数学素材：教材梳理数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法的定义证明某些与自然数有关的数学题，可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1）时命题成立，(2）假设当n=k(k∈N＊,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法.从数学归纳法的定义我们可以看出，它强调的就是两个基本步骤。数学归纳法的两个步骤，是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可.缺步骤（2），则证明就是“一叶障目,以一代全”不能保证命题对所有的自然数n都成立；而缺步骤（1），则证明就成了“空中楼阁”，也难以保证命题对所有自然数n都成立。我们通常称第（1）步为奠基步骤.记忆要诀总结以上的分析，归纳如下:“奠基步骤不能少，归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.”如果同学们能正确地理解了数学归纳法证明的要义，才能轻松自如地运用它，而不致误用。误区警示数学归纳法的两个步骤，是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可。疑问：既然第（2）步已经证明了任两个连续自然数对应的命题的递推关系，那么第（1）步是否是多余的？请看如下例子:对于欲证的命题：1+2+3+…+n=n（n+1）+1.第二步证明为:若n=k时命题成立，即1+2+3+…+k=k(k+1）+1,则当n=k+1时，1+2+3+…+k+（k+1）=k(k+1）+1+(k+1)=(k+1）(k+2)+1,即当n=k+1时命题也成立.但我们会发现：当n=1时,左式=1,右式=2，显然命题不成立.辨析比较归纳法与数学归纳方法我们在研究问题时,还常常用到如下的一种思维方法，即从特殊到一般的思维方法，举例如下：1=12，1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42，…，我们由此发现并得出如下结论：1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1)+…+3+2+1=n2（n∈N)。这就是考察具有1+2+3+…+(n—1）+n+(n—1）+…+3+2+1特征的某几个式子的数值后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论。这种思维方法（或推理方法）我们称之为归纳法.由归纳法得到的结论未必正确，接下来的问题就是确认由归纳法得到的结论的正确性。确认的方法是什么呢？或许结论不正确，那么可寻找一反例推翻该结论；或许结论是正确的,那么我们需对此予以严格的证明.如何证明？注意到1+2+3+…+(n-1)+n+（n-1)+…+3+2+1=n2（n∈N），实际上是n=1，2，3，…的无穷多个等式的概括写法，因此要证明上述等式,就需要对n=1，2,3，…的无穷多个等式逐一证明.事实上，这是做不到的.因此需要一种用以证明这种结论的一般证明方法,这种证明方法就是数学归纳法。从上述可知，归纳法和数学归纳法是有区别的.归纳法只是我们从特殊到一般的思维方法,它归纳的结论未必正确,而数学归纳法是一种变态的演绎法，是证明与自然数有关的某些命题的方法.二、数学归纳法的特点1。无穷性：数学归纳法所证明的与自然数有关的命题,实际上就是关于自然数的无穷性命题，命题的无穷性是我们用演绎法无法证明的，所以数学归纳法恰恰就是有效地利用递推关系证明了命题无穷性的正确。2.有穷性：与自然数有关的命题具有无穷性，但是数学归纳法的基本步骤是有穷的，仅仅只有两个步骤，但这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有传递性，运用“有限”的手段来解决“无限”的问题.三、数学归纳法的核心在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程。所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。深化升华如何理解第二步骤？能否正确理解它关系到我们能否正确运用数学归纳法证题.同学们知道无穷多块多米诺骨牌倒下的两个必要条件：(1）起始的第一块骨牌倒下;(2)如果任意相邻的两块骨牌中前一块倒下导致后一块倒下.那么我们就可保证在启动第一块骨牌后，所有的骨牌都会倒下.上述数学归纳法的两个步骤，是否很像多米诺骨牌的两个必要条件.数学归纳法的第(2)步要做的是证明一种递推关系，即由n=k(k∈N，k≥n0）时命题成立去证明n=k+1时命题成立，而“n=k时命题成立"是作为导出“n=k+1时命题成立”的前提，因此采用了“假设当n=k（≥n0）时命题成立”的形式。切勿理解为n=k时,命题是果真成立,它只不过是为了导出n=k+1时命题成立的一个假设罢了，也正因为如此，在推证n=k+1时的命题时，需用到n=k时所假设的命题。（我们通常把这一假设称为“归纳假设”）典题·热题知识点一：数学归纳法的定义例1求证：12+22+32+…+n2=n（n+1)(2n+1).思路分析:本题就是考查对数学归纳法的理解，两个步骤一个是命题成立的基础,一个是命题之间可递推的依据,二者缺一不可.证明：（1）当n=1时,左式=12=1，右式=×1×(1+1）×（2×1+1）=1，左式=右式。∴当n=1时，命题成立（奠基步骤）。（2)假设当n=k（≥1)时，命题成立,即12+22+32+…+k2=k（k+1）(2k+1）。（归纳假设)则当n=k+1时，右式=12+22+32+…+k2+(k+1）=k(k+1）(2k+1）+(k+1）2=(k+1)［k（2k+1)+6(k+1)]=（k+1）(k+2）(2k+3)=右式。∴当n=k+1时，命题也成立。由（1）（2）可知，对于一切自然数n，命题都成立。（结论）方法归纳用数学归纳法证题要注意下面几点：(1)证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；（2)成败的关键取决于第二步对n=k+1的证明:①突破对“归纳假设”的运用；②用好命题的条件；(3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.知识点二：数学归纳法证明整除性问题例2用数学归纳法证明下述整除问题：求证：11n+2+122n+1(n∈N*）被133整除。思路分析：数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质,若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式)整除，则其和、差、积也能被这个数(或整式）整除。证明：（Ⅰ)当n=1时，113+123=1331+1728=3059=133×23能被133整除,∴当n=1时命题正确；(Ⅱ）假设当n=k时命题正确,即11k+2+122k+1能被133整除，∴当n=k+1时，11k+3+122k+3=11×（11k+2+122k+1)+122k+3—11×122k+1=11×(11k+2+122k+1）+122k+1×(122—11)=11×（11k+2+122k+1）+122k+1×133.能被133整除，即当n=k+1时命题也正确。由(Ⅰ）（Ⅱ)知命题对n∈N*都正确.方法归纳（1）证明整除性问题时,常用到以下整除的性质：若a｜b,且a｜c,则a｜（b±c)；若a｜b,则a｜bc,“a|b”表示a能整除b或b能被a整除.（2）在由n=k时命题成立，证明n=k+1,命题也成立时，要注意设法化去增加的项,通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧.知识点三：数学归纳法证明几何计数问题例3已知n个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明：这n个圆将平面划分成n2—n+2块区域。思路分析:用数学归纳法解几何问题.证明:（Ⅰ）当n=1时，1个圆将平面分成2部分，而2=12—1+2，∴当n=1时命题正确.（Ⅱ)假设n=k时命题正确,即满足条件的k个圆将平面划分成k2—k+2部分,∴当n=k+1时,平面上增加了第k+1个圆，它与原来的k个圆的每一个圆都相交于两个不同点，共2k个交点。而这2k个点将第k+1个圆分成2k段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了2k块，∴k+1个圆将平面划分成的块数为（k2—k+2)+2k=k2+k+2=（k+1）2-(k+1)+2，∴n=k+1时命题也正确，根据(Ⅰ)(Ⅱ)知命题对n∈N＊都正确.误区警示用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型，但由于这种题型的证明主要是文字推理为主，所以语言一定精确，要能准确地描述第二步的假设，合理清晰地推导出结论。知识点四：数学归纳法证明数列问题例4用数学归纳法证明：如果｛an｝是一个等差数列,那么an=a1+(n-1)d对一切n∈N*都成立.思路分析：我们知道等差、等比数列的通项公式都是通过递推得出结论的，无法用演绎法证明它们的无穷性，数学归纳法以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.证明:（1）当n=1时,左=a1，右=a1+(1-1）d=a1，所以等式成立.（2）假设当n=k（k∈N）时等式成立，即ak=a1+(k—1)d.那么ak+1=ak+d=a1+(k—1)d+d=a1+［（k+1）—1］d.∴当n=k+1时，等式成立,由(1）（2)知对任何n∈N＊等式成立。方法归纳因为数列的通项公式，前n项和公式都是关于自然数n的函数，所以在关于这类问题的证明上，如果我们无法确定其他比较简便的证明方法,那么数学归纳法是证明它们的一种有效方法。知识点五：数学归纳法证明恒等式问题例5用数学归纳法证明：（1）1·(n2-12）+2·（n2—22）+…+n(n2-n2)=n2(n—1)（n+1）。（2）=n·2n-1.思路分析：（1)恒等式是我们用数学归纳法证明的常见题型,关键就是第二步n=k+1时的提取公式、分解因式等技巧的合理使用.(2）这是一个有关组合数的问题，它的明显特征是每个组合数的系数与组合数的上标相同，同时它又是一个自然数命题，这就决定了它的证明方法的多样性.证明：（1）（Ⅰ）当n=1时，左边=1·(12—12)=0，右边=·12·0·2=0，∴左边=右边，n=1时等式成立。（Ⅱ)假设n=k时等式成立，即1·（k2-12)+2·（k2-22）+…+k·（k2—k2）=k2(k-1)（k+1），∴当n=k+1时，左边=1·［（k+1)2—12］+2·［(k+1）2-22］+…+k·［(k+1）2-k2］+(k+1）［(k+1）2—(k+1)2］=［1·（k2—12）+2(k2—22)+…+k·（k2-k2）］+［1·（2k+1）+2·(2k+1）+…+k（2k+1）］=k2（k-1）（k+1)+·（2k+1)=k(k+1)［(k—1)+2（2k+1)]=k（k+1）（k2+3k+2）=（k+1)2k（k+2）=右边，即n=k+1时等式成立，根据（Ⅰ）与（Ⅱ）,等式对n∈N*都正确.(2)方法1：（Ⅰ)当n=1时，左边=C11=1=20=右边,等式成立。（Ⅱ）假设n=k时等式成立，即=k·2—1，∴当n=k+1时，左边==2k+2·k·2k—1=(k+1）·2k=右边。等式也成立。由(Ⅰ)(Ⅱ）知等式对n∈N＊都成立。方法2：f（n）=0,①f(n）=+（n—1）+…++0，②由①+②得：2f（n）=n（++2+3…+n）=n·2n,∴f（n）=n·2n-1.方法归纳（1)在第（Ⅱ）步的证明中，必须清楚n=k时,n=k+1时所列等式的左右两边分别如何表达,并能正确使用归纳假设，尤其是代数变形能力（如因式分解、通分、拆项、凑项……）的运用要熟练.（2）证明与自然数有关的命题时,数学归纳法并不是唯一的证明方法,第2小题就很好地说明了这个问题，所以我们应该优先考虑常用的通法，现成的公式、定理等来证明，迅速作出抉择是否用数学归纳法证明，以达到“化繁为简”的目的。问题·探究交流讨论探究问题数学归纳法是证明与自然数命题的有效手段，是不是所有的自然数命题都能用数学归纳法证明呢？我们一起来尝试用数学归纳法证明这样一个命题：(n∈N+）。探究过程:这是一个与自然数n有关的不等式命题，同学们已经能熟练的运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,同学们会很自然的想到用数学归纳法来证明,那么大家不妨严格按照数学归纳法的两个步骤来尝试一下.同学甲:(1）n=1时，左边=,右边=，则左边＜右边，不等式成立。同学乙：(2）假设n=k时，不等式成立，即+…+〈.当n=k+1时，左边=<.∴n=k+1时，不等式也成立。根据（1）(2)，原不等式对n∈N+都成立.老师：上面的证明正确吗？如果不正确，问题出在哪里?同学丙：上面的证明不正确，可能是代数变形的方法不对吧。老师：甲、乙两位同学是严格按照数学归纳法的两个步骤来证明的,这本身并没有问题，真正的错误原因是+〈不成立,此时无法实现由n=k推出n=k+1成立，从而数学归纳法失效.探究结论:数学归纳法确实是我们证明与自然数有关命题的一种有效方法，但它也不是万能的方法，也有它解决不了的自然数命题.我们证明时，究竟选择哪种方法，一定要根据题目的具体情况加以分析，确定有效的方法.问题在现实生活中有很多我们人类未知的问题,如哈雷是通过计算猜测哈雷慧星的周期，然后再证明猜想的正