专题2球的内接外切问题-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题2：球的内接外切问题（解析版）几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。几何体的外接球问题你通常会想到：①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→③寻找突破口建立方程。这类题80%以上都不用画图，只需要2步搞定：①识别模型→②代入公式，就可以轻松求出外接球半径R常见几何体的外接球半径：长方体正四面体正方体长方体正四面体正方体例1．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.【答案】.【分析】设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．【详解】如图所示，设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，则点在线段上，由于正方体的棱长为2，则的外接圆的半径为，设球的半径为，则，解得.所以，，则而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，由于，所以，因此，点所构成的图形的面积为.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.例2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．10 B．20 C．24 D．32【答案】C【分析】各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解.【详解】因为正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即，,故选：C例3．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球体积为______.【答案】【分析】由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积.【详解】在中，由余弦定理得，得.所以的外接圆半径.所以该三棱柱的外接球半径.所以外接球体积.故答案为：.【点睛】本题考查直棱柱的外接球半径计算，考查球的体积计算公式，难度一般，找出球心，解出半径是关键.模型一——圆柱外接球模型一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径.变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。在这里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r例4，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项.【详解】如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为R，则，解得，所以外接球的表面积为，故选：A.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积，关键在于求出球的半径，属于基础题.例5．在直三棱柱中，，，，若该三棱柱的外接球表面积为，则三棱柱的高为（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】利用余弦定理求得，利用正弦定理求得三角形外接圆半径，由此求得外接球半径的表达式，利用外接球的表面积列方程，解方程求得三棱柱的高.【详解】在中，，得.所以的外接圆半径.设该三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球半径.所以外接球表面积.解得故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查运算求解能力.变形二：如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉我们将得到右图三棱锥：例6．已知A､B､C､D为同一球面上的四个点.在△ABC中，，；AD=6，⊥平面，则该球的体积为___________.【答案】【分析】设的外接圆圆心为，球心为，根据线面垂直关系先求出，再求出由余弦定理求出，由为球的半径，所以为直角三角形，用勾股定理及可求出球的半径，再由球的体积公式即可求解.【详解】由题设的外接圆圆心为，球心为，所以平面，因为⊥平面，所以与平行，因为,，所以,因为，，由余弦定理可得，所以，所以球的半径，所以球的体积为.故答案为：【点睛】本题主要考查球体积的求法，球的内接问题，考查学生空间想象能力和计算能力.变形三规律总结：①圆柱r,h自带②直棱柱r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长小结：求r的几种方法：①等边三角形：②直角三角形：③已知一组对边和对角的非特殊三角形：利用正弦定理！！！利用正弦定理！！！例7．如图，在棱锥中，底面是正方形，，平面．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A． B．C．2 D．【答案】D【分析】设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，利用这五个棱锥的体积之和等于棱锥的体积，则球的最大半径可求.【详解】解：由平面，，又，，所以平面，所以，，设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R．四棱锥的体积，四棱锥的表面积，因为，所以．故选：D.【点睛】考查利用等体积法求四棱锥内切球的半径，基础题.模型二——补全立方体模型类型一.正四面体：转化成正方体的外接球方法：如图所示正四面体ABCD的外接球，可转化为正方体的外接球.例8．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为________.【答案】3【分析】作图，设，则，，，求出，根据图像得，底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，进而求解可得答案【详解】根据可知，为三角形所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则，，，，，，，，当底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，此时，故答案为：3【点睛】关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心的位置，得出到平面的最大距离，难度属于中档题类型二.有三个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球例9：已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于.解析：，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）图4图4类型三.有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球例10.已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是.解析：构造下面的长方体，于是为球的直径（如图5）图5图5类型四.对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球例11．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积．【详解】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．故选：C．【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的各棱是长方体六个面上面对角线．三.确定球心位置法例12．在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为平面，平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面，所以.因为，所以，，，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于的中点，则外接球半径，故该四面体的外接球的表面积为.故选：C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.例13．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（）A．30 B． C． D．36【答案】C【分析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径，再已知条件和球的表面积公式可得选项.【详解】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径满足：，则.由题意知：，则，，该正方体的外接球的表面积为，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，所以外接球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球，内切球的相关计算，以及数学文化，属于中档题.四．寻求轴截面圆半径法例14．如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】四棱锥体积是三棱柱体积的，因此要三棱柱体积，而棱柱的高最大值为，因此只要最大即可，此时三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，是斜边，因此其外接球球心是和的交点．由此可得外接球半径．【详解】∵，∴，∴只要三棱柱体积取最大值，则四棱锥体积最大，三棱柱的高最大值为，∴此时，，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2（此时），∴．连接交于点，设分别是的中点，则，且，从而平面，由知是的外心，∴是三棱柱外接球的球心，在正方形中，，∴．故选：C．【点睛】本题考查球的体积，考查三棱柱与其外接球，考查棱柱与棱锥的体积．本题难点有两个，一个是三棱柱体积最大时三棱柱中的线面位置关系，一个是外接球的球心位置．多面体的外接球球心一定在过各面外心的该面的垂线上．例15．如图所示，在三棱锥中，面面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______.【答案】【分析】先确定底面等腰直角三角形的外接圆圆心是中点，则球心一定在面的垂线上，再利用是的外心列关系计算半径，即求得体积.【详解】如图，取中点，连接，，，，且为的外心.，是中点，，又面面，交线是，故面，则三棱锥的外接球的球心在上，设为点，则点是的外心，即为球半径R.中，，，故，在中，，解得，故球的体积为.故答案为：.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据其到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法. 走进高考 1．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.2．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AAA．4π B．92π C．6π【答案】B【解析】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.3．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．4．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．6．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AAA．4π B．92π C．6π【答案】B【解析】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.7．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为