2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题09 初等数论与几何背景下的新定义（六大题型）（学生版）

专题09初等数论与几何背景下的新定义【题型归纳目录】题型一：进位制题型二：数对序列题型三：群论题型四：平面几何题型五：置换题型六：余数、约数【典型例题】题型一：进位制【典例1-1】(湖南省衡水金卷2023-2024学年高三二调数学试题)国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码(0)11111100100，换算成十进制的数是n，求及的值．【典例1-2】(安徽省合肥市2024届高三学期第二次教学质量检测理科数学试题)通信编码信号利用信道传输，如图1，若信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号(以两个信道为例，如图2)．华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术(以两个相互独立的信道传输信号为例)：如图3，信号直接从信道2传输；信号在传输前先与“异或”运算得到信号，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号或．(注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“”表示：，，，．“异或”运算性质：，则)．假设每个信道传输成功的概率均为．．(1)在传统传输方案中，设“信号和均被成功接收”为事件，求：(2)对于极化码技术：①求信号被成功解码(即根据BEC信道1与2传输的信号可确定的值)的概率；②若对输入信号赋值(如)作为已知信号，接收端只解码信号，求信号被成功解码的概率.【变式1-1】(上海市十校2024届高三学期3月联考(文理)数学试题)规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使，则称可以表示成进制形式，简记为：；如：，表示是一个2进制形式的数，且；(1)已知，试将表示成进制的简记形式；(2)若数列满足，，，，，求证：；(3)若常数满足且，，求.题型二：数对序列【典例2-1】(北京市西城区2024届高三学期期末数学试题)给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.(1)当，时，写出所有满足的数对序列；(2)当时，证明：；(3)当为奇数时，记的最大值为，求.【典例2-2】(上海市杨浦高级中学2023-2024学年高一学期期中数学试题)对于四个正数，若满足，则称有序数对是的"下位序列".(1)对于2、3、7、11，有序数对是的"下位序列"吗?请简单说明理由;(2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系；(3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值.题型三：群论【典例3-1】(安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题)对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在(绕中心O作120°的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示)，所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在(关于对称轴所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示)，所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I．，；II．，；Ⅲ．，，；Ⅳ．，，．对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．

(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素)；(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；③写出群S的所有子群．【典例3-2】(江西省部分学校2023-2024学年高二学期3月联考数学试卷)将数列按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．(1)若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式；(2)若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和．【变式3-1】(2024届高三新高考改革数学适应性练习(九省联考题型))对于非空集合，定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：(封闭性)对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；(结合律)对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；(恒等元)存在，使得对任意，；(逆的存在性)对任意，都存在，使得．记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群(或交换群)．(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．题型四：平面几何【典例4-1】(河南省郑州市名校教研联盟2024届高三学期模拟预测数学试卷)平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程.【典例4-2】(江西省智慧上进2024届高三学期入学摸底考试数学试题)如图，直线l与的边BC的延长线及边AC，AB分别交于点D，E，F，则，该结论称为门奈劳斯定理，若点C为BD的中点，点F为AB的中点，在中随机取一点P，则点P在内的概率为(

)A． B． C． D．【变式4-1】(多选题)(宁夏银川市第二中学2023-2024学年高一学期月考一数学试卷)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是(

)A．的最大值为12 B．的取值范围是C． D．当时，为定值题型五：置换【典例5-1】(浙江省名校协作体2023-2024学年高三学期返校考试数学试卷)置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.(1)若，计算；(2)证明：对任意，存在，使得为恒等置换；(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.【典例5-2】(山东省青岛市2024届高三学期第一次适应性检测数学试题)记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．(1)若，用表示；(2)证明：；(3)若，，，证明：．【变式5-1】(江苏省淮阴中学等四校2024届高三学期期初测试联考数学试卷)在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以(λ为非零的正实数)代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；(2)射线l的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线l与椭圆、分别交于两点，且，求椭圆的方程；(3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…．若，求数列的通项公式.【变式5-2】(江苏省徐州市2024届高三学期新高考适应性测试数学试卷)对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．(1)若数列为2，4，3，7，求的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．(i)探究与的关系；(ii)证明：．题型六：余数、约数【典例6-1】约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当时，若构成等比数列，求正整数；(3)记，求证：.【典例6-2】(河北省2024届高三学期大数据应用调研联合测评(V)数学试题)设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．(1)求证：；(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：①证明：对于任意整数x都有；②求方程的正整数解的个数．【变式6-1】(湖北省襄阳市第五中学2024届高三学期开学考试数学试题)“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数被除余，我们可以写作．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数，，…，两两互质，则对任意的整数：，，…，方程组一定有解，并且通解为，其中为任意整数，，，为整数，且满足．(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第个满足条件的正整数；(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．(提示：可以用首尾进行相加)．【过关测试】1．(多选题)(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二学期期中联考数学试题)圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理，经过圆内一点引两条弦被这点所分成的两线段长的积相等，已知圆的半径为5，点P是圆O内的一定点，且，过点P引两条弦AC，BD，则下列说法正确的是(

)A．为定值B．的取值范围为C．当时，如图以O为原点，OP为x轴，则AB中点M的轨迹方程为D．当时，四边形ABCD面积的最大值为402．(重庆市南开中学高2023-2024学年高一学期第一次月考数学测试题)对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．(1)对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系．3．(上海市12校2024届高三学期联考数学试题)我们规定：对于任意实数A，若存在数列和实数，使得则称数A可以表示成进制形式，简记为：.如：.则表示A是一个2进制形式的数，且.(1)已知(其中)，试将m表示成进制的简记形式.(2)若数列满足是否存在实常数和，对于任意的，总成立？若存在，求出和；若不存在，说明理由.(3)若常数满足且.求.4．(2013年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题)若、、均为正整数，且，为一素数，、、的进制表示分别为，其中，.证明：(1)若，且对整数均有，则，其中，表示不超过实数的最大整数.(2)，其中，表示集合A中元素的个数.5．(湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：(为的质因数个数，为质数，)，例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数(1)求；(2)若正整数互质，证明：；(3)若且，记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为，证明：．6．(2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题)离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．(1)若，求；(2)对，记为除以的余数(当能被整除时，)．证明：，其中；(3)已知．对，令．证明：．(1)当时，求四边形OACB的周长；(2)克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求(3)问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值.如图，在凸四边形ABCD中，

(1)若图，求线段BD长度的最大值；(2)若图，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值．7．(江苏省南通市如东县等2地2023-2024学年高一学期4月期中联考数学试题)如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．

(1)当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；(2)克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．8．(上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一学期期末数学试题)如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体，现将它们的体积依次记为，.

(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个，假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于，分别求出和的值；并猜想与的大小关系(猜想不需证明)(2)多面体的欧拉定理：简单多面体的面数、棱数与顶点数满足：.已知正多面体都是简单多面体，设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并尝试据此说明正多面体仅有五种.9．(2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题)近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.10．(北京市海淀区中关村中学2024届高三学期12月月考数学试题)设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到以此类推，最后将经过变换得到．记数阵中四个数的和为．(1)若，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；(2)若，求的所有可能取值的和；(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．11．(北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题)如图，T是3行3列的数表，用表示位于第i行第j列的数，且满足．数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中的相邻项仅有和．对于数表T，定义操作为将该数表中的以及的相邻项从x变为，其他项不变，并将操作的结果记为．已知数表满足．记变换为n个连续的上述操作，即，使得，并记(1)给定变换，直接写出．(2)若满足，其他项均为0．是含n次操作的变换且有，求n