数学素材：函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习A1．解：（1）圆的面积S是圆的半径r的函数;（2)物体运动的距离s是运动的时间t的函数；(3）电路消耗的功率P是电路中的电流I的函数．2．解:例如：（1）正方体的棱长与其表面积之间的关系;(2)正方体的棱长与其体积之间的关系．3．解:∵f(x)＝1－x2，∴f（0)＝1－02＝1，f(－2）＝1－（－2）2＝－3，f(15)＝1－152＝－224.4．解：（1）{x|x≠5｝;（2）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋3≥0)）⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，，x≥－3）)⇒x∈{x|x≥1｝；（3)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－3≥0,，7－x≥0))⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥\f（3,2)，,x≤7)）⇒x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（3，2)≤x≤7)）))；（4）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥0，,－x≥0))⇒eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥0，,x≤0))⇒x∈｛x|x＝0｝．5．解：∵f（x）＝2x2，∴f(－x)＝2(－x）2＝2x2,f（1＋x）＝2（1＋x)2＝2(1＋2x＋x2）＝2x2＋4x＋2。6．解法1：∵f（x＋1）＝［（x＋1）－1]2＝（x＋1)2－2（x＋1)＋1，∴f（x)＝x2－2x＋1。解法2：令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝（t－1）2＝t2－2t＋1，即f(x)＝x2－2x＋1。7．解：B＝｛29，30,31},f(1)＝31，f(2）＝29，f(7）＝31，f（8)＝31，f（11)＝30.8．解：令－10≤3x－4≤5，则－2≤x≤3。∴函数的定义域为[－2,3]．练习B1．解：s＝5＋110t,0＜t≤8.2．解：A随h的增大而增大．由题意知等腰梯形的上底长为（2＋2h）m，由等腰梯形的面积公式，得A＝eq\f（1,2)（2＋2＋2h）h＝(2＋h）h＝h2＋2h，故所求函数关系式为A＝h2＋2h，其中h∈［0，1.8]．3．解：(1）是，定义域为R;(2)是，定义域为R；（3)是，定义域是{x|x≠0}；（4）是，定义域是｛x｜x≥0｝．4．解：(1)∵x∈［1,2]，∴x2∈[1，4]．∴eq\f（8，x2）∈[2，8]．∴函数的值域为［2,8］．（2)∵x∈[0,＋∞)，∴eq\r(x)∈［0,＋∞)．∴－eq\r（x）∈(－∞，0]．∴函数的值域为(－∞，0]．5．解：∵f(x）＝x2＋m，∴f［f(x）］＝f(x2＋m)＝（x2＋m）2＋m＝x4＋2mx2＋m2＋m,∴g(x)＝f［f（x)］＝x4＋2mx2＋m2＋m.练习A1．解：（1）是;（2）不是，因为对应关系“一对二"；(3)是；（4）是；(5)不是，因为A中元素0,在B中无元素与之对应．2．解：（1）f（2）＝1；f（5)＝10；f(8)＝19.(2)由f（x)＝3x－5＝35，解得x＝eq\f（40,3)；由f（x)＝3x－5＝47，解得x＝eq\f(52，3).故f(x）为35,47时的原象依次为eq\f(40,3),eq\f(52，3）.3．解：（1）x为－3，－2，0，2,3时的象依次为10，5，1，5，10;（2）f(x)＝10,5，1时的原象依次为－3和3，－2和2,0。4．解：不一定是唯一的，因为根据映射的定义，映射只要求集合A中任一元素有且只有唯一的象，值域f(A)中的任一个元素的原象并不一定是唯一的．练习B1．解：例如：某教室内课桌与同学之间的关系或学生与学籍号之间的关系．2．由z＝（2x＋1）2－1＝4x2＋4x，得集合A到C的映射f：x→z＝4x2＋4x＝4x（x＋1);1∈A在f作用下,有象8∈C；0∈C，由4x(x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－1,这就是说,0在A中的原象有两个：0或－1。3．解：（1)是;（2）是；（3)是．4．解:有9种，如图．5．解：能构造出4种不同映射，其中一一映射有2个．思考与讨论答：由函数定义可知，对于定义域中的每一个x，都有唯一的y值与之相对应．因此,要检验一个图形是否是一个函数的图象，可以作x轴的垂线，在定义域范围内,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图象,否则，该图形不是函数图象．由以上知，所给图形中表示函数图象的有(1)（3)（4)．练习A1．解：函数y＝f(x）＝100(x∈R）的图象如图所示．由图可得f（－10）＝100，f(0）＝100，f(1000）＝100.2．略．3．解：f(2)＝f(1＋1）＝f(1)＋7＝8＋7＝15；f（3)＝f（2＋1）＝f(2)＋7＝15＋7＝22;f（4）＝f(3＋1）＝f(3）＋7＝22＋7＝29.4．解:f(3。2)＝[3.2＋1]＝［4。2]＝4；f(－5。1)＝［－5.1＋1］＝[－4。1]＝－5；f(－4。8)＝［－4.8＋1]＝[－3。8］＝－4；f（7.2）＝［7。2＋1］＝［8。2]＝8。5．解:设商店售出游戏机台数为x,收款总数为y元．由题意知y＝200x，其中x∈｛x∈N＋｜1≤x≤12｝．函数图象如图所示．6．(2)(4）是以x为自变量的函数的图象．练习B1．略．2．(1)由3x＋5y＝15，得y＝－eq\f（3，5）x＋3，图象略．(2）同理x＝eq\f(y＋2，y－5),得y＝eq\f（5x＋2,x－1），图象略．3．解：∵f(1）＝2,f（n＋1）＝3f（n)，∴f（2)＝f（1＋1)＝3f（1)＝3×2＝6.f（3）＝f（2＋1）＝3f（2)＝3×6＝18，f(4)＝f(3＋1）＝3f(3)＝3×18＝54，f(5）＝f（4＋1）＝3f(4）＝3×54＝162.练习A1．解:（1）f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(0，x<0，，2，x≥0。)）图象如图所示．（2)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－1,，0，－1〈x<1,,x－1，x≥1。）)图象如图所示．2．解：（1)y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x，x≥0，，－x，x<0.))图象如图所示．（2)y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－1，x≥1,，1－x,x〈1.））图象如图所示．（3)y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1,x≥－1，,－x－1，x〈－1.）)图象如图所示．3．解：设公共汽车票价为y元，汽车行驶里程为xkm，则y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2,0〈x≤5，,3，5〈x≤10，,4,10〈x≤15,,5,15<x≤20.））图象如图所示．练习B1．解:f(－0。8)＝0。8,feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）＝eq\f（1,4）,feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，2））)＝eq\f（3,2）。图象的大体形状如图所示．2．解：（1）f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋x，x〈0，,5－x，x≥0，))图象如图所示．(2)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－5－x，x<0，,－5＋x，x≥0。))图象如图所示．探索与研究答：(1）用比值eq\f(Δy,Δx)的符号，可以判断函数y＝f(x）在某区间上的单调性．函数y＝f(x)在x1与x2之间的平均变化率记为eq\f(Δy,Δx）＝eq\f（y2－y1，x2－x1).①若eq\f(Δy，Δx)＞0，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Δy>0,，Δx〉0))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（Δy〈0，,Δx〈0。))当Δx＞0时,Δy＞0，符合增函数的定义;当Δx＜0时,Δy＜0，说明函数值随自变量的减小而减小，也就是函数值随自变量的增大而增大，同样符合增函数的定义．②若eq\f（Δy,Δx)＜0，则有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（Δy<0,,Δx>0))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（Δy〉0，,Δx<0。)）当Δx＞0时，Δy＜0，符合减函数的定义；当Δx＜0时,Δy＞0,说明函数值随自变量的减小而增大，也就是说函数值随自变量的增大而减小，同样也符合减函数的定义．综合①②可知，由比值eq\f(Δy，Δx）的符号，即可判断函数y＝f（x）在某区间上是增函数还是减函数．若eq\f(Δy,Δx)＞0,则y＝f(x）在某区间上是增函数；若eq\f(Δy,Δx）＜0，则y＝f（x)在某区间上是减函数．（2）比值eq\f（Δy，Δx）的大小与函数值增大的快慢有关．对于比值eq\f（Δy,Δx),假设Δx均匀变化．①若eq\f(Δy,Δx）大，则Δy大,即Δy＝y2－y1＝f(x2)－f（x1)大，说明自变量x1变化到x2时，对应的函数值f（x1）与f(x2）的差大，也就是函数y＝f(x)增长的快，如图所示．②若eq\f(Δy,Δx)小，则Δy小，即Δy＝y2－y1＝f（x2)－f（x1）小,说明自变量x1变化到x2时，对应的函数值f（x1)与f(x2）的差小，也就是函数y＝f(x）增长的慢，如图所示．练习A1．函数f(x）的单调区间有[－2，－1］、［－1,0]、［0，1］、[1，2]；在区间［－2，－1]和[0,1]上是减函数，在区间［－1,0]和［1,2]上是增函数．函数g（x）的单调区间有[－3，－1。5]、[－1。5，1。5］、［1，5,3］；在区间［－3，－1.5]和［1。5,3］上是减函数，在区间[－1。5，1。5］上是增函数．2．不能．原因一:函数定义域是{x|x≠0｝，不是R;原因二：取x1＝－1，x2＝1时,Δx＝x2－x1＞0,Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－(－1）＝2＞0，显然不满足减函数的定义．不能．原因同以上原因二．3．设x1、x2是(－∞，0)内的任意两个不相等的负实数，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0,Δy＝f（x2)－f（x1)＝－xeq\o\al（2，2）－（－xeq\o\al(2，1))＝（x1＋x2)(x1－x2）．因为x1＋x2＜0，x1－x2＝－Δx＜0，所以Δy＞0,所以f（x)＝－x2在（－∞，0)上是增函数．同理，设在区间（0,＋∞)内的任意两个不相等的正实数x1、x2，且x1＜x2，有Δy＝f(x2）－f(x1）＜0，所以f(x）＝－x2在（0,＋∞）上是减函数．4．函数y＝eq\r(x)在区间[0,＋∞)上是增函数．证明如下:设x1、x2是［0，＋∞）内的任意两个不相等的非负实数，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝y2－y1＝eq\r(x2）－eq\r（x1)＝eq\f((\r(x2）－\r（x1）)（\r(x2）＋\r（x1））,\r(x2)＋\r(x1））＝eq\f（x2－x1，\r(x2）＋\r(x1)）。因为x2－x1＞0，eq\r（x2)＋eq\r（x1）＞0,所以Δy＞0，所以y＝eq\r(x)在区间［0，＋∞）上是增函数．5．(1）y＝｜x｜－1的图象如图(1)，函数的单调递减区间为（－∞，0]，单调递增区间为[0,＋∞）;（2)y＝|x－1|的图象如图(2)，函数的单调递减区间为(－∞，1],单调递增区间为［1，＋∞）．(1）（2)练习B1．因为y＝f（x)在R上是增函数,所以对任意x1，x2∈R,当Δx＝x2－x1＞0时，有f（x2）－f(x1)＞0。因为k＞0，所以对于kf（x)有Δy＝kf(x2)－kf（x1）＝k[f（x2)－f（x1）]＞0。所以kf(x)在R上也是增函数．2．如图，(1）函数的单调减区间是（－∞,2)，(2，＋∞)；（2)函数的单调减区间是（0,＋∞)．(1）（2)练习A1．解：奇函数为(1)（7）；偶函数为（2）（5）(8）;非奇非偶函数为(3）(4）（6）．对于(3）:h(－x）＝（－x）3＋1＝－x3＋1≠±h（x），∴h（x）既不是奇函数也不是偶函数．对于（4)：k(x)＝eq\f(1，x2＋1）,定义域为［－1,2]，不关于原点对称,∴k(x)无奇偶性可言．对于(6）:g(－x)＝－x(1－x)≠±g（x)，∴函数g(x）既不是奇函数也不是偶函数．2．解:(1）不正确．因为函数定义域关于原点对称，但f(－x)＝－f(x)不一定成立，例如f（x)＝x＋1的定义域为R,但f（－x）＝－x＋1，而－f(x)＝－x－1,f（－x)≠－f(x)．(2）正确．因为根据偶函数的定义f（－x）＝f(x）知，x∈D,则－x∈D，故定义域关于坐标原点对称．（3)不正确．因为函数f(x）定义域关于原点对称,但f（－x)＝f(x）不一定成立．（4）正确．因为设y＝f（x)图象上任一点(x，f（x))关于y轴的对称点为(－x，f(－x）)也在图象上,所以f(－x)＝f（x），故f(x）为偶函数．3．f(－4）＝－2。4．f（1)＜f(3）．5．f（x)在[－6，－1］上是增函数,在［－6,－1]上的最大值为－4，最小值为－10。练习B1．解:不可以是奇函数,但可以是偶函数．若f(x）是奇函数，则f(0)＝－f（0），可求得f(0)＝0，即a＝0,这与已知a≠0是矛盾的．2．解：一定是偶函数，特别地，可能既是奇函数又是偶函数．由于f（x）、g（x)为定义域相同的偶函数,则F（x)的定义域关于原点对称．又由于f(－x)＝f（x)，g（－x)＝g（x)，则F（－x)＝f（－x）＋g（－x)＝f（x）＋g(x)＝F（x），所以F（x)是偶函数．特别地,当f（x）＋g(x)＝0时，F（－x）＝F（x)，且F（－x）＝－F（x），此时F（x)既是偶函数又是奇函数．习题2－1A1．(1)0,1，1,4,4,9，9；(2）2,－2，1，－1,eq\f（2,3），－eq\f（2,3)。2．(1)（2）(4)是映射，(3）不是映射，理由略．3．能构成一一映射的是：(1）（3）．4．解：（1）由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,，x－5≠0,)）得所求定义域为{x|x≥－3，且x≠5｝；(2）由3x－2＞0得所求定义域为eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(x〉\f(2,3）））））.5．解：设x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝y2－y1＝k(x2－x1）＝kΔx.（1)当k＞0时，Δy＝kΔx＞0，函数y＝kx单调递增;(2)当k＜0时，Δy＝kΔx＜0，函数y＝kx单调递减．6．解：（1)如图(1)，函数的单调减区间是(－∞，－1]，单调增区间是[－1，＋∞）；(2）如图(2）,函数的单调增区间是(－∞，0］,单调减区间是［0，＋∞）；(3)如图(3)，函数的单调减区间是（－∞,0]，单调增区间是［0,＋∞)；（4）如图（4)，函数的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(1，2))）,单调递增区间是eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2),＋∞)).图(1）图(2）图(3）图（4)7．解：(2)(6)是奇函数；（3）（5）是偶函数；（1）(4)既不是奇函数也不是偶函数．8．解:（1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质可以画出函数在y轴左边的图象，如图所示．(2）根据奇函数的图象关于原点对称的性质可以画出函数在y轴左边的图象,如图所示．9．解：设x∈(－∞，0），则－x∈（0，＋∞)，