广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题 含解析

肇庆市2025届高中毕业班第一次模拟考试数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.4 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用对数运算法则得到答案.【详解】.故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式可得，再由交集运算可得结果.【详解】由不等式，得，所以，又，可得.故选：A3.曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可【详解】令，则，即，f1=0，所以曲线在处的切线方程为，即，故选：D.4.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和两种情况，结合指数函数和对数函数单调性，得到不等式解集.【详解】当时，，解得，与求交集得，当，，解得，与求交集得，故的解集为.故选：D5.已知复数，，则“”是“”的（）A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。【详解】因为，所以，充分性显然成立；对于必要性，只需举一个反例即可，如，，此时，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选:C6.已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由是奇函数且在上单调递减，函数也是奇函数且在上单调递减，得在上单调递减，利用单调性解不等式.【详解】定义在上的函数，因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数.由.因为是增函数，所以是减函数.又因为是减函数，所以在上单调递减.因为，所以，解得.故选：B.7.已知，，则（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】先由已知和余弦函数值确定，再由同角的三角函数关系化简计算即可；【详解】因为，所以，因为，所以，，所以，，所以.故选：A.8.在中，且，若（），则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】确定，构造平行四边形，借助图形得到最小值即为点到直线的距离，即可求解.【详解】因为，所以，即，得，因为A是的内角，所以，故，即，所以.以为邻边作平行四边形，由，即在直线上，所以的最小值即为点到直线的距离，因为，，过向作垂线，垂足为,，所以的最小值为，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正实数m，n满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.C.的最大值为2 D.的最小值是4【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据题意得，化简后可判断；对于B，利用作差法即可判断；对于C，利用基本不等式可求最值；对于D，由题意得，代入得关于的二次函数，进而可求最值.【详解】对于A选项，，故，故A正确；对于B选项，因为，所以，故B错误；对于C选项，因为，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；对于D选项，因为，所以，故当，时，有最小值，故D错误.故选：AC.10.将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（）A.37 B.58 C.67 D.79【答案】ACD【解析】【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解.【详解】不妨设第n（）个“拐弯数”为，不难发现，，，，…，所以（），利用累加法得，因而，当时，也符合上式，所以（）.代入选项验算可知A，C，D三个选项正确.故选：ACD.11.已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（）A.B.若函数（）在上单调递减，则C.若，则的最小值为D.若函数在上存在两个极值点，则【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的单调区间以及可知关于点对称且，可得，再由时，取得最小值可得，即A错误，由并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得最小值应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确.【详解】对于A选项，因为，所以，可得的图象关于点对称，又因为对任意，都有，所以当时，取得最小值.因为在是单调函数，所以得，所以，又因为函数在时取得最小值，所以由，得，.解得，.又，所以，故A错误；对于B选项，易知，所以，当时，，若函数（）在上单调递减，则，解得，故B正确；对于C选项，最小正周期为，当时，则，分别为函数的最大、最小值，所以，故C正确；对于D选项，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使在上存在两个极值点，要满足，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数的解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数满足，则_________．【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算即可得解.【详解】因，所以.故答案为：.13.已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为__________.【答案】1【解析】【分析】由得到，再由投影向量计算公式代入计算即可.【详解】因为单位向量，满足，可得：，也即则，则向量在向量上的投影向量的模为.故答案为：114.已知函数（）在上单调递增，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】在上恒成立，时，不合要求，时，，解得，，分，和三种情况，得到，化简可得，，由基本不等式求出的最大值为.【详解】由题意，得，因为在上单调递增，所以在上恒成立.当时，，在上，，不符合题意；当时，令，解得，.当时，在上，，，，不符合题意；当时，在上，，，，不符合题意；当时，在上，，，；在，，，；所以.因此，有，化简可得，故当且仅当，即时，等式成立.故的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列定义可求得，可得其通项公式；（2）利用错位相减法以及等比数列前项和公式计算可得.【小问1详解】设等比数列的公比为，由题意得，解得（舍去），所以.即数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知①，所以②.①－②得所以.16.已知向量，，，函数，且的最小正周期为.（1）若，求的值域；（2）将的图象先向下平移个单位长度，再向左平移m（）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数的图象重合，求实数m的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，根据最小正周期得到，得到函数解析式，利用整体法求出值域；（2）利用伸缩和平移变换得到，结合，得到方程，求出，，当时，实数m取得最小值.【小问1详解】，因为最小正周期为，所以，解得，所以，因为，所以，则，所以，所以当时，的值域为.【小问2详解】向下平移个单位长度得，向左平移m（）个单位长度得，横坐标变为原来的2倍得.因为，所以要使得与的图象重合，则，，解得，当时，实数m取得最小值.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）若，求的面积；（2）求A的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知，，利用余弦定理化简得，结合，可求的面积；（2）解法一：已知，，利用正弦定理得，由，利用基本不等式求的最大值，可得A的最大值.解法二：过点A作交BC于点H，，，设，则，，得，利用基本不等式求的最大值，可得A的最大值.【小问1详解】由余弦定理，得，所以.【小问2详解】解法一：因为，，所以，由正弦定理，可得，则，因为，所以，C是钝角，所以B是锐角，所以.当且仅当时等号成立，此时，，.又因为A为锐角，正切函数在上是增函数，所以，故A的最大值为.解法二：因为，则，所以C为钝角，如图，过点A作交BC于点H，则，，设，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，又因为角A为锐角，正切函数在上是增函数，所以，故的最大值为.18.已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）若存在极大值，求a的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用函数的导数与单调性、最值的关系求解；（2）利用导数与极值关系，结合参数和讨论函数单调性，从而解决问题.【小问1详解】由题可知的定义域为0,+∞，当时，，.令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取极大值，也是最大值，故的最大值为.【小问2详解】.令，则当时，，在0,+∞上单调递减，当时，；，根据零点存在定理，得在0,2内存在唯一的零点，在上，gx>0，，单调递增；在上，gx<0，，单调递减，存在极大值.当时，令，解得，（舍去），在上，，单调递减；在上，，单调递增.所以当时，取极小值，也是最小值，故.当，即时，由于当时，，此时，在上，必定存在唯一的零点.在上，gx>0，，单调递增；在，gx<0，，单调递减，存在极大值，当时在0,+∞上，，单调递增不存在极大值.综上所述，a的取值范围是.【点睛】利用导函数研究函数极值：通常利用导数研究含参函数的单调性，借助零点存在定理，同时注意分类讨论.19.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列.（1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；（2）若，求的二阶和数列的前n项和；（3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差.【答案】（1）12（2）（3）k的最大值是1999，此时公差为【解析】【分析】（1）根据一阶和数列的定义以及，，，的值可计算出，，的值，再根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而解得，，的值，再由定义可求出的值；（2）根据定义和以及可得的通项公式，进而求得的前n项和公式；（3）由和一阶和数列的