第7讲向量的应用（知识点串讲）原卷版

第7讲向量的应用（沪教版2020必修二）【知识讲练】1、平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数，使．我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基．注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量在给出基底的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，是被唯一确定的数量几何角度证明：如图，在平面内取一点O，作，，，再作直线OA、OB．设点C不在直线OA和OB上，过点C分别作直线OA、OB的平行线，由于向量不平行，可知所作两直线分别与直线OB、OA有唯一的交点，记为N、M．作向量、．因为，所以存在唯一的实数，使．因为，所以存在唯一的实数，使．而四边形OMCN是平行四边形，因此．即=．如果点C在直线OA或OB上，那么或．这时得或．所以关于、的分解式总是确定的．代数角度：证明唯一性：（1）当时，（2）当时，假设，则有=,．由于不平行，故，即．2、重要结论设不平行，点在上存在实数使得证明：如图，设向量，【的正负可以给学生讲一下】3、平面向量和三角形四心（1）是的重心．证法1：设是的重心．证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）设,,是三角形的三条边长，I是ABC的内心为的内心．证明：（)分别为方向上的单位向量，平分,IA为ABC中的角平分线，同理可证IB为ABC中的角平分线，IC为ABC中的角平分线。点I为ABC的内心。（3）为的垂心．证明：如图所示是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足．同理，（4）为的外心。（5）四心重要的结论：Ⅰ、外心（外接圆圆心O中垂线的交点）①．（R为外接圆半径）．②．．③．推广：（D为BC的中点，G为△ABC的重心）．④．*圆心角是圆周角的两倍．⑤．*Ⅱ、重心（G中线的交点）①．．②．or．③．若，则其重心的坐标为．④．重心分每条中线分为2：1的两短．Ⅲ、内心（内切圆圆心I角平分线的交点）①．注：表示为∠A的角平分线．②．．Ⅳ、垂心（H角平分线的交点）①．．②．*4、运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．一、单选题1．（2021·上海高一课时练习）有关向量和向量，下列四个说法中：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则.其中的正确有（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·上海高一课时练习）平行四边形ABCD中，等于（）A． B． C． D．3．（2021·上海高一课时练习）下列命题正确的是A．若都是单位向量，则B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同C．向量与是两个平行向量D．若，则四点是平行四边形的四个顶点4．（2021·上海高一课时练习）已知为两个单位向量，那么下列四个命题中正确的是A． B．若，则 C． D．5．（2021·上海高一课时练习）设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点．若，则（）A．－1 B．0 C．1 D．36．（2021·上海高一课时练习）若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O，使得成立，则满足条件的实数x的集合为（）A．{－1，0} B．C． D．{－1}7．（2021·上海高一课时练习），为非零向量，且|＋|＝||＋||，则（）A．∥，且与方向相同 B．，是共线向量且方向相反C．＝ D．，无论什么关系均可8．（2021·上海高一课时练习）已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心9．（2021·上海高一课时练习）下列各式中不能化简为的是（）A． B．C． D．10．（2021·上海高一课时练习）在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（）A． B． C． D．11．（2021·上海高一课时练习）在中，，，若，则与的夹角大小为（）A． B． C． D．12．（2021·上海高一课时练习）已知，则与的夹角为（）A． B． C． D．13．（2021·上海高一课时练习）下列命题中，正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则14．（2021·上海高一课时练习）在中，“”是“为钝角三角形”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件15．（2021·上海高一课时练习）在边长为的正三角形中，的值为A． B． C． D．二、填空题16．（2021·上海高一课时练习）___________.17．（2021·上海高一课时练习）如图所示，已知AD=3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有___________.18．（2021·上海高一课时练习）已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为________．19．（2021·上海高一课时练习）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，则＝_____．20．（2021·上海高一课时练习）已知向量，，若，则________.21．（2021·上海高一课时练习）向量，.若向量，则实数的值是________.22．（2021·上海高一课时练习）若，则__________23．（2021·上海高一课时练习）已知向量，则________.24．（2021·上海高一课时练习）若向量和都是单位向量，并且夹角大小为，则以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度为____________.25．（2021·上海高一课时练习）已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为________．26．（2021·全国高一课时练习）已知在中，点满足，若存在实数使得成立，则________.27．（2021·上海高一课时练习）如图，在中，点在上，且；点在上，且与交点为，若设，于是可得出：于是由，可求出_____28．（2021·上海高一课时练习）已知､是平面内两个互相垂直的单位向量，若满足，则的最大值为___________.29．（2021·上海高一课时练习）已，，，则向量与的夹角为________．30．（2021·上海高一课时练习）已知点，，点分向量的比是，则向量在向量方向上的投影为______．31．（2021·上海高一课时练习）有一山坡倾斜角为30°，若在斜坡平面内沿着一条与斜坡线成45°角的直路前进了100米，则升高了________米.32．（2021·上海高一课时练习）已知，，则的同向单位向量为____________________.33．（2021·上海高一课时练习）已知中，，，是重心，且，则______．34．（2021·上海高一课时练习）在中，已知，当时，的面积为________.三、解答题35．（2021·上海高一课时练习）如图，在△中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，求的值．36．（2021·上海高一课时练习）（1）