数学素材：教材梳理排序不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学排序不等式SequenceInequality（又称排序原理)(1）排序原理的内容:设有数组A：a1≤a2≤…≤an，及数组B：b1≤b2≤…≤bn。称a1b1+a2b2+…+anbn为顺序和,a1bn+a2bn-1+a3bn—2+…+anb1为倒序和,a1c1+a2c2+…+ancn为乱序和(其中c1，c2，…，cn是b1≤b2≤…≤b顺序和≥乱序和≥倒序和，其中等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立。记忆要诀以S=表示顺序和，以表示倒序和,以S1=表示乱序和（其中，c1，c2，…，cn是b1≤b2≤…≤bn的任一排列）,则有≤S1≤S.（2）排序原理的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减）时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列。学法一得由排序原理，我们可以得到这样一个推论：对于实数，a1,a2，…，an，设ai1,ai2,…,ain为其任一个排列,则有a1ai1+a2ai2+…+anain≤a12+a22+…+an2。证明：不妨设满足a1≤a2≤…≤an，取bk=ak(k=1，2，…，n）,因此b1≤b2≤…≤bn,且a1，a2,…，an是b1，b2,…，bn的一个排列,由排序原理知,a1+a2+…+an≤a1b1+a2b2+…+anbn=a12+a22+…+an2。(3）排序原理的意义：在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等)a1,a2,…，an的数学问题时，如果根据对称性，假定它们按一定的顺序排列起来,往往能使问题迎刃而解.这就是数学中的排序思想。联想发散根据排序原理的定义，在处理积问题时，有时我们可以通过“逐步调整”的方法，使最后的积总的最大。而且所进行操作的步骤是有限的.排序原理的思想：在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以将它们按一定顺序排列起来,往往十分有助于解题，这在不等式中应用尤为广泛。典题·热题知识点一：用排序不等式证明不等式例1在△ABC中,ha,hb,hc为边长a,b,c上的高，求证:asinA+bsinB+csinC≥ha+hb+hc。思路分析：解题关键是将ha,hb，hc结合已知量转化为积的形式，进而运用排序原理去求证.证明:如下图，ha=bsinC;hb=csinA，hc=asinB,不妨设a≥b≥c;由大角对大边可知A≥B≥C。①若A≤90°,则有sinA≥sinB≥sinC,由顺序和≥乱序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.②若A〉90°，此时，sinA=sin(B+C），因为B+C为锐角,故亦有sinA≥sinB≥sinC。由顺序和≥乱序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.综上可知,asinA+bsinB+csinC≥ha+hb+hc成立。巧妙变式用A、B、C表示△ABC的三内角的弧度数，a、b、c表示其对边，求证≥.证明：由对称性，不妨设a≥b≥c，于是A≥B≥C，于是由顺序和≥乱序和,可得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cC≥aB+bC+cA,aA+bB+cC≥aC+bA+cB。将上面三式相加可得3（aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π（a+b+c）.因为a+b+c〉0，所以≥.例2a,b,c∈R+，求证：a+b+c≤。思路分析：本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母，不等式不变），在处理该类式子中，经常对每个式子采用同样的处理方法即可（即轮换技巧）。中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开,再用排序不等式证明.证明：不妨设a≥b≥c，则a2≥b2≥c2,≥≥,则a2·+b2·+c2·（乱序和）≥a2·+b2·+c2·（倒序和），同理a2·+b2·+c2·(乱序和)≥a2·+b2·+c2·（倒序和）.两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组a3≥b3≥c3及≥≥，仿上可证第二个不等式.方法归纳证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，这些操作包括一些添项、拆项，及一定的构造,而变形的主要依据是不等式的性质.因此在学习中,应该认真把握这个定理的内容形式。知识点二:用排序不等式证明重要公式例3证明切比雪不等式：若a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn,则≥()·().思路分析：排序原理，运用于数列解题是常见题型，处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解。证明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn,a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1,a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2，……a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn—1。将以上式子相加得:n（a1b1+a2b2+…+anbn)≥a1（b1+b2+…+bn）+a2（b1+b2+…+bn）+…+an(b1+b2+…+bn)，∴≥)·（).巧妙变式a1≤a2≤…≤an且b1≥b2≥…≥bn，则≤（)·（）.例4请利用排序不等式证明Gn≤An.(一般地，对于n个正数a1,a2，…,an；几何平均Gn=,算术平均An=）思路分析：由排序不等式可以衍生出很多的定理与性质，及一些有用的式子.证明：令bi=(i=1,2，…,n），则b1b2…bn=1,故可取x1,x2,…,xn〉0,使得b1=，b2=,…，bn-1=，bn=。由排序不等式有：b1+b2+…+bn=(乱序和）≥x1·+x2·+…+xn·（倒序和)=n,∴≥n,即≥Gn。方法归纳对…，各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，Gn≤An.问题·探究思想方法探究问题如何形象地理解排序原理，并正确地运用它?探究过程:理解排序原理的正确性，令a1=2，a2=7,a3=8,a4=9，a5=12,另令b1=3，b2=4，b3=6,b4=10,b5=11,记c1,c2，c3，c4，c5是b1,b2,b3，b4,b5的一个重排列,来计算a1c1+a2c2+…+a5c5的值，至多可以得到5！=120个不同的数.易验证出a1b1+a2b2+…+a5b5最大,值为304；而a1b5+a2b4+…+a5b1最小，值为212.排序不等式应用较为广泛,它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式，如a,b,c∈R+时,a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aa2·a+b2·b+c2·c≥a2·b+b2·c+c2·a,此处依据的是顺序和≥乱序和；≥a+b+ca2·+b2·+c2·≥a2·+b2·+c2·，此处依据的是乱序和≥倒序和。在运用排序定理时，首先要特别注意“序”，应注意所给项的一个大小问题，这是排序不等式与别的不等式的一个显著区别所在。我们以前学过的一些有用的不等式，如对a>0，有a+≥2,完全可以改写为这样一个形式,对a〉0,有a·1+1·≥a·+1·1，这时,运用的就是顺序和≥反序和，可谓异曲同工.探究结论：排序不等式也有广泛的应用，许多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得。交流讨论探究问题平均的概念，在人们的日常生活和生产实践中是经常遇到的。除了上述谈到的算术平均数和几何平均数之外，还常会用到哪些平均数？探究过程:同学甲：设a1，a2,…,an为正数，则这n个数的平方和的算术平均数的算术平方根为Qn=.Qn称为这n个数的平方平均数。平方平均数在概率统计及误差分析中有着重要的作用。同学乙：而n个正数的倒数的算术平均数的倒数为Hn=.