uC(t)=0

(5-2)

将代入式(5-2)得

(5-3)

式(5-3)为一阶微分方程，其对应的特征方程为

RCp+1=0(5-4)式中,p称为微分算子，特征方程(5-4)的特征根为

(5-5)

式(5-3)的通解可写成

(5-6)

式中,A为积分常数，由初始条件决定。将uC(0+)=Us代入式(5-6)得

A=Us

所以式(5-2)满足初始条件的通解为

(5-7)

式中,ε(t)为单位阶跃信号，其解析式为

(5-8)

式(5-8)对应的波形如图5.5所示。图5.5单位阶跃信号电路中电流变化规律为

(5-9)

令τ=RC，τ具有时间的量纲，反映了RC电路中过渡过程进行的快慢程度，是描述过渡过程特性的一个重要的物理量，其大小由电路本身的结构所决定，与外界的激励无关。τ越大，过渡过程持续时间就越长，电流、电压衰减得就越慢；反之，τ越小，过渡过程持续时间就越短，电流、电压衰减得就越快。uC(t)和i(t)随时间变化的曲线如图5.6(a)、图(b)所示。图5.6电压、电流变化曲线表5.1给出了指数随时间t变化的数值关系。此表中的数值说明：在开始一段时间，数值下降得较快，t=τ时的值约为t=0时值的0.368倍，以后数值衰减得较慢，t=3τ时的值约为t=0时值的0.050倍，t=5τ时的值约为t=0时值的0.007倍。在工程中，一般认为经过(3~5)τ时间以后，衰减过程基本结束，电路已达到新的稳态。表5.1随时间t变化的规律

例5-3

已知图5.4中的C=10μF，R=5kΩ，电容的初始电能为2×10－3J，求：

(1)电路的零输入响应uC(t)和iC(t)；

(2)电容电压衰减到8V时所需时间；

(3)要使电压在4s时衰减到2V，电阻R应为多大？

解

(1)电容的储能为

所以

将uC(0+)、iC(0+)和τ代入式(5-7)、式(5-9)中得

(2)uC(t)=8V时，20e－20t=8，解此式得

t=0.045s

(3)由得

将uC(t)=2V，C=10μF，t=4s代入上式计算得

R=173.9kΩ

5.2.2RC一阶电路零状态响应

如图5.7(a)所示，在开关S未闭合时，RC电路中电容电压uC(0－)=0，在这种情况下，RC动态电路初始状态为零时，由外加激励信号所引起的响应称为电路的零状态响应。开关S闭合后，电源通过电阻对电容器进行充电，这样电容电压逐渐升高，充电电流逐渐减小，直到电容电压uC等于电源电压Us，电路中电流为零时，充电过程结束。下面对这一充电过程进行分析。

换路时，根据换路定律可得

图5.7RC电路的零状态响应根据KVL，得

Ri(t)+uC(t)=Us

(5-10)

将代入式(5-10),得图5.7(a)所示电路的一阶非齐次微分方程

(5-11)

式(5-11)的解由齐次方程的通解uCh(t)和非齐次方程的特解uCp(t)两部分组成，即

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)(5-12)式(5-11)对应的齐次方程为

(5-13)

其特征方程所对应的特征根为

(5-14)故齐次方程的通解形式为

(5-15)

当t→+∞时，动态电路的暂态过程结束而进入新的稳定状态，使电容电压等于电源电压，这样式(5-11)的特解可表示为

uCp(t)=uC(+∞)=Us

(5-16)

由式(5-15)和式(5-16)得到式(5-11)的解为

(5-17)

将uC(0+)=0代入式(5-17)解得积分常数为

A=－Us

(5-18)这样RC零状态电路的电压响应变为

(5-19)

电路的电流响应为

(5-20)

根据式(5-19)和式(5-20)画出的uC(t)和i(t)波形如图5.7(b)和图5.7(c)所示。

例5-4

在图5.7(a)中，已知Us=12V，R=5kΩ，C=1000μF。开关S闭合前，电路处于零状态，t=0时开关闭合，求闭合后的uC和iC。

解由已知得

τ=RC=5×103×1000×10－6=5s

Us=12V

由式(5-19)得

由式(5-20)得

5.2.3RC一阶电路的全响应

若RC电路中的储能元件电容在换路前就已具有初始能量，换路后又受到外加激励电源的作用，两者共同作用产生的响应，称为RC一阶电路的全响应。

如图5.8(a)所示，换路前开关长时间处于位置2，表明电路已处于稳定状态，电容存储的电能为，换路瞬间uC(0+)=uC(0－)=U2。当开关S由位置2扳向位置1时，电容除有初始储能外，还因为整个电路受外加电源U1的作用，因此电路中的各量为非零状态下的有输入响应。图5.8RC电路全响应开关动作后，电路方程为

(5-21)

方程(5-21)对应的齐次方程通解为

(5-22)

方程(5-21)的特解为电路达到稳态时的uC(t)，即

uCp(t)=U1(5-23)

这样微分方程的全解为

(5-24)将初始条件uC(0+)=U2代入式(5-24)得电路中电容电压的全响应为

(5-25)

或

(5-26)图5.8(a)所示电路中电容电压的响应可分为如下3种情况：

(1)当U1=U2时，由式(5-25)可知，uC(t)=U1，表明电路一经换路便进入稳定状态，无过渡过程。

(2)当U1>U2时，电路在换路后将继续对电容器C进行充电，直到电容上的电压等于U1时为止，如图5.8(b)所示。

(3)当U1<U2时，电路在换路后电容器处于放电状态，由初始值的U2衰减到稳态的U1值，如图5.8(c)所示。

例5-5

电路如图5.9所示，t<0时电路处于稳定状态，且储有25J的电能。t=0时开关闭合，求t>0时的uC(t)和i(t)。

解

(1)由知：

开关闭合后，电路达到新的稳态时，

图5.9例5-5图电路放电时间常数为

τ=RC=(R1∥R2)C=1.125s

注：时间常数τ中的R等于电源置零时，从动态元件向电路看进去的戴维南(或诺顿)等效电阻。

将uC(0+)、uC(+∞)替代式(5-25)中的U2和U1,并把τ代入其中得

5.2.4一阶电路的三要素法

由式(5-25)知：一阶RC电路的全响应等于电路的暂态响应和稳态响应之和。暂态响应是指随着时间的增长而趋于零的响应分量，分量为零时，暂态过程即结束。稳态响应是指不随时间而改变的响应分量，其值等于过渡过程结束后的稳态值。

用f(t)代替式(5-25)中的uC(t)，并分别在t→0+和t→+∞时求极限得

U1=f(+∞)

(5-27)

U2=f(0+)

(5-28)将式(5-27)和式(5-28)代入式(5-25)得

(5-29)

例5-6

电路如图5.10所示，已知R1=R2=R3=2kΩ，C=3×103pF，Us=12V，开关S未断开时uC(0－)=0，在t=0时将开关S断开，用三要素法求电压uC的变化规律。

解

(1)确定初始值。换路瞬间，电容响应电压初始值为

uC(0+)=uC(0－)=0

(2)计算稳态值。电路达到新的稳定状态时，电容相当于断路，这样

图5.10例5-6图

(3)计算电路的时间常数。因为

Req=(R1+R3)//R2=

所以τ=ReqC=4μs。

(4)将uC(0+)、uC(+∞)和τ代入三要素公式(5-29)得

例5-7

电路如图5.11(a)所示，已知Is=3A，R1=R4=3Ω，R2=2Ω,R3=6Ω，Us=3V，C=0.5F，t<0时，S1处于闭合状态、S2处于断开状态，整个电路处于稳定状态。t=0时，S1断开、S2闭合，求电容电压uC和电流i。图5.11例5-7图

解

(1)确定初始值。换路前，

换路后瞬间，根据换路定律，有

uC(0+)=uC(0－)=6V

换路后瞬间电路如图5.11(b)所示。Us单独作用时R4支路电流为

uC(0+)单独作用时R4支路电路为

(2)计算稳态值。电路达到稳态时，电路如图5.11(c)所示。由图可知

(3)计算电路的时间常数。因为

所以τ=ReqC=4×0.5=2s。

(4)求uC和i。将uC(0+)、uC(+∞)和i(0+)、i(+∞)代入三要素公式(5-29)，得

5.3.1RL一阶电路的零输入响应

在无电源激励，即输入信号为零时，由电感元件的初始状态iL(0+)所引起的响应，称为RL电路的零输入响应。

如图5.12所示，开关S1闭合，S2断开时，电路已处于稳定状态，

5.3RL电路的暂态过程图5.12RL零输入响应电路换路时，S1断开，S2闭合，由KVL得

(5-30)

根据电磁感应定律并经整理，式(5-30)变为

(5-31)解上式得iL的零输入响应为

(5-32)

将初始条件代入式(5-32)得

(5-33)令上式中的、，τ为RL电路的时间常数，具有时间量纲，单位为秒(s)，则式(5-33)变为

(5-34)

电感电压为

(5-35)图5.13RL零输入响应波形图将式(5-35)代入式(5-30),得电阻R2上的电压为

(5-36)

由式(5-34)、式(5-35)和式(5-36)可画出如图5.13所示的波形图。

例5-8

图5.14所示电路中，RL串联由直流电源供电。S开关在t=0时断开，设S断开前，电路已处于稳定状态。已知Us=200V，R0=10Ω，L=0.5H，R=40Ω，求换路后iL、uL、uR的响应。

解

S断开前，

S断开后，

图5.14例5-8图其中

所以

例5-9

电路如图5.15所示，换路前开关S断开且电路处于稳定状态，计算换路后的电流iL。

解在t>0时，S闭合,有

将上式代入得

图5.15例5-9图由图5.15可知：，这样

用分离变量法解上面的微分方程得

根据换路定律可知，，代入上式得

这样

将已知数据代入上式得

iL=2+3×(1－e－2t)=(5－3e－2t)A5.3.2RL一阶电路的零状态响应

如图5.16所示电路，开关S闭合前电路中的电流为零，即电路处于零状态。开关闭合后，电感元件中的电流从零逐渐增加到新的稳态值，电感中存储的磁能从无到有，也就是电感元件的充磁过程。

iL和uL取关联参考方向，换路瞬间，根据KVL和电磁感应定律可得

(5-37)

由换路定律得：iL(0+)=iL(0－)=0，当电路进入新的稳定状态时

(5-38)图5.16RL零状态响应将iL(0+)、iL(+∞)代入三要素公式中得RL零状态响应为

(5-39)

(5-40)

(5-41)图5.17RL零状态响应波形图

例5-10

电路如图5.16所示，已知Us=10V，R=10Ω，L=5H，当开关S闭合后，计算：

(1)电路到达新的稳定状态时的电流；

(2)t=0s和t=+∞时电感上的电压。

解

(1)电路到达新的稳定状态时，电流也到达稳定，从而有

(2)电路时间常数为

t=0s时，电感上的电压为

t=+∞时，，说明电感L相当于开路。5.3.3RL一阶电路的全响应

当RL电路中的储能元件在换路前已有初始磁能，即电感中的电流初始值不为零，同时换路瞬间又有外加激励信号作用于此电路，这种情况下电路中的响应称为RL一阶电路全响应。

如图5.18所示电路，设开关S闭合前电路已处于稳定状态。开关S闭合时，根据换路定律得

由KVL得

uL+uR=Us

图5.18RL全响应iL和uL取关联性参考方向时，上式即为

(5-42)

当t=+∞时，，将i(0+)和iL(+∞)代入三要素公式(5-29)得

(5-43)改写式(5-43)可得

(5-44)

由此可知，RL电路的全响应可看成零输入响应和零状态响应的叠加。

例5-11

图5.18所示的电路中，已知Us=100V，R0=R=

50Ω，L=5H，设开关S闭合前电路已处于稳态状态。t=0时，开关S闭合，求闭合后电路中的电流iL和uL。

解

(1)由得

由得

将相关数据代入式(5-43)中得

iL(t)=2+(1－2)e－10t=2－e－10tA

(2)5.4.1RC微分电路

RC组成的微分电路如图5.19(a)所示，输入信号为图5.19(b)所示的占空比为50％的矩形脉冲。占空比是指Tw与T之比，其中Tw指脉宽，T为信号的周期。电路时间常数τ=RC

比脉宽Tw小很多，输出电压uo为电阻R上的电压。下面对微分电路的充、放电过程进行分析。5.4RC一阶电路在脉冲信号作用下的暂态过程图5.19微分电路

1.充电过程

在t=0瞬间，因为uC(0+)=uC(0－)=0，所以uo(0+)=ui=U，之后电源通过电阻R对电容进行充电，电容两端的电压升高，电路中电流减小，输出电压由初始值向新的稳态值零过渡。由于τ<<Tw,充电过程进行得极快，在t<Tw时，uC就已经到达稳定值，uo衰减到了零，在输出电阻R上产生1个正尖脉冲，τ越小则脉冲越窄越尖，电路输出波形如图5.19(c)所示。当0<t<T/2时，根据三要素法，输出电压uo可表示为

(5-45)

2.放电过程

在t=T／2时，输入ui等于零，RC组成放电回路，此时uo=－uC=－U。之后由于电路时间常数τ很小，放电过程很快就结束了，在输出端R上形成1个负尖脉冲。电压输出波形如图5.19(c)所示。当T／2<t<T时，输出电压uo可表示为

(5-46)

在第2个正脉冲到来之前，电容器上的电荷已全部释放完毕，电路处于起始状态。以后的充、放电将重复第1个周期的情形。在电路充、放电过程中，根据KVL,有

ui－uo－uC=0

(5-47)

由于τ<<Tw，所以ui≈uC，因此

(5-48)

从电路的充、放电过程可以看出：微分电路尖脉冲的产生是以电路时间常数充分小为前提条件的。如果充、放电时间很长，则输出电压与输入电压基本相同，尖脉冲不可能产生，这样的电路称为阻容耦合电路，因此RC电路要成为微分电路必须符合以下两个条件：

(1)电路时间常数τ比脉宽Tw小得多，即τ<<Tw；

(2)从电阻R上输出电压。5.4.2RC积分电路

如果把图5.19(a)中的电阻、电容互换，且满足电路时间常数无限大于脉宽，即τ<<Tw，这时在输入端加入矩形脉冲信号，输出端的电压就近似与输入电压成正比，此电路称为积分电路，如图5.20(a)所示。下面就电路充、放电两个过程进行分析。

1.充电过程

在t=0时，输入电压虽发生跃变，但由于τ>>Tw，在脉冲持续的时间内，电容两端的电压由初始值零缓慢地向新的稳态值U过渡，当uC还未达到稳态值时，脉冲就已经结束。输出电压uo按指数规律上升的曲线可近似认为是一条直线，如图5.20(c)所示。当0<t<T/2时，根据三要素公式，输出电压uo可表示为

(5-49)图5.20积分电路

2.放电过程

t=T／2时刻，由式(5-49)可得此时电容端电压为

输入电压已经跃变为零，电容器将由初始值U1开始缓慢地按衰减的指数规律(近似为直线)放电，由于电路时间常数很大，未等电容器中的电荷完全放完，输入端的电压就由零跃变到U，电路又重新开始新一轮充放电，即第2个周期开始。整个充、放电过程形成的输出波形为锯齿波，如图5.20(c)所示。当T／2<t<T时，输出电压uo可表示为

(5-50)由于充放电过程极其缓慢，因此

uo=uC<<uR

ui=uR+uC≈uR=iR

即