《机械设计基础 》课件第6章

第6章扭转变形6.1扭矩和扭矩图

6.2扭转变形的应力分析

6.3圆轴扭转时的强度计算思考与练习题

6.1.1扭转的概念

工程上有许多构件承受扭转变形，如汽车方向盘的转向轴(如图6-1所示)、丝锥(如图6-2所示)等。这些构件的受力情况能抽象为一个共同的力学模型，如图6-3所示。从图6-3可以看出构件扭转时的受力特点是：构件两端受一对力偶作用，两力偶的力偶矩大小相等，转向相反，且力偶的作用面均垂直于杆的轴线。其变形特点是：杆件的任意两个横截面绕轴线作相对转动。这种变形形式称为扭转。6.1扭矩和扭矩图

图6-1转向轴受力图6-2丝锥受力情况

图6-3扭转变形应该注意的是，有许多构件在发生扭转变形的同时，还伴随有其它形式的变形，如弯曲变形等。本章主要讨论的是构件的扭转变形。由于发生扭转的构件绝大多数是圆形截面的构件，因此，本章主要研究圆形截面构件的扭转问题。工程中一般将主要发生扭转的构件称为轴。6.1.2外力偶矩的计算

工程上作用于轴上的外力偶矩很少直接给出，往往给出轴的转速n和轴所传递的功率P，通过功率的有关公式推导，可以得出下列计算外力矩(又称转矩)的公式：

(6-1)

式中:P为轴所传递的功率，单位为kW；

n为轴的转速，单位为r/min；

M为作用于轴上的力偶矩，单位为N·m。6.1.3扭矩和扭矩图

当求出作用于轴上的外力偶矩以后，即可用截面法计算截面上的内力。

设一轴在一对大小相等、转向相反的外力偶作用下产生扭转变形，如图6-4(a)所示。在轴的任意截面n—n处将轴假想截开(如图6-4(b)和(c)所示)。由于整个轴是平衡的，因此每一段轴都处于平衡状态，这就使得n—n截面上的分布内力必然构成一个力偶，并以横截面为其作用面，这个力偶矩称为扭矩，以Mn表示。

图6-4截面法求扭矩根据左段或右段的平衡条件，均可得n—n截面上的扭矩为Mn＝M。但由左、右两段所求得扭矩的转向相反，这是因为它们是作用与反作用的关系。

为使无论取左段还是右段所求得的扭矩不但在数值上相等而且符号也一样，对扭矩符号作如下规定：用右手螺旋法则，即以右手四指沿着扭矩的转向，若拇指的指向离开截面则扭矩为正，反之为负，如图6-5所示。

图6-5扭矩符号规定当轴上作用有多个外力偶时，须按外力偶作用的截面将轴划分为几个自然段，逐段求出其扭矩。为了确定轴上最大扭矩的位置，找出危险截面，常用一种图形表示各截面内的扭矩随截面位置不同而产生的变化规律，这种图形称为扭矩图。作图时，以平行于轴线的坐标表示各横截面的位置，垂直于轴线的坐标表示扭矩的大小。如图6-4(d)所示，即为AB轴的扭矩图。

例6-1

传动轴如图6-6(a)所示。其转速为n＝300r/min,主动轮A上输入的功率为PA＝221kW，从动轮B和C上输出的功率分别为PB＝148kW，PC＝73kW。试求轴上各截面的扭矩，并画出轴的扭矩图。

图6-6传动轴

解

(1)计算外力偶矩。由式(6-1)可知，作用在A、B、C上的外力偶矩分别为

(2)计算扭矩。在轴AC段的任意截面1—1处将轴截开，取左段为研究对象(如图66(b)所示)，以Mn1表示截面的扭矩，并假设其转向为正向，根据平衡条件得

同理，在AB段的任意截面2—2将轴截开，以Mn2表示截面的扭矩，假设其转向为正向，取右段为研究对象(如图6-6(c)所示)，由平衡条件得(3)画扭矩图。根据所得的扭矩作扭矩图(如图6-6(d)所示)，可见

|Mn|max＝4711N·m

6.2.1横截面上的应力

圆轴扭转时，在确定了横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上内力分布规律，以便求得横截面上的应力。

为了研究应力，先来观察扭转试验的现象。试验前在如图6-7(a)所示圆轴的表面上，画出许多等距的圆周线和纵向线，形成许多小方格。然后将轴一端固定，在另一端施加外力偶M，使其产生扭转变形。变形后的圆轴如图6-7(b)所示。此时可看出如下现象：6.2扭转变形的应力分析

(1)各圆周线的形状、大小和相邻两圆周线之间的距离均未改变，只是相对地绕轴线转过了一个角度。

(2)各纵向线倾斜了一个角度γ，使圆轴表面的每一小方格均变为菱形(小方格的直角改变量γ即为剪应变)。

根据上述试验现象，可以对圆轴的内部变形作如下假设：圆轴扭转变形前的横截面变形后仍保持为平面，而且相互的轴向距离不变，只是绕轴线相对转了一个角度。因此可做出以下推论：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向上的剪应力，而没有正应力。

图6-7圆轴扭转试验时的现象由此平面假设可知，圆轴扭转时，其横截面上各点的剪应力与该点到圆心的距离ρ成正比。根据剪切虎克定律τ＝Gγ可知：横截面上的剪应力沿半径按线性分布，即τρ＝kρ，其方向垂直于半径指向与扭矩的转向一致。在距圆心等距的各点处剪应力的大小相等，如图6-8(a)所示。上述分析也完全适用于空心圆截面，如图6-8(b)所示。

图6-8横截面的剪应力

图6-9剪应力与扭矩的关系在如图6-9所示的截面上，在距离圆心为ρ处取一微面积dA，则tρdA为作用在微面积上的微剪力，它对圆心的微力矩为rtrdA，整个截面上所有微力矩之和应等于该截面上的扭矩Mn，因此

(6-2)

将τρ＝kρ代入上式，得

(6-3)式(6-3)中， 为只与截面形状和尺寸有关的几何量，称为横截面对圆心的极惯性矩，以IP表示，即

，其单位为mm4或cm4。

将k＝τρ/ρ代入式(6-3)，得

(6-4)

式(6-4)为圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力计算公式，式中Mn为欲求应力的点所在横截面上的扭矩；ρ为欲求应力的点到圆心的距离；IP为横截面对圆心的极惯性矩。

由式(6-4)可知，当ρ＝ρmax＝R时，τρ＝τmax，即在横截面最外边缘处，剪应力的值最大，即

若令 ，则

(6-5)

式中:WP为圆截面的抗扭截面模量，单位为mm3。6.2.2极惯性矩和抗扭截面模量的计算

在如图6-10所示的直径为d的实心圆截面中，在距圆心为ρ处，取厚度为dr的微分圆环，其面积dA＝2pr·dr，从而可得圆截面的极惯性矩为

(6-6)

图6-10圆截面极惯性矩的计算

其抗扭截面模量为

(6-7)

用类似的方法可以计算出内径为d，外径为D的空心圆截面的极惯性矩IP和抗扭截面模量WP分别为

(6-8)

(6-9)

式中，α＝d/D为空心圆轴内、外径之比。

为了保证圆轴扭转时具有足够的强度而不被破坏，必须限制轴内所受的最大剪应力不得超过材料的许用剪应力。对于等截面轴，其最大剪应力发生在扭矩值最大的截面(称为危险截面)的外缘处，故圆轴扭转的强度条件为

(6-10)6.3圆轴扭转时的强度计算式中，扭转许用剪应力［τ］，是根据扭转试验，并考虑安全系数确定的。在静载荷条件下，它与许用拉应力［σ］有如下关系：

塑性材料 ［τ］＝(0.5~0.6)［σ］

脆性材料 ［τ］＝(0.8~1.0)［σ］

与拉压问题相似，式(6-10)可以解决强度校核、截面尺寸设计和确定最大许可载荷等三类扭转强度问题。

例6-2

实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器联接，如图6-11所示。已知轴的转速n＝1000r/min，传递的功率P＝8kW，材料的许用剪应力［τ］＝40MPa。试设计实心轴的直径d和空心轴的内、外径(设α＝0.7)。

解

(1)计算该轴承受的外力偶矩。

图6-11实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器联接

(2)计算横截面上的扭矩。Mn＝M＝76.4N·m

(3)设计实心轴的直径。

(4)设计空心轴的的外径。

则其内径为d1＝0.7D＝16.4mm。

例6-3

一阶梯圆轴如图6-12(a)所示，已知圆轴扭转许用剪应力［τ］＝60MPa，求许用外力偶矩M。

解

(1)作阶梯轴的扭矩图。如图6-12(b)所示，AB段轴的扭矩比BC段轴的扭矩大，但其直径也比BC段轴的直径大，因而两段轴的强度都要考虑。

(2)确定许用外力偶矩M。考虑AB段的扭转强度，根据式(6-10)

图6-12阶梯圆轴则有

考虑BC段的扭转强度，根据式(6-10)

则有

所以轴的许用外力偶矩［M］＝62.7N·m。

6-1两根轴的直径d和长度l相同，而材料不同，在相同的扭矩作用下，它的最大剪应力是否相同？为什么？

6-2轴的横截面上扭矩为Mn，如图6-13所示。试画出图示各横截面上剪应力的分布图。思考与练习题

图6-136-3当传递的功率P不变时增加轴的转速，轴的强度将()。

A.有所提高 B.有所削弱

C.没有变化 D.无法判定

6-4实心轴的直径与空心轴的外径相同时，抗扭截面模量大的是()。

A.空心轴 B.实心轴

C.一样大 D.无法判定

6-5如图6-14所示。求各轴Ⅰ—Ⅰ、Ⅱ—Ⅱ、Ⅲ—Ⅲ截面上的扭矩，并画出扭矩图。

图6-14

6-6如图6-15所示，一端固定一端自由的轴，已知轴的直径d＝80mm，每段长度l＝500mm，外力偶矩M1＝7kN·m，M2＝5kN·m，试画轴的扭矩图。

6-7如图6-16所示，轴上