新课程2024高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲充分条件与必要条件全称量词与存在量词学案含解析

PAGE第2讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词[考纲解读]1.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义，理解全称量词与存在量词的含义．(重点、难点)2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点)[考向预料]本讲是高考中的常考学问点．预料2024年高考将会对命题及充要条件的推断，全称命题、特称命题的否定进行考查，考查学问面比较广泛，以数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念为命题方向．试题难度以中、低档题型为主，且以选择、填空题的形式进行考查.1.命题用语言、符号或式子表达的，可以eq\o(□,\s\up3(01))推断真假的陈述句叫做命题，其中eq\o(□,\s\up3(02))推断为真的语句叫做真命题，eq\o(□,\s\up3(03))推断为假的语句叫做假命题．2．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的eq\o(□,\s\up3(01))充分条件，q是p的eq\o(□,\s\up3(02))必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的eq\o(□,\s\up3(03))充分不必要条件p⇒q且qeq\o(⇒,/)pA是B的eq\o(□,\s\up3(04))真子集p是q的eq\o(□,\s\up3(05))必要不充分条件peq\o(⇒,/)q且q⇒pB是A的eq\o(□,\s\up3(06))真子集p是q的eq\o(□,\s\up3(07))充要条件p⇔qeq\o(□,\s\up3(08))A＝Bp是q的eq\o(□,\s\up3(09))既不充分也不必要条件peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)pA，B互不eq\o(□,\s\up3(10))包含3．全称量词和存在量词量词名词常见量词表示符号全称量词全部、一切、随意、全部、每一个、任给等eq\o(□,\s\up3(01))∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等eq\o(□,\s\up3(02))∃4．全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的随意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记eq\o(□,\s\up3(01))∀x∈M，p(x)eq\o(□,\s\up3(02))∃x0∈M，p(x0)否定eq\o(□,\s\up3(03))∃x0∈M，p(x0)eq\o(□,\s\up3(04))∀x∈M，p(x)1．概念辨析(1)“x－3>0”是命题．()(2)命题“3≤3”是假命题．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)对于随意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A，∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析因为NM，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．(3)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lgx0＝1 B．∃x0∈R，sinx0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案C解析因为lg10＝1，所以A是真命题；因为sin0＝0，所以B是真命题；因为(－2)3<0，所以C是假命题；由指数函数的性质知∀x∈R,2x>0是真命题．(4)命题“∃x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定是________．答案∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2解析由特称命题的否定可得，已知命题的否定是∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2.题型一充分、必要条件的推断角度1定义法推断充分、必要条件1．(2024·湖南省长郡中学模拟)已知ai，bi∈R且ai，bi都不为0(i＝1,2)，则“eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)”是“关于x的不等式a1x－b1＞0与a2x－b2＞0同解”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析当a1＝－1，b1＝－1或a2＝1，b2＝1时，满意eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)，但关于x的不等式a1x－b1＞0与a2x－b2＞0的解集明显不同；当关于x的不等式a1x－b1＞0与a2x－b2＞0的解集相同时，肯定有eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)，所以“eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)”是“关于x的不等式a1x－b1＞0与a2x－b2＞0同解”的必要不充分条件．角度2集合法推断充分、必要条件2．(2024·青岛模拟)“x>1”是“logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0”的()A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0，得x>－1，明显{x|x>1}{x|x>－1}，故“x>1”是“logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0”的充分不必要条件．故选B.推断充分、必要条件的两种方法方法解读适合题型定义法第一步，分清条件和结论：分清谁是条件，谁是结论；其次步，找推式：推断“p→q”及“q→p”的真假；第三步，下结论：依据推式及定义下结论定义法是推断充分、必要条件最根本、最适用的方法．如举例说明1集合法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件适用于“当所要推断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的状况．如举例说明21．(2024·四川蓉城名校高三摸底)已知实数a≠0，则“eq\f(1,a)＜2”是“a＞eq\f(1,2)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析a＝－1时eq\f(1,a)＜2但a＜eq\f(1,2)；若a＞eq\f(1,2)，则a＞0，所以a·eq\f(2,a)＞eq\f(1,2)·eq\f(2,a)，即eq\f(1,a)＜2.所以“a＞eq\f(1,2)”⇒“eq\f(1,a)＜2”，“eq\f(1,a)＜2”eq\o(⇒,/)“a＞eq\f(1,2)”，所以“eq\f(1,a)＜2”是“a＞eq\f(1,2)”的必要不充分条件．2．(2024·石家庄模拟)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析“3a>3b>3”等价于“a>b>1”，“loga3<logb3”等价于“a>b>1或0<a<1<b或0<b<a<1”，从而“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件．故选B.题型二利用充分、必要条件求参数的取值范围1．(2024·四川绵阳模拟)命题“对随意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥1B．a>1C．a≥4D．a>4答案D解析命题可化为∀x∈[1,2)，a≥x2恒成立，∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)，∴命题为真命题的充要条件为a≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.2.(2024·河北衡水中学模拟)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－x－6≤1}，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，0]解析由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－x－6≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}．由log3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}．由题意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.故实数a的取值范围是(－∞，0]．利用充分、必要条件求参数取值范围的步骤和留意点(1)步骤①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，如举例说明2.②依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)三个留意点①看清“p是q的……条件”还是“p的……条件是q”，假如是其次种形式，要先转化为第一种形式，再推断．如举例说明1.②要留意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号确定端点值的取舍.1．(2024·日照模拟)(多选)设p：实数x满意x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0，))若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值可以是()A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,4)D．3答案BC解析因为p是q的必要不充分条件，即q⇒p但peq\o(⇒,/)q，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则BA，又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；当a<0时，A＝(3a，a)，所以当a>0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，3<3a，))解得1<a≤2；当a<0时，明显A∩B＝∅，不符合题意．综上所述，实数a的取值可以是eq\f(3,2)或eq\f(5,4)，故B，C成立．2．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4.又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.3．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．答案[0,3]解析由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，))解得0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．题型三全称命题、特称命题角度1全称命题、特称命题的真假推断1.试推断以下命题的真假.(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)∃x0∈Z，xeq\o\al(3,0)<1；(4)∃x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3；(5)∀x∈R，x2－3x＋2>0；(6)∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＝0.解(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1，所以命题“∃x0∈Z，xeq\o\al(3,0)<1”是真命题.(4)由于使x2＝3成立的数只有±eq\r(3)，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3”是假命题.(5)假命题，因为只有x>2或x<1时满意.(6)假命题，因为不存在一个实数x使x2＋1＝0成立.角度2含有一个量词的命题的否定2.(1)已知定义在R上的函数f(x)周期为T(常数)，则命题“∀x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是____________；(2)命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的否定是____________________.答案(1)∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)(2)角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等解析(1)量词“∀”改为“∃”，f(x)＝f(x＋T)改为f(x)≠f(x＋T)，故已知命题的否定是∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T).(2)①改量词，本题中省略了量词“全部”，应将其改为“有的”；②否定结论，“距离相等”改为“距离不相等”.故已知命题的否定是“角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等”.1.全(特)称命题真假的推断方法全称命题(1)要推断一个全称命题是真命题，必需对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要推断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特别值x＝x0，使p(x0)不成马上可．如举例说明1中(1)(2)(5)特称命题要推断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成马上可，否则这一特称命题就是假命题．如举例说明1中(3)(4)(6)2．对全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需干脆否定结论即可．提示：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．如举例说明2(2).1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案C解析命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，故p：∀n∈N，n2≤2n.2．已知直线l：y＝k(x－1)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，现给出下列四个命题：p1：∀k∈R，l与C相交； p2：∃k∈R，l与C相切；p3：∀r>0，l与C相交； p4：∃r>0，l与C相切．其中真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案A解析因为直线l：y＝k(x－1)恒过定点(1,0)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(1,0)，所以直线l恒过圆心，所以∀k∈R，l与C相交，∀r>0，l与C相交，所以p1，p3是真命题，p2，p4是假命题．题型四依据命题的真假求参数的取值范围1．若“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．答案0解析y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))⇒tanx∈[－1,1]⇒tanx＋1∈[0,2]．若∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，总有m≤tanx＋1成立，则m≤0，故实数m的最大值为0.2．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析当x1∈[0,3]时，f(x1)∈[0，ln10]，当x2∈[1,2]时，g(x2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－m，\f(1,2)－m)).因为∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，所以只需0≥eq\f(1,4)－m，解得m≥eq\f(1,4).条件探究将本例中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．答案e