湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题(B卷) 含解析

2024年秋季高一期中联考数学（B卷）（考试范围：必修第一册第一章至第三章）时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1.已知集合，，则集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集运算直接求得结果.【详解】因为，，所以，故选：C.2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定的定义判断即可.【详解】根据含有一个量词的命题的否定的定义可得，命题“，”的否定为“，”，故选：A.3.若幂函数，则（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】利用幂函数定义可知其系数为1，解方程可得结果.【详解】根据幂函数定义可知，，解得.故选：A4.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B. C.-3 D.3【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质计算即可.【详解】由题意可知，因为函数是奇函数，所以.故选：C.5.已知函数，且，则m=（）A.2 B.6 C.25 D.44【答案】B【解析】【分析】利用配凑法求函数的解析式，再利用函数值列方程，求解即可.【详解】由函数，可得，所以函数的解析式为，所以，解得.故选：B.6.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出常数b和c，再解一元二次不等式即可.【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故；乙的常数正确，故，故.所以原不等式为，即，解得，所以解集为.故选：D.7.若，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的单调性判断即可.【详解】由题构造函数，，因为，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以在上单调递增，所以，即.故选：D.8.已知函数，则方程的解的个数为（）A5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】先解关于的方程得或，再结合函数图象，即可判断.【详解】由方程可解得或，结合函数的图象，可得方程的解有6个.故选：B.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下表是某市公共汽车的票价y（单位：元）与里程x（单位：km）之间的函数，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是（）x2345A. B.若，则C.函数的定义域是 D.函数的值域是{2，3，4，5}【答案】ACD【解析】【分析】根据表格中的函数关系逐项判断即可.【详解】由题意知，，选项A正确；若，则，选项B错误；函数的定义域为，选项C正确；函数的值域是{2，3，4，5}，选项D正确.故选：ACD.10.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①为偶函数；②为上的减函数；③，下列选项成立的是（）A.的单调递增区间为B.C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】由偶函数性质可判断A正确，再根据单调性以及函数值可得B错误，解不等式可判断C错误，D正确.【详解】由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递增，选项A正确；又，因为函数在上单调递减，所以，即，选项B错误；由，有，即，选项C错误；由条件③知，当时，函数在上单调递减，当时，，故时，；当时，函数在上单调递增，故时，，所以时，，所以，选项D正确.故选：AD11.若，，且，则下列说法正确的是（）A.的最大值是 B.的最小值是C.最小值是 D.的最小值是32【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断即可.【详解】对于A，，当且仅当，时等号成立，即的最小值是，故A错误；对于B，由，可得，当时等号成立，则，，∵，，∴，解得，所以的最小值是，故B正确；对于C，法1：，由A知的最小值是.法2，∵，∴，∵，，∴，∴，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，法1：，当时等号成立，而，也是当时等号成立，即，当时等号成立，故的最小值是，法2：，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据二次根式和分式的意义列不等式，求解即可.【详解】由题意得，解得，则定义域为.故答案为：.13.已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】直接根据开口方向与判别式列不等式，求解即可.【详解】由题意知，且，解得.故答案为：.14.我们用表示实数x到离它最近的整数的距离，例如，，，则的最大值是________；对于函数，若满足，则有________种可能的值.【答案】①.②.12【解析】【分析】由题意，设，其中为整数部分，为小数部分，根据的定义得，所以等价于，因此分和的小数部分相同和小数部分和为1两种情况分类讨论即可.【详解】由定义可知，故最大值为；设，，，，所以，也就是和的小数部分要么相同，要么和为1.当小数部分相同时，则，可得，且，所以，，有6种可能的值；当小数部分和为1时，则，可得，且，所以，，有6种可能的值.综上所述，有12种可能的值.故答案为：，12.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（1）化简；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据根式与指数幂运算直接求得结果；（2）将原式平方即可求得结果.【详解】（1）原式.（2）∵，∴，即，∴.16.已知集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意解不等式，利用集合的交集的定义求解即可；（2）由题意得集合是集合的真子集，列出不等式，求解即可.【小问1详解】当时，，由得，即，解得，则，所以.【小问2详解】∵，∴.∵是的充分不必要条件，∴真包含于，显然，则，解得.故实数m的取值范围是.17.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍.（1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元.【解析】【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可；（2）利用基本不等式求最值即可.小问1详解】由题意知，当时，，则，解得，所以.因为每件产品的销售价格为元，所以2025年该产品的利润,即.【小问2详解】因为当时，.所以，当且仅当，即时，等号成立.故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元.18.设函数.（1）若，且，求m的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）在区间上单调递减，证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）根据函数值列方程，求解即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）利用换元法化简不等式，再分离参数，转化最值问题，求最值即可.【小问1详解】∵，∴，∴，又，则.【小问2详解】在区间上单调递减.证明：，且，则，化简得，由，得，∴，，∴，于是，即.∴在区间上单调递减.【小问3详解】设，由知，，将其代入，得，化简得恒成立，设，则在上恒成立.即.∵与在上单调递增，∴在上单调递增，∴，∴，∴实数a的取值范围是.19.给定函数，，我们用表示，中的较大者，记为.（1）若，，请用解析法表示，并求出的最小值.（2）若，，其中为实数.（ⅰ）当时，写出的解析式；（ⅱ）若的图象与x轴有交点，求的取值范围.【答案】（1），最小值为l；（2）（i）；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）构造函数，并将其写成分段函数，讨论ℎx函数值的正负，进而判断的大小关系，从而求得，再结合的解析式，求得的最小值.（2）（ⅰ）构造，结合（1）中的讨论方法，即可求得的解析式；（ⅱ）对参数的取值进行分类讨论，在不同情况下，判断的正负，从而求得的解析式，进而判断其图象与轴是否存在交点.【小问1详解】设当时，；当，，令，得或，故当时，；则当时，，即；当时，.故；当时，有最小值1；时，.综上，的最小值为l.【小问2详解】设，（ⅰ）当时，，在上是增函数，