2024北京石景山高三（上）期末数学试题及答案

2024北京石景山高三（上）期末数学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=2,0,4}，B={x|x2≤4}，则A（A）{−（B）（C）{−2}（D）{0,4}（2）已知复数z=1+，z,z在复平面内的对应点关于虚轴对称，则zz=11212（A）5（B）5（C）4+（D）4+2（3）(x2−)4展开式中含x5的项的系数为x（A）4（4）已知向量a=(5,m)，b=(2,2)，若(a−b)⊥b，则m=（A）−1（B）1（C）2（B）4−（）8C（D）8（D）2−（5）已知等差数列{a}的前n项和为S，若a=15，S=65，则a+a=nn2514（A）24（B）26（C）28（D）30（6）直线2x−y+m=0与圆x2+y2−2x−4=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（A）5m33（B）0m5（C）9mD7m3（）(2−xx12（7）设函数f(x)=，则f(+f(210)=2x1,−x≥1（A）2（B）5（C）7（D）10π（8）在△ABC中，2aAbCcB，则=+A=πππ（A）（B）（C）（D）6323（9）设函数f(x)|x1||x1|，则=+−−f(x)是（A）偶函数，且在区间+)单调递增（B）奇函数，且在区间(单调递减−（C）偶函数，且在区间(,单调递增+−（D）奇函数，且在区间)单调递减第1页/共10页（10）在正方体−ABCD中，点P在正方形ADCCD内（不1111111111含边界）一定存在一点Q，使得（A）PQ//AC11（B）平面1//平面（C）⊥DC（D）⊥平面1AB第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（）函数f(x)=4−x+lg(x+的定义域为___________．x2a21（12）已知双曲线−y2=1(a0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为___________．2（13）某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的t值为_______，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为__________（每组成绩用中间值代替）.（14）已知命题p：若a+b≥1，则a3+b3≥1．能说明p为假命题的一组a,b的值为a=______，b=_______．（15）在数列{an}中，n1=f(an)，给出下列四个结论：①若f(x)=−2x，则{a}一定是递减数列；n②若()fx=x，则{an}一定是递增数列；e③若f(x)=x3+1，a(1,0)，则对任意c0，都存在nN，使得ac；*1n14f(x)=kx2+1(k，a=1，且对任意nN*，都有a2，则k的最大值是④若．1n其中所有正确结论的序号是___________．第2页/共10页三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1614分）如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面P，===2，AB=BC，=．3（Ⅰ）求证：AC⊥PB；A（Ⅱ）求二面角A−−B的余弦值．CB（1713分）设函数f(x)=3sinx−2sin2x+1(0)．2π（Ⅰ）若=2，求f()的值；12ππ（Ⅱ）已知f(x)在区间[,]上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已123知，使函数f(x)存在，求的值．π条件①：函数f(x)的图象经过点A(,；12ππ条件②：x[,]时，f(x)的值域是[2]；−3π条件③：x=是f(x)的一条对称轴．12注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（1813分）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为A区和B区，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，没有投进得0分；在B区每投进一球得3分，没有投进得0分.甲在A，B两区的投篮练习情况统计如下表：A区30B区20甲投篮次数得分4030假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．（Ⅰ）试分别估计甲在A区，B区投篮命中的概率；（Ⅱ）若甲在A区投3个球，在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率；（Ⅲ）若甲在A区，B区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在A区投篮的最第3页/共10页（1915分）x2y22已知椭圆C:+=1(ab0)，离心率为，短轴长为22.a2b22（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过坐标原点O且不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线与椭圆的另一个交点为M．求证：△为直角三角形．（2015分）已知函数f(x)lx)．=−（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；1（Ⅱ）求证：当x(,0)时，f(x)−x2−x；2（Ⅲ）设实数k使得f(x)kx2−x对x(−,0)恒成立，求k的取值范围．（2115分）对于项数为m的数列{a}，若数列{b}满足b=max{a,a,，(k=，其中，Mnnk12表示数集M中最大的数，则称数列{b}是{a}的P数列.nn（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a}的P数列是4,5，写出所有的数列{a}；nn（Ⅱ）证明：若数列{a}中存在a使得aa(2≤i≤m)，则存在k使得bb成立；k1knii1n（Ⅲ）数列{b}是{a}的P数列，数列{c}是{−a}的P数列，定义d=sgn(a−a)，其中ninnnnni1xsgn(x)=x=．求证：{b+c}为单调递增数列的充要条件是{d}为单调递增数列．nnnx0.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第4页/共10页参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40（1）A（6）A（2）B（7）C（3）D（8）B（4）B（9）D（5）C（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共255（）(4]−（12））（1321212（14）（答案不唯一）（15）②③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）(14分)（Ⅰ）证明：取中点O，连结PO,BOP因为PAPC，所以=PO⊥ACBO⊥AC；；因为，所以因为=AOC，所以AC平面⊥；B因为平面，所以ACPB．（Ⅱ）由（Ⅰ）知POAC，BO⊥[6分]⊥POPAC⊥=平面，平面，因为平面平面，平面所以PO平面⊥，因为平面PO⊥BO，所以zPO⊥AC，BO⊥AC，如图建立空间直角坐标系O−xyz．P由已知=，易得313PO=PA=1，==3A22OCy在Rt△PBO中，OB=PB2−PO2=3B所以得B(3,0)，C3,0)，P(0,，x所以=(3,0,=3,设平面的法向量为n=(x,y,z)，则000⎯n=即⎯3y−z=0.00n=令01，则=y=1z=3，n=(3)．于是．00第5页/共10页又因为平面的法向量为=(3,0)，⎯⎯|OBn|5所以|OB,n==．⎯|||n|55由题知二面角A−−B为锐角，所以其余弦值为．14分]5（17）(13分)解：（Ⅰ）因为f(x)=3sinx−2sin2x+1，所以2f(x)=x+cosx31=2(sinx+cosx)=2sin(x+)．226=2，所以f()=3[5分]因为．12（Ⅱ）选②ππππ因为f(x)在区间[123,]上单调递减，且当x[,]时，f(x)的值域是[2]，123所以f(x)=f()=2，f(x)=f()=2.123Tππππ此时，由三角函数的性质可得=−=，故T=．2312422π0，所以==4.因为T（Ⅱ）选③ππ因为f(x)在区间[,]上单调递减，123ππT2π所以−≤，即≥，31222解得0≤4．π因为x=是f(x)的一条对称轴，12所以f(x)=f()=2.12所以sin(+)=1，126即+=+2k,kZ1262第6页/共10页解得=4+24k,kZ.≤4，可知=4.由0（18）(13分)[13]23解：（Ⅰ）甲在A区投篮30次，投进20次，所以估计甲在A区投篮进球的概率为，1甲在B区投篮30次，投进15次，所以估计甲在B区投篮进球的概率为.[2分]221（Ⅱ）据题意，甲在A区进球的概率估计为，在B区投篮进球的概率估计为.32设事件A为“甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”甲在A区投3个球，得分可能是4,6，在B区投2个球，得分可能是0,3,6.则甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的情况有：21113()2()2=，A区2分B区0分，概率估计为A区4分B区0分，概率估计为A区4分B区3分，概率估计为A区6分B区0分，概率估计为A区6分B区3分，概率估计为33218213121C2()2()2=，3392112129C2()21=，32332212()3()2=，322721214()31=，2322711922411则甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率估计为++++=.189272718[10]214（Ⅲ）甲在A区投篮一次得分的期望估计是2+0=，甲在B区投篮一次得分的期望估计是333112323+0=，2设甲在A区投篮x次，则甲在B区投篮x)次，−43则总的期望值估计为x+−x)≥7，解得x≤3，32则甲选择在A区投篮的次数最多是3次．[分]（19）(15分)=b22=a2c2=b=c=22解：（Ⅰ）由题意知，解得．a2a2=b2+c2第7页/共10页x2y2所以椭圆C的方程为+=1．[5]P(x,y)Q(−x,−y)．p42（Ⅱ）解：不妨设直线l的方程为y(k0)，l交椭圆于=，ppp−ypyp=yp=112由题意知E(xp,0)，所以k==k；−xpxp2x−2xppk直线的方程为y=(x−xp)．2ky=(x−xp)联立2消去y得(2k2)x2−2k2xP+x+80k2x2−=Px2+2y2=4易知所以M+Q=2+kP，设的中点为D，=(2k2x)2−4(2+k2)(k2x2−0PP2k2xxM+Q=k2xP．则xD=22+k2kkk2x22+k2−kxy=(x−x)=(P−xP)=P；2+k2DDP2−1所以k=yD=kxp=−．xk2xpkD1因为在△中，OD//PM，所以k=−．k1π所以kk=−k=−1，即=．k2所以△为直角三角形得证.[15]（20）(15分)11−x1x−1=−=，kf(0)1=−.=Ⅰ）f(x)x)又f(0)0，=所以曲线yf(x)在点=(0,f(0))处的切线方程为y=−x．[4分]x2x2（Ⅱ）令F(x)=f(x)++x=−x)++x(x0)，221x−1x2x−1=+x+1=.F(x)因为x0，所以F(x)0F(x)(−,0)，在上单调递减.所以F(x)F(0)=0.x2f(x)−−x.即当x(,0)时，[8]2第8页/共10页1x2（Ⅲ1k≤−时，kx2−x−−x.≤2由（Ⅱ）知，当x12x2,0)时，f(x)−−x.(2所以当k≤−时，f(x)kx2−x对x(−,0)恒成立；21（2）当k−时，令h(x)=−x)−kx2+x2kx2+(2k+x21=−2+1=h(x)x−1①当k≥0时，因为xx−1h(x)0h(x)(−,0).上单调递增(−,0)，所以，在h(x)h(0)=0，不合题意12k+12k1②当−k0时，h(x)0得x===1+022k11当x(−,1+)时，h(x)0，x+,0)时，h(x)0．2k2k11所以h(x)在+,0)上单调递增，则x+,0)时，h(x)h(0)0，不合题意=.2k2k1综上，k的取值范围