2024北京密云区高一（上）期末数学试题及答案

2024北京密云高一（上）期末数学2024.1本试卷共6页，150分考试时长分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A=，B=，则B1.已知集合A中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知命题：xR，epx1，那么命题p的否定为（）A.0RR，ex11B.D.xR，ex110C.0，exxR，ex013.已知x0，则x+−2有（）xA.最大值0B.最小值0C.最大值4−4D.最小值4.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）()=f(x)=2xA.fxsinxB.D.1f(x)=x3f(x)=−C.x125.若a=log3，b=log30.7=，c2，则（）A.abcC.acbB.bacD.cabπ6.将函数f(x)=sin2x()的图象，则函数()的图象的gx的图象向右平移个单位长度后，得到函数gx6一个对称中心是（）π−,0π32π32π,0,0−,0A.B.C.D.637.近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类xv科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数xv=alog2.若两岁燕子耗氧量达到4010个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为20m/s时，其耗氧量达到（）第1页/共14页A.80个单位B.120C.160D.3208.已知，bcRa，，则“ab”的一个充分而不必要条件是（）A.a2b2B.2a2bC.sinasinbD.ac2bc2x+c,xcR，函数f(x)=，若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是（）9.设c12+c,xcx22,0(−0,2A.C.B.D.−(−0,11,010.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中π412x2πx为不超过的最大整数，P,2y=2−sinx（x0x，其对应的方程为，其中405）.若该葫芦曲线上一点M到y轴的距离为π，则点M到x轴的距离为（）3143312A.B.C.D.42第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1____________.83+4+25=1()=+(+)12.函数fxx2的定义域是______.xy=()的图象经过点3)fxf(x)，则的解析式是______．13.已知幂函数22−以P,，则sin=______；若14.在平面直角坐标系中，角为始边，终边经过点22πntan+0（nZn0n的一个取值为______.，且第2页/共14页sinx()=15.已知函数fx给出下列五个结论：x2−x①()存在无数个零点；fx②不等式f(x)0的解集为(−)（kZ2k2k1③()在区间fx,1上单调递减；212④函数()的图象关于直线对称；fxx=⑤对x2k,2k1+f(x+2k)f(x)N*.（k其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.xmx2m1B=−.A=xx516.已知集合，（1）当m=4时，求和AB；BAm（2）若，求实数的取值范围.35π217.已知sin=，.πcos+（1）求（2）求的值；3πsin+的值；3（3）在平面直角坐标系为始边，已知角的终边与角的终边关于轴对称，求中，以ycos+)的值.f(x)=x2−(a+3)x+a18.已知函数.（1）若不等式f(x)0()，求的值；0,3a的解集为（2）若不等式f(x)−1a恒成立，求实数的取值范围；对任意的xR()fx0.x（3）解关于的不等式π33()=+19.已知函数fx2cosxsinx−.（0）2（1）求()；f0（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()唯一确定，求()在区fxfx第3页/共14页ππ−,间上的最大值和最小值.66π条件①：当f(x)−fx=2()时，1−x的最小值为2；122π条件②：函数()的图象对称中心与相邻的对称轴之间的距离为；fx4π5π1212条件③：函数()在区间−fx,上单调递增.注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.已知函数()=x+(a−13.)−xfx3（1）若()为奇函数，fxa（ⅰ）求的值，并说明理由；（ⅱ）比较()与()f3f1x，使得f(0)≤6，求的取值范围.a（2）若0A=a,a,N*，n3（nai=）如果去掉其中任意一个元素.i21.对于正整数集合12之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.（1）判断集合2,3,4,5是否是“和谐集”，并说明理由；（2）求证：若集合A是“和谐集”.则集合A中元素个数为奇数；（3）若集合A是“和谐集，求集合A中元素个数的最小值.第4页/共14页参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】求出AB，即可得出AB中元素的个数.【详解】由题意，B=，，A=AB=，故AB中元素的个数为3，故选：C.2.【答案】A【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.【详解】原命题是全称命题，命题p的否定是“0R，ex1”.0故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.3.【答案】B【分析】利用基本不等式求最值即可得到结果.111x+−22x−2=0x=x=1时等号成立即.【详解】因为x0，所以，当且仅当xxx故选：B.4.【答案】C【分析】根据奇函数和增函数的性质即可得出结论.【详解】由题意，(−x)=−sinx=−()为奇函数，函数()为周期函数不是增函数，故错误；fffxfxA项，定义域为R，B项，定义域为R，(−x)=2−x不为奇函数，故错误；(−)=(−)3=−=−()x3f(x)fx为奇函数，函数为增函数，故正确；C项，定义域为R，fxx1()(+)，关于原点对称，()()为奇函数，函数()在fx0，f−x==−fxD项，定义域为x(−)单调递增，在(+)单调递增，但是在定义域上不是增函数，故错误；0，第5页/共14页故选：C.5.【答案】A【分析】根据对数函数的单调性即可比较ab0，由指数的性质即可求解abc.1y=log3xa=log30.7=b1=0【详解】因为函数在定义域上单调递增，所以，332所以ab0，又c20.80，故=abc.故选：A6.【答案】C【分析】先得到()的解析式，整体法求解函数的对称中心，得到答案.gxπ6πgx=sin2x−【详解】()=sin2x−，3πππ2x−=π,kZx=+,kZ，令，解得3262π2π3x=，故,0gx()的一个对称中心，C正确，为当k1时，=3经检验，其他选项均不合要求.故选：C7.【答案】C【分析】结合题意结合对数运算求得a=5，然后列方程，利用指对互化求解即可.【详解】因为两岁燕子耗氧量达到个单位时，其飞行速度为v=10m/s，4010x所以10=alog2=2a，所以a=5v=52，所以，10xx20=5log2=24x=160，所以，当两岁燕子飞行速度为20m/s时，，解得1010即两岁燕子飞行速度为20m/s时，其耗氧量达到160个单位.故选：C8.【答案】D【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断.a=−b=0ab不成立，不满足充分性，A选项错误；【详解】当时，满足a2b2，但由指数函数单调性可知，若22b，则ab，反之，若ab，则2所以22b是ab的充要条件，B选项错误；aa2b，aπ5πa=,b=时，满足sinasinbC当，但ab不成立，不满足充分性，选项错误；36若ac2bc2，则有ab，反之，ab不能得到ac2bc2，比如当c0时，ac2bc2不成立，所以ac2bc2是ab的充分不必要条件，D选项正确.第6页/共14页故选：D9.【答案】D【分析】分类讨论，利用函数与方程的思想，结合函数性质及图象求解即可.y=x+cxcx+cc0【详解】若c0，当时，，此时函数无零点，111xc+cc0y=2+c()没有一个零点，不合题意；fx2xx当时，，此时函数无零点，所以222x,x0x,x0()=fx()=若c0，，画出函数fx的图象如下图所示：2x,x02,x0x由图知当c0时，函数f(x)恰有一个零点0，满足题意；y=x+cc恰有一个零点，若c0，当xc时，由x+c=0得x=−c，此时函数1xcy=2+cx要使函数f(x)恰有一个零点，则当时，函数无零点，21cc−+0，2x+c=0xc时，2x2c，所以2c21c即方程无解，又当，即222xxhx2x()=+h(x)=2x+h(−)=21−=0记，则函数单调递增，且，222hch−1所以()()，所以c−1；(−0,1.c综上，的取值范围是故选：D10.【答案】Dπ44P,2,2=2x=π，得到解析式，代入求出答案.【分析】将代入解析式得到3π12xPy=2−sinx中得，【详解】将代入42ππ21ππ42−sin=2，即sin=1，2π44π5πππ5，所以0=，解得=2，因为0，所以4442第7页/共14页12x2πy=2−sin2x，故当418823x=πy=2−sinπ=sinπ=.时，323332故选：D第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【答案】4【分析】根据对数运算和指数运算计算出答案.113()【详解】83+4+25=23+425=2+lg100=2+2=4.故答案为：412.【答案】(−0)(+)【分析】根据分式函数分母不为零和对数函数的真数大于零列不等式组求解即可.x0x+201()=+(+)fxx2x−2x0，解得且，【详解】要使函数有意义，则x1()=+(+)(0)()fxx2.所以函数的定义域为x故答案为：(0)()1213.【答案】()=fxx()=，再由点(3)代入求得fxx【分析】先设解析式，即得结果.12y=fx()可设为f(x)=x(3)，则()，图象过点f9=9=3，则=【详解】幂函数，1所以f(x)=x.21故答案为：f(x)=x.2214.【答案】①..2（答案不唯一）2【分析】由三角函数定义求解sin，根据特殊角的三角函数值求出角，然后求解正切函数不等式，根据题意写出答案即可.22【详解】因为角以为始边，终边经过点−P,，所以22第8页/共14页222sin==2；2222−+223π2由角的终边在第二象限，且sin=，得=+()2πkZ，24π3π4πn3ππ4ntan+0即tan+2π+=tan+0，则n3πππ311kπ1+1+(ZZ)k−k−(kZ,nZ)k,n所以即，11114n24n4311nk−k−(kZ,nZ)故的一个取值为2（答案不唯一，只要满足即可）.1114n42故答案为：；2（答案不唯一）215.【答案】①④⑤【分析】解方程f(x)=0判断①；利用特殊区间判断②；利用特殊值法可判断③；推导出(−)=()判断④；利用单调性性质及不等式性质判断⑤f1xfx.【详解】对于①，由，即函数f(x)的定义域为(,0)())，x−x0可得x0且x12令f(x)=0可得sinx=0xπk=(Z)x(,0)())，，且，则x=kkZ,kk1()，所以函数()有无数个零点，①对；fx故对于②，当0x1时，x2−x=xx−10()，此时0xπ，则sinπx0，sinxx−x2()=fx()(0,12k2k)−故当0x1时，0，而（kZ2π3sinsinπ239−9343216−=−823342−f===−f==对于③，2，，32242322334−343229348232187−204893822334−=−=0，即ff因为，故，94312故函数()在fx,1上不可能单调递减，③错；(−)sinπxsinxx−x2(−)=f1x=fx=()，x,00,1对于④，对任意的()()()，(−)1x2−(−)1x第9页/共14页12所以函数()的图象关于直线对称，④对；fxx=对于⑤，对x2k,2k1+x2−x=x(x−)10=0，（kN*()()，从而sinx0，2πx2k+1πkN则有假设函数()在()上的最大值点为，则+()，fx02k,2k1kN0−在)上单调递增，且yx2x0，2=因为函数对任意的yx2k,2k1k+(N)N，则(x+2k)2x2k−(+)−，且kx2x0，110，所以x2−x(+)2−(+)x2kx2k(+)sinx2πsinxsinxx−x2(+)=fx2k=fx=()，⑤对.则(+)x2k2−(+)(+)2−(+)x2kx2kx2k故答案为：①④⑤.【点睛】关键点点睛：本题第③小问中函数的单调性不好判断，可分析出函数()的最值点所在的区fx间，并分析出函数()的图象是连续的，再结合最值定理来进行判断.fx三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.x4xAB=xx716.1）或，（2）m3）根据补集和并集概念计算出答案；（2）分B=与B两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.m【小问1=x4x7，x4x或，m=4时，BAB=xx5x4x7=xx7；【小问2BAB=时，m2m−1，解得m1，，当m2m−1当B时，，解得1m3，2m−15m故实数的取值范围是m3.4−3317.1）10+73（2）第10页/14页（3）1）利用同角三角函数关系及两角和的余弦公式计算即可；（2）利用二倍角公式及两角和正弦公式计算即可；的终边与角y轴对称求出sin,，然后利用两角和的余弦公式计算即可.（3）根据角的终边关于【小问13π4因为sin=，2，所以cos=1−sin2=，55π3ππ413=−52534−33所以cos+=−sinsin=；33210【小问2345因为sin=，=，543247所以sin=2sincos=2=，=1−2sin2=，552525π3ππ241+2522573224+73所以sin2+sin2=+cos2sin==；3350【小问3的终边与角y的终边关于轴对称，因为角354所以sin=sin=，=−=−，54433+=cos−sinsin=−−=−1所以().555518.1）0（2）()1,5（3）解集见解析a）根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可；（2）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解；（3）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解.【小问1因为不等式f(x)0()，0,3的解集为所以方程()x=x=3的两根分别为，12x2−a+3x+a=0x+x=a+3=3xx=a=0a=0；根据韦达定理可知，12，解得12【小问2不等式f(x)−1对任意的xR恒成立，x22−a+3x+a+10xRΔ=(a+−a+0，2即()对任意的恒成立，所以()；−6a+50，解得1a5a1,5，所以实数的取值范围为即a【小问3()=−(+)+即(−)(−)，x2fxa3xa0xax30当a3时，不等式f(x)0的解为xax3或，a3时，不等式f(x)0的解为xxa3或，当()的解为，xa当a=3时，不等式fx0综上所述，当a3时，不等式f(x)0的解集为()()，,3a,f(x)0的解集为(,a)).当a3时，不等式319.1）（2）见解析2）根据函数解析式，可得答案；（2）根据三角恒等式化简函数解析式，由题意可得函数的最小正周期，结合正弦函数的单调性，可得答案.【小问1π3333()=f02cos0sin−=2−=.32222【小问2π33ππ33()=x+−=xsinx+−fxxsinsin，232311+x3=cossinx+2x−=sin2x+3−，222213π=sin2x+x=sinx+.322若选①:π由题意可得函数()的最小正周期fxT=2=π，22ππ3()=+，符合题意，则T=，解得=1，故fxsin2xπππ2π()，0fx1，则−x02x+因6633第12页/14页ππx−,f(x)=f(x)=1.所以当时，66若选②:由题意可得函数()的最小周期，fxT=4=432π()=+，符合题意，则T=，解得=1，故fxsin2xπππ2π()，0fx1，则−x02x+因6633ππ66x−,f(x)=f(x)=1.所以当时，若选③:π5ππππ−x−，则+x++由121263363ππππ−+2π−+++2，kZ，由题意可知显然263632不唯一，不符合题意.20.1ⅰ）a0=ⅱ）f)f(3).（2）a10fx+f−x=01（ⅰ）由奇函数的定义()()f1()与f3)的值即可得到结果.（ⅱ）分别计算出进行比较即可.t=3,xx0,1，t01,3，f(0)6利用分离参数法可转化为（2）换元令0，使得0(+t+)at2a−t2+t+1，只需即可.【小问1（ⅰ）a=0，理由如下：因为()为奇函数，所以()+(−)=，即+(−)−x3xa13++(−)x0−xa13=，化简得fxfxfx0(+−)=0a3xxa=0，所以.1831()=−=f1()=,f327−()()f1f3.故（ⅱ）3,327【小问2fx3xa130,1()=+(−)−x，，使得()xf060令t=3,xx，所以t1,30,1f(0)6−t2+t+10，可转化为a0(+t+)at2只需即可，第13页/14页y=−+t2tt1,3，图象开口向下，对称轴t+=3令当t=3时，y=10，所以a10.21.1）不是，理由见解析（2）证明见解析37）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合2,3,